解的存在唯一性定理(2)

(Tx)(t)???任取x?C,由于|(Tx)(t)??|?|则T是C到C的映射。

?????tf(s,x(s))ds

??tf(s,x(s))ds|?M??b,t?[???,???]

下面指出T是压缩映射，事实上，由Lipschitz条件，对C中任意两点x和x，有

??|(Tx)(t)?(Tx)(t)|?|?[f(t,x)?f(t,x)]dt|?L?|x(s)?x(s)|e?kseksds?

???Lmax{|x(t)?x(t)|e?kt}ekt kt?J?t?t?即:

|Tx(t)?Tx(t)|e从而

?_?kt?L?max{|x(t)?x(t)|e?kt} kt?J?LL||(Tx)(t)?(Tx)(t)||?||x?x||,0??1.

kk 令??L，则0???1，且 k||(Tx)(t)?(Tx)(t)||??||x?x||

所以T是C上的压缩映射。由定理2.8.存在唯一的x?C，使Tx?x，即

????x(t)????f(t,x(t))dt

?t且x(?)??，两边对t求导，即得

dx(t)dx?f(t,x(t))，这说明x(t)是方程?f(t,x)满足初值条件dtdtx(?)??的解，那么，

x(t)????f(t,x(t))dt

?~t~因而x?C，且x是T的不动点，由定理2.9中不动点的唯一性必有x?x，即方程区间J?[???,???]上有唯一的满足初值条件x(?)??的连续函数解。

注1:定理3.1与定理3.2指出,从一个在J中的连续函数?0(x)出发按

~?~~dx?f(t,x)在dt?0(t)???n(t)????f(s,?n?1(s))ds??t????x0t

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去计算,我们得到逐次逼近序列,并且这个序列按范数在J中收敛于初值问题的解x(t)这样就得到求近似解的方法. 例1 方程

dydx?x2?y2定义在矩形区域 R: ?1?x?1, ?1?y?1 ,确定经过点(0,0)

的解的存在区间 ,并在此区间上求第三次近似解. 解:

满足解的存在唯一性定理的条件

M?(maxx,y)?Rx2?y2?2,h?min(a,bM)?min(1,12)?12,Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为 ?f?y?2y?2?L ?0(x)?0

?)??x[x2??200(x)]dx?x31(x3

x22)]dx??x[x2x6x3x7?2(x)??0[x??1(x0?32]dx?3?63

?x22x2x62x10x14x3x72x11x153(x)??0[x??2(x)]dx??0[x?32?189?3969]dx?3?63?2079?59535

注2 使Lipschitz条件存在的一个充分条件是f对y有连续偏导数. 例2

dydx?y R 为中心在原点的矩形域, f(x,y)?y 在 y?0 (x轴上) 无导数, 但

f(x,y1)?f(x,y2)?y1?y2?y1?y2,故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。

注3 定理3.1,定理3.2 中的两个条件是保证初值问题存在唯一的充分条件，而非必要条件。

例3 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一

dydx?f(x,y)???a y?ax a?0?0 y?ax f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一

???当 y?ax dy?a y?ax?dx ???当 y?ax dydx?0 y?C例4 当 Lipschitz 条件不满足时，解也可能存在唯一

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?ylny y?0dy?f(x,y)?? dx y?0?0 f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipschitz 条件，但解存在唯一

f(x,y1)?f(x,0) ?y1lny1?0 ?lny1y1?0

y?0, lny1??不可能有界

dlnydydy?ylny ?dx ?dx dxylnylnylnlny?x?c1 lny?c2ex

??y??ec2e ???y?0推论1 线性方程

xdy?p(x)y?Q(x),当P(x),Q(x)在区间[?,?]上连续,则由任一初值dx(x0,y0)x0?[?,?]所确定的解在整个区间[?,?]上都存在.

证明: 右端函数p(x)y?Q(x)在带状区域R:[?,?]?(??,??)上连续,则右端函数p(x)y?Q(x)在区域R:[?,?]?[y0?b,y0?b]上连续,又因为P(x)在[?,?]上连续,则maxP(x)?L

x?[?,?]从而右端函数p(x)y?Q(x)满足定理3.2中条件,故线性方程

dy?p(x)y?Q(x)对任一初值dx(x0,y0)(x0,y0)

x0?[?,?]在|x?x0|?h上有唯一解.,由任意x0?[?,?] ,则由任一初值x0?[?,?]所确定的解在整个区间[?,?]上都存在.

?)的某一邻域中, ?,如果在点(x0,y0,y0推论2 一阶隐方程F(x,y,y?)?0,y(x0)?y0,y?(x0)?y0?)连续，且存在连续的偏导数； a) F(x,y,y')对所有的变元(x0,y0,y0?)?0 b) F(x0,y0,y0c) ?)?F(x0,y0,y0?0

?y?则上述初值问题在x0的某一邻域存在

证明: 根据条件a),b)c),由数学分析(华东师大第三版)下册定理18.3F(x,y,y?)?0所确定的隐函数

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Fy??fy??f(x,y)在(x0,y0)邻域内存在且连续，且。 ???yFy??由条件a)，

?f在(x0,y0)的邻域内连续,在以(x0,y0)为中心的某一闭矩形区域D中有界,所以?yf(x,y)在D中关于y满足Lipschitz 条件.

?dy??f(x,y)故由F(x,y,y?)?0所确定的隐函数y??f(x,y)满足定理3.2的条件,所以?dx存在唯一

??y(x0)?y0解.

注:隐式微分方程存在唯一性定理也可应用压缩映射原理证明,见文[17].

说明2：证明微分方程解的存在性过程，就是在不断的寻求定理条件减弱的前提下来证明解的存在性。下面在右端函数不要求满足Lipschitz 条件下，给出微分方程解的存在性的另外两种证明方法，但是不能证明解的唯一性。

3.2 Schauder不动点方法

定理3.3（Peano）若函数f(t,x)是空间R?n?1中区域，R：|t??|?a,||x??||?b 上连续，因

?而存在数M?0，使得||f(t,x)||?M,(t,x)?R，则方程组（3.1）至少在区间

?:|t??|?h?min{a,上存在一个满足初始条件?(?)??的解?(t)。

b} M证明：考虑定义在?上的一切连续函数所构成的空间X，若在X中定义模为

||x(t)||?max|x(t)|, x(t)?X;

t??

则容易验证X是一Banach空间。 考虑空间X的一个子集合

K?{x(t):x(t)?X,||x(t)??||?Mh}

和K上的一个积分算子T：

(Tx)(t)????f(s,x(s))ds, x(t)?K

?t 显然，为证明定理，只要证明算子T在K上有一个不动点就够了，为此首先证明K是一凸闭集。 任取?个xi(t)?K(i?1,2,?,?)，那么只要?i?0,??i?1?i?1,就有

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||??ixi(t)??||?||??i(xi(t)??)||???iMh?Mh

i?1i?1i?1??? 即

??x(t)?K，因此K是凸的。

iii?1? 又设{xi(t)}?K(i?1,2,?)且xi(t)?x0(t)?X；则由||xi(t)??||?Mh，则||x0(t)??||?Mh,得

x0(t)?K，因此K是一闭集。

根据h的定义，易知算子T在K上有定义，并由对任意的x(t)?K有

t||(Tx)(t)??||?||?f(s,x(s))ds||?Mh,t??,

?从而有

||(Tx)(t)??||?Mh （3.5）

故T(K)?K，这说明T是K到它自身的一个算子。

最后证明T在K上是全连续的。为此，设x*(t),xi(t)?K,(i?1,2,?),且xi(t)?x*(t)；于是对于任给的??0，必存在N，使得i?N,t??时有，|xi(t)?x*(t)|?||xi(t)?x*(t)||?? ，因此xi(t)在?上一致收敛于x(t)，从而由

*(Txi)(t)????f(s,xi(s))ds,

?t令i??得

(Txi)(t)????f(s,xi(s))ds?(Tx*)(t)

?t这说明T在K上是连续的。进而，由于对任一x(t)?k和任意的t1,t2??,有

||(Tx)(t1)?(Tx)(t2)||?||?f(s,x(s))ds||?M|t1?t2|,

t1t2所以T(K)作为定义在?上的函数族是同等连续的，此外，由（3.5）式看出这个函数族在?上是一致有界的，故由Ascoli-Arzela定理便知T(K)是相对紧的。

这样由Shauder 不动点定理，必存在一个?(t)?K，使T?(t)??(t)即：

t?(t)????f(s,?(s))ds,t??

?定理得证。 3.3 Euler折线法

定理3.4（Peano）若函数f(t,x)是空间R?n?1中区域，R：|t??|?a,||x??||?b 上连续，因

?而存在数M?0，使得||f(t,x)||?M,(t,x)?R，则方程组（3.1）至少在区间

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