线性代数期终考试试卷 01-02学年第三学期
一(33%)填空题(E表示单位矩阵,O表示零矩阵,A指矩阵A的转置矩阵): 1. 设??(1,2),??(1,?1),则??T? ; (?T?)999? ;
T?120??234??????12. 设矩阵A??031?,B??056?,则行列式AB? ;
?130??007??????1??3??1???????3. 若向量组?1??2?,?2??2?,?3??k?,则当参数k 时,?1,?2,?3线性相关;
?3??1???1???????4. 2?2矩阵A???ab?*?A的伴随矩阵=???cd????; ??15. 设矩阵A及A?E均可逆,G?E?(A?E)?1,则G6. 分块矩阵?? ;
?AE??的逆矩阵为??EO?????; ?T7. 设A是6?5矩阵。若齐次线性方程组Ax??的解空间是2维的,则齐次线性方程组Ax??的解空间是 维的; 8. 与向量??(1,0,1)9. 已知矩阵M??T,??(1,1,1)T均正交的一个单位向量为 ;
?124?T?,A?MM,则当数k满足条件 时,A是正定的;
?3k?210. 若n阶实对称矩阵A满足A?3A?2E?O,且有两个不同的特征值, 则当参数k满足条件 时,矩阵E?kA是正
定的;
?311???101???二(12%)求矩阵方程XA?2X?B的解,其中,A??010?,B???。
?32?1??003????1??0??0???????三(12%)设3阶方阵A有特征值1(二重)和?1,?1??1?,?2??1?是其相应于特征值1 的特征向量,?3??0?是其相应
?1??1??1???????于特征值?1的特征向量。
1. 求A及A9999。
2. 若3阶实对称矩阵B的特征值也是1(二重)和?1,证明:A与B必定相似。
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四(12%)设线性方程组
x2?x3?x4?x1??x?3x?5x?5x4?123??x2?px3?2x4???3x1?2x2?x3?(p?3)x41. 问:当参数p,q满足什么条件时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解? 2. 当方程组有无穷多解时,求出其通解(写成向量形式)。
???02q
??1?111?五(12%)矩阵A??3?12?1?30?1??0?。 ?2??1. 求一4?2矩阵B,使得AB?O,且秩(B)?2;
2. 问:是否存在秩大于2的矩阵C使得AC?O?为什么? 六(12%)设实对称矩阵
?k10??4????? A??130?与B??2?相似.?004??4?????1. 求参数k的值;
2. 求一正交矩阵Q,使得QTAQ?B. 七(7%)证明题:
1. 设?1,?2 是矩阵A的两个互异的特征值,?1,?2是A的属于?1的线性无关的特征向量,?3是A的属于?2的特征向量。证明:?1,?2,?3线性无关。
2. 已知n阶方阵A相似于对角阵,并且,矩阵A的特征向量均是矩阵B的特征向量(注:A,B的特征值未必相同)。证明
AB?BA.
03-04学年第三学期
一. (24%)填空题:
?1?1. 假设矩阵A??01??00?0??,则An0?2???????????。 ????1??1??t?2. 假设向量组A:???1?,???t?,???1?,则当参数t满足条件 时,向量组A的秩为1; 时A的秩为2;
???????t??1???1???????时A的秩为3。
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?1??1a1?3. 若向量???1?是矩阵??的特征向量,则?a,b??A???120????b??120???????。
4. 设矩阵A???a1??01?22,B????,且(A?B)(A?B)?A?B,则参数a,b满足条件 。
?1b??10??304?5. 若矩阵A??3?1x?与对角阵?相似,则x满足条件 。
???100???6. 若A??1a?是正交矩阵,则a,b,c满足条件 。
???bc?27. 若对满足条件A?3A?4E?O的实对称矩阵A, aE?A都是正定矩阵,则实数a必定满足条件 。
?1?1二. (8%)求矩阵A???x??x111xx111x??x?的行列式det(A)的值。 ?1?1?1??3??1??????2?,向量b??3?,???1?。
?q??1?p???????11三. (15%)已知矩阵A???1p??12?1. 若?是线性方程组Ax?b的解,试求p,q的值,并求这时Ax?b的通解; 2. 若Ax?b有无穷多组解,但?不是Ax?b的解,求p,q的值。
?30?四. (15%)解矩阵方程 XA?2X?B。其中A?01??00?五. (15%)设二次型
?1??102??2?,B???。
?110??3??22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?x3?2x1x3
1. 写出二次型f的矩阵;
2. 求一正交变换X?QY将f化成标准形,并写出相应的标准形。
六. (12%)设3阶矩阵A的特征值是2(二重)和4,且???101?,???010?是A的相应于特征值2的特征
向量,???10TT?1?是A的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵A及(A?2E)n。
T七. (5%)已知矩阵A??解?
八. (6%)证明题:
?12??31?,B????。问:当参数x,y满足什么条件时,矩阵方程AX?B有解,但BY?A无
?2x??1y?1. 已知向量组?1,?2,?3可以由?1,?2线性表示。若向量组?1,?2,?3的秩为2,证明:?1,?2线性无关。 2. 设2阶方阵A??
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?ab??,且a?d?2,ad?bc?1。若b,c不全为零,证明:A不与任何对角阵相似。
?cd?
04-05学年第三学期
一. (27%)填空题 1. 若矩阵A???20??4a?B?,??,且AB?BA,则a,b的值分别为 ; ??03??b5??a??a?2b?3c???2. 设对任意列向量X??b?,AX???,则矩阵A? ;
4a?5b?6c???c???3. 设3阶方阵A???1?2?3?, B??3?2??3?1??3?1??2?
A??的逆矩阵为 ; A?若A的行列式 A?3,则矩阵B的行列式B? ;
?E4. 设A为n阶可逆方阵,2n阶矩阵B???O5. 齐次线性方程组3x1?2x2?3x3?0的一个基础解系为 ; 6. 若二次型
22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3
是正定的,则参数t的取值范围是 ; 7. 若矩阵A??b??a?是正交矩阵, 则参数a,b,c的值分别为 ;
?ca?2??18. 假设3阶矩阵A的特征值为2,1,?1。则行列式A?A的值为 ;
?101??2?9. 若实二次型f,g的矩阵分别为A??0a0?、B??b?,则
????????1012要条件是参数a,b满足 。 ????f,g的正惯性指数相同,负惯性指数也相同的充分必
二(14%)假设n阶矩阵A满足A?2A?3E?O。
1. 证明矩阵A及A?E均可逆,并分别求A及(A?E); 2. 证明:若A?E,矩阵A?3E肯定不可逆。
?12?1?11???1?????三(14%)假设矩阵A??1?1?,b??1?。已知线性方程组Ax?b有无穷多组解。试求参数?的值,并求方程组的
??11???2?????通解(要求用Ax?b的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示)。 ?034?四(15%)已知矩阵A??0?10?相似于对角阵。
???1a3???1. 求a的值,并求A的特征值及相应的特征向量;
2. 求一可逆矩阵P,使得PAP为对角阵,并写出相应的对角阵; 3. 问:是否存在正交矩阵Q,使得QAQ为对角阵?试说明你的理由。
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?0?21??1?11??20???五(12%)已知矩阵A??0?10?,矩阵B??,D????求矩阵X,使得DXA?2DX?B。
21003?????001???1???0??1???1??1???????????六(12%)假设3维向量?1??0?,?2??1?;?1??2?,?2??1?,?3??1?。已知向量组?1,?2与向量组?1,?2,?3等
?a??b??1??2??c?价。 ??????????1. 求?1,?2,?3的秩及其一个最大线性无关组,并求参数a,b,c的值; 2. 令矩阵A???1,?2?,B???1,2AX?B的矩阵X。 ?2,?3?,求满足
七(6%)假设n阶矩阵A满足A?2A。
1. 证明:关于矩阵的秩有等式R(2E?A)?R(A)?n,并且A相似于对角阵; 2. 若R(A)?r,试求行列式A?E的值。
05-06第三学期
一. (30%)填空题(E表示相应的单位矩阵)
A?B的行列式A?B? ; 1. 设3阶矩阵A???1,?2,?3?的行列式A?3,矩阵B???2,?3,?1?, 则矩阵
22. 若矩阵A满足A?O,则E?A的逆矩阵(E?A)?1? ;
3. 若向量组?1??1,t,1?,?2??1,1,t?,?3??t,1,1?,的秩为2,则参数t满足条件 ;
4. 假设3阶矩阵A的特征值为1,2,?1,矩阵B?E?2A,其中,A是A的伴随矩阵,则B的行列式B? ;
**
??100??0?????35. 若矩阵A??2x2?与矩阵B???相似,则?x,y?? ;
?312??y?????6. 设(1,?1,0),(1,0,?1)是3阶实对称矩阵A的相应于某个非零二重特征值的特征向量。若A不可逆,则A的另一个特
征值为 ,相应的一个特征向量为 ;
7. 已知3元非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵的秩为2, 并且,?1,?2,?3是Ax?b的3个解向量,其中
TT,则Ax?b的通解是 ; ?1?(1,1,1),?2??3?(2,4,6)TT8. 若4阶方阵A,B的秩都等于1,则矩阵A?B的行列式A?B? ;
?21??12?9. 若矩阵A???与矩阵B???合同,则参数x满足条件 。
1x2?1????111+x11111+x二. (10%)计算下述行列式的值:D?
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