经济博弈论复习(2)

四.计算题（9分*1+10分*3=39分，4题，共12 题）

1.两次重复得益矩阵表示的静态博弈。如果你是博弈方1,你会采用怎样的策略。（作业题）

用画线法容易找出该博弈的两个纯策略纳什均衡(T,L)和 (M,R)。这两个纳什均衡的得益都帕累托劣于(B,S)。一次性博弈中效率较高的(B,S)不可能实现。但该博弈的结构表明存在双方合作的利益，在两次重复博弈中也有构造惩罚机制的条件，因此我会考虑运用试探合作的触发策略争取部分实现（B,S)，提高博弈的效率。

作为博弈方1会采用这样的触发策略：第一次重复采用B；第二次重复时，如果前一次的结果是（B,S),则采用M，如果前一次的结果是其他，则采用T。

如果另一个博弈方有同样的分析能力，或者比较有经验，那么他(或她)也会采用相似的触发策略：在第一次重复时采用S；第二次重复时，如果前一次的结果是(B,S),则采用R,否则采用L。

双方采用上述触发策略构成一个子博弈完美纳什均衡，因此是稳定的。这时候前一次重复实现了(B,S)，提高了博弈的效率。

当然，上述触发策略也是有风险的，因为当另一个博弈方不理解和没有采用上述策略时，我的得益会较低。当然如果考虑到人们具有学习进步的能力，而且缺乏分析和学习能力，采用效率较低策略的博弈方长期中会逐步被淘汰掉，那么采用上述触发策略的合理性就得到了进一步的支持。

2.分析下列得益矩阵表示博弈的最优反应动态的策略稳定性，假设：（a）群体中有4个博弈方，沿一圆周分布，各自对相邻博弈方的前期策略作最优反应；（b）群体中有4个博弈方，各个博弈方对所有博弈方的上期策略作最优反应。（作业题）

(a)先分析博弈方根据最优反应动态调整策略的规则。设t时期博弈方i的邻居中采用A策略的数量为，采用B策略的数量为，其中只能取0、1、2，那么只有在博弈方采用A的得益大于采用B的得益：

即时，博弈i在t+1时期会采用A,否则会采用B。由于只能取0、1、2三个数值，因此只要

博弈方i的两个邻居中有1个在t时期采用A，博弈方i在t+1时期就会采用A,如果两个邻居一个都没有釆用A，博弈方i在t+1时期应采用B。这对4个博弈方都适用。

该博弈中博弈方采用不同策略的初始情况总共有种可能性。根据上述策略调整规则，初始都采用A或B的不会变化；有3个A的四种情况，有相邻2个A的四种情况，都会收敛到所有博弈方都采用A；有分隔2个A的两种情况，以及只有1个 A的四种情况，动态系统会反复循环而不会收敛。 (b)这部分请读者自己练习。提示:先设t时期博弈方i以外的三个博弈方中采用A策略的数量为，然后根据t时期采用两种策略得益的大小确定选择策略的标准,再根据该标准讨论不同初始情况的进化博弈结果。

3.你正在考虑是否投资100万元开设一家饭店。假设情况是这样的：你决定开，则0. 35的概率你将收益300万元（包括投资），而0.65的概率你将全部亏损掉；如果你不开，则你能保住本钱但也不会有利润。请你（a）用得益矩阵和扩展形表示该博弈。（b）如果你是风险中性的，你会怎样选择？（c）如果成功概率降到0.3,你怎样选择？（d）如果你是风险规避的，且期望得益的折扣系数为0.9,你的策略选择是什么？（e）如果你是凤险偏好的，期望得益折算系数为1.2,你的选择又是什么？

（a）根据问题的假设，该博弈的得益矩阵和扩展形表示分别如下：

（b）如果我是风险中性的，那么根据开的期望收益与不开收益的比较： 0. 35 X 300 + 0. 65 X 0 = 105 > 100，肯定会选择开。

（c）如果成功的概率降低到0.3，那么因为这时候开的期望收益与不开的收益比较： 0. 30 X 300 + 0. 70 X 0 = 90 < 100 ，因此会选择不开，策略肯定会变化。 （d）如果我是风险规避的，开的期望收益为：

0. 9 X (0. 35 X 300 + 0. 65 X 0) = 0. 9 X 105 = 94. 5 < 100 因此也不会选择开 （e）如果我是风险偏好的，那么因为开的期望收益为：

1. 2 X (0. 35 X 300 + 0.65 X 0) = 1. 2 X 105 = 126 > 100，因此这时候肯定会选择开。

4．下面的得益矩阵表示两博弈方之间的一个静态博弈。该博弈有没有纯策略纳什均衡？博弈的结果是什么？

首先，运用严格下策反复消去法的思想，不难发现在博宑方1 的策略中，B是相对于T的严格下策，因此可以把该策略从博弈方1的策略空间中消去。把博弈方1的B策略消去后又可以发现，博弈方2的策略中C是相对于R的严格下策，从而也可以消去。在下面的得益矩阵中相应策略和得益处划水平线和垂直线表示消去了这些策略。

两个博弈方各消去一个策略后的博弈是如下的两人2 X 2博弈，已经不存在任何严格下策。再运用划线法或箭头法，很容易发现这个2 X 2博弈有两个纯策略纳什均衡（M, L)和(T，R)。

由于两个纯策略纳什均衡之间没有帕累托效率意义上的优劣关系，双方利益有不一致性，因此如果没有其他进一步的信息或者决策机制，一次性静态博弈的结果不能肯定。由于双方在该博弈中可能采取混合策略，因此实际上该博弈的结果可能是4个纯策略组合中的任何一个。

5.求出下图中得益矩阵所表示的博弈中的混合策略纳什均衡。

根据计算混合策略纳什均衡的一般方法，设博弈方1采用T策略的概率为p，则采B策略的概率为1-p，再设博弈方2采用策略L的概率为q,那么采用策略R的概率是1-q，根据上述概率分别计算两个博弈方采中各自两个纯策略的期望得益，并令它们相等：

解上述两个方程，即该博弈的混合策略纳什均衡为：博弈方1以概率分布2/3和1/3在T和B中随机选择；博弈方2以概率分3/4和1/4在L和R中随机选择。

6.博弈方1和博弈方2就如何分10 000万元钱进行讨价还价。假设确定了以下规则：双方同时提出自己要求的数额和，。如果，则两博弈方的要求都得到满足，即分别得和，但如果，则该笔钱就被没收。问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？

我们用反应函数法来分析这个博弈。先讨论博弈方1的选择。根据问题的假设，如果博弈方2选择金额，则博弈方1选择的利益为：

因此博弈方1采用时，能实现自己的最大利益。因此就是博弈方1的反应函数。 博弈方2与博弈方1的利益函数和策略选择是完全相似的，因此对博弈方1所选择的任意金额，博弈方2的最优反应策略，也就是反应函数

显然，上述博弈方1的反应函数与博弈方2的反应函数是完全重合的，因此本博弈有无穷多个纳什均衡，所有满足该反应函数，也就是的数组都是本博弈的纯策略纳什均衡。

如果我是两个博弈方中的-个，那么我会要求得到5 000元。 理由是在该博弈的无穷多个纯策略纳什均衡中，（5 000, 5 000)既是比较公平和容易被双方接受的，也是容易被双方同时想到的一个，因此是一个聚点均衡。 7.甲、乙两公司分属两个国家，在开发某种新产品方面有下面得益矩阵表示的博弈关系（单位:百万美元）。该博弈的纳什均衡有哪些？如果乙公司所在国政府想保护本国公司利益，有 什么好的方法？

(1)用划线法（常用）或箭头法等不难找出本博弈的两个纯策略纳什均衡（开发，不开发）和(不开发，开发），即甲乙两个公司中只有一家公司开发是纳什均衡，而两家公司都开发或都不开发不是纳什均衡。此外该博弈还冇一个混合策略纳什均衡。根据混合策略纳什均衡的计算方法，不难算出本博弈的混合策略纳什均衡是两个公司都以的概率分布随机选择开发或不开发。本博弈的两个纯策略纳什均衡前一个对甲有利，后一个对乙有利。混合策略纳

什均衡也并不是好的选择，因为结果除了仍然最多是对一方有利的纯策略纳什均衡以外，还可能出现大家不开发浪费了机会,或者大家开发撞车的可能。

(2)根据上述分析我们知道，如果没有其他因素的影响，该博弈的两个博弈方谁都无法保证博弈结果有利于自己。乙公司所在国政府可能保护本国公司利益,促使博弈结果有利于本国乙公司途径，是设法改变上述博弈的利益结枸，从而促使有利于本国乙公司的均衡出现。

政府改变博弈得益结构的有效方法是对本国公司的开发活动进行补贴。例如若乙公司所在国政府对乙公司开发活动提供 20单位(百万美元)财政补贴，则该博弈的得益矩阵转变为

不难发现乙公司所在国政府对乙公司开发活动的补贴，已经使得开发变成乙公司相对于不开发的严格上策，即使甲公司选择开发，乙公司选择开发也比选择不开发更有利，因此乙公司此时的惟一选择是开发。

根据上述得益矩阵，甲公司完全可以判断出乙公司的选择，甲公

司只能选择不开发，因此现在该博弈惟一的纳什均衡是（不开发，开发）结果是乙公司可以保证获得120单位的利润。虽然乙公司所在国政府为此付出了20单位的代价，但这显然是值得的。

如果乙公司所在国政府能从乙公司的利润中获得20单位或以上的税收或其他利益，那么政府最终也没有损失甚至还能获利。这正是现代世界各国政府对本国企业的国际竞争进行补贴的主要理论根据。

8.运用均衡概念和思想讨论下列得益矩阵表示的静态博弈。

解答提示：在纳什均衡分析的基础上，再进一步考虑运用其他均衡概念或分析方法，如风险上策均衡等进行分析。

首先，很容易根据划线法等找出本博弈的两个纯策略纳什均衡（U，R）和（D，L）。本博弈还有一个混合策略纳什均衡，即两博弈方备自以2/3、1/3的概率在自己的两个策略U、D和L、R中随机选择。但本博弈的两个纯策略纳什均衡中没有帕累托上策均衡，两个博弈方各偏好其中一个，而且另一个策略组合(U, L)从整体利益角度优于这两个纯策略纳什均衡，因此博弈方很难在两个纯策略纳什均衡的选择上达成共识。混合策略纳什均衡的效率也不是很高，因为有一定概率会出现(D，R)的结果。

根据风险上策均衡的思想进行分析，当两个博弈方各自的两种策略都有一半可能性被选到时，本博弈的两个纯策略纳什均衡都不是风险上策均衡，而策略组合（U, L)却是风险上策均衡。因为此时博弈方1选择U的期望得益是4,选择D的期望得益是3.5,博弈方2选择L的期望得益是4,选择R的期望得益是3.5。 因此当两个博弈方考虑到上述风险因素时，

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