天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

天津大学《最优化方法》复习题（含答案）

第一章 概述(包括凸规划)

一、 判断与填空题

1 2

3 设f:D?Rn?R. 若x?R，对于一切x?R恒有f(x?)?f(x)，则称x为

最优化问题

n4 设f:D?R?R. 若x?D，存在x的某邻域N?(x?)，使得对一切

???nn?argmaxf(x)?argmin[?f(x)]. √

x?Rnx?Rnmaxf(x):x?D?Rn??minf(x):x?D?Rn. ?

????minx?Df(x)的全局最优解. ?

x?N?(x?)恒有f(x?)?f(x)，则称x?为最优化问题minf(x)的严格局部最

x?D优解. ?

5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √

6 非空集合D?R为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D. √ 7 非空集合D?R为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D. √

8 任意两个凸集的并集为凸集. ?

n9 函数f:D?R?R为凸集D上的凸函数当且仅当?f为D上的凹函数. √ ?n10 设f:D?R?R为凸集D上的可微凸函数，x?D. 则对?x?D，有

nnf(x)?f(x?)??f(x?)T(x?x?). ?

11 若c(x)是凹函数，则D?{x?R c(x)?0}是凸集。 √ 12 设xn??为由求解minkx?Df(x)的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，

则对?k??0,1,2,??，恒有 f(xk?1)?f(xk) . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。

14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √

15 函数f:D?Rn?R在点x沿着迭代方向dk?Rn\\{0}进行精确一维线搜索的

步长?k，则其搜索公式为 .

16 函数f:D?Rn?R在点x沿着迭代方向dk?Rn\\{0}进行精确一维线搜索的

步长?k，则?f(xk??kdk)Tdk? 0 .

17 设dk?Rn\\{0}为点xk?D?Rn处关于区域D的一个下降方向，则对于

kk???0，???(0,?)使得xk??dk?D. ?

二、 简述题

1 写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。

2 怎样判断一个函数是否为凸函数.

2（例如: 判断函数f(x)?x12?2x1x2?2x2?10x1?5x2是否为凸函数）

三、 证明题

1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如

minf(x)?1TxGx?cTx?b2判断s.t. Ax?b x?0（其中G是正定矩阵）是凸规划.

2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.

第二章 线性规划

考虑线性规划问题：

(LP)mincTxs.t.Ax?b,x?0,

其中，c?Rn,A?Rm?n,b?Rm 为给定的数据，且rankA?m,m?n.

一、 判断与选择题

1 (LP)的基解个数是有限的. √

2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √

3 (LP)的解集是凸的. √

4 对于标准型的(LP)，设xk由单纯形算法产生，则对k??0,1,2,??，有

cTxk?cTxk?1. ×

??

5 若x* 为(LP)的最优解，y* 为(DP)的可行解，则cTx*?bTy*. √

6 设x0是线性规划(LP)对应的基B?(P1,?,Pm)的基可行解，与基变量

x1,?,xm对应的规范式中，若存在?k?0，则线性规划(LP)没有最优解。×

7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________.

8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. ×

二、 简述题

1 将以下线性规划问题化为标准型： maxf(x)?x1?2x2?3x3s.t.x1?x2?x3?6,x1?2x2?4x3?12,x1?x2?x3?2,x2?0,x3?0.

2 写出以下线性规划的对偶线性规划：

max

f(x)?3x1?2x2?x3?4x4?2x1?4x2?3x3?x4?3,x1,x2,x3,x4?0.

s.t.2x1?4x2?3x3?x4?6,

三、 计算题

熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段法）. 见书本：

例2.5.1 (利用单纯形表求解); 例2.6.1 (利用大M法求解); 例2.6.2 (利用二阶段法求解).

四、 证明题

熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用

对偶理论证明相关结论。

第三章 无约束最优化方法

一、 判断与选择题

1 设G?Rn?n为正定矩阵，则关于G共轭的任意n?1向量必线性相关. √ 2 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向. ×

3 经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的. × 4 PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法. × 5 用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关. √

6 FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性. ×

7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性. √ 8 函数f:Rn?R在xk处的最速下降方向为 . 9 求解minf(x)的经典Newton法在xk处的迭代方向为pk? . x?Rn10 若f(x)在x*的邻域内具有一阶连续的偏导数且?f(x*)?0，则x*为的局

部极小点. ×

11 若f(x)在x*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且x*为f(x)的严格局部

*极小点，则G*??2xf(x)正定. ×

12 求解minf(x)的最速下降法在xk处的迭代方向为pk? . x?Rn13 求解minf(x)的阻尼Newton法在xk处的迭代方向为pk? . x?Rn14 用牛顿法求解minx?Rn1TxGx?bTx(b?Rn，G?Rn?n)时，至多迭代一次2可达其极小点. × 15 牛顿法具有二阶收敛性. √

16 二次函数的共轭方向法具有二次终止性. ×

17 共轭梯度法的迭代方向为：_____________________.

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