经济博弈论复习(3)

他们的选择将是（U, L）,结果反而比较理想。（如果博弈问题的基本背景支持,对本博弈还可以用相关均衡的思想进行分析。读者可自己作一些讨论。）

9.如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中a、b的数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果要本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a或b应满足什么条件？

括号中的第一个数字代表乙的得益，第二个数字代表甲的得益，所以a表示乙的得益，而b表示甲的得益。

根据分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况：（l)a <0,此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方得益（l,0),不管这时候b的值是多少；（2) 0< a <1且b >2,此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益（1,0)；（3） a >1且b >2，此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益（a,b）（4）a> 0且b < 2,此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分，双方得益(2,2)。

要本博弈的“威胁”，即“打”是可信的，条件是a > 0。要本博弈的“承诺”，即“分”是可信的，条件是a >0且b <2。（注意上面的讨论中没有考虑a = 0，a = 0，,b = 2的几种情况，因为这些时候博弈方的选择很难用理论方法确定和预测，不过最终的结果并不会超出上面给出的范围。）

10.三寡头市场需求函数P=100-Q,其中Q是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2先同时决定产量，厂商3根据厂商1和广商2的产最决策，问它们各自的产量和利润是多少？

首先，设三个厂商的产量分别为和，三个厂商的利润函数为： 根据逆推归纳法，先分析第二阶段是厂商3的选择。将厂商3的利润函数对其产量求偏导数并令其为0得：

因此厂商3的反应函数为：

再分析第一阶段是厂商1和厂商2的决策。先把厂商3的反应函数代入厂商1和厂商2的利润函数得：

分别对和由求偏导数并令为0得：

联立两个方程可解得。再代入厂商3的反应函数得。

把三个厂商的产量代入各自的利润函数，可得三个厂商的利润分别为4 802/9、4 802/9 和 2 401/9。

11.求出下列得益矩阵表示的静态博弈的纳什均衡，并说明有限次和无限次重复该博弈时两博弈方的均衡策略。

首先很容易看出，博弈方1的D策相对于T策和M策都是严格下策，因此可以消去。消去博弈方1的D策后四个策略组合中不存在纯策略纳什均衡。根据混合策略纳什均衡的计算方法，不难算出混合策略纳什均衡为：博弈方1以概率分布（1/2,1/2)在T和M中随机选择，博弈方2则以概率分布（1/3,2/3)在L和R中随机选择。

由于上述静态博弈是没有纯策略纳什均衡的严格竞争博弈，因此在有限次重复博弈和无限次重复博弈中，两博弈方的均衡策略都是简单重复原博弈的混合策略纳什均衡。

12.分析上一题中博弈的大群体复制动态进化稳定策略(ESS)。说明分析结果所隐含的现实意义。（知识点：复制动态微分方程，动态相位图）

上一题博弈是2 X 2对称博弈。设群体成员采用A策略的比例为x，根据两人2 X 2对称博弈复制动态的一般公式，x的复制动态方程为：

该复制动态方程有三个稳定状态和，其中和是ESS。当初始时复制动态会收敛到，即所有博弈方都采用策略B；当初始的时复制动态将收敛到，即所有博弈方都采用策略A。

上述复制动态进化博弈的结论，说明在这种协调博弈类型的博弈问题中，长期中反复的实践、学习和策略调整，总是可以使博弈方最终默契于不一定最理想，但至少有合理性的均衡策略组合之一，效率很差的非纳什均衡纯策略组合，或者碰运气的混合策略都会被淘汰。初始策略比例不同可能收敛于不同ESS的结论，对于经济管理思路有重要启发作用。

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