解的存在唯一性定理

一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法

姜旭东

摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder不动点定理，以及Euler折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.

关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言

微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder不动点定理，以及Euler折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.

考虑一阶微分方程

这里f(x,y)是在矩形区域

dy?f(x,y) (1.1) dxR:|x?x0|?a,|y?y0|?b (1.2)

上的连续函数.

函数f(x,y)在R上满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使得不等式

|f(x,y1)?f(x,y2)|?L|y1?y2| (1.3)

对所有(x,y1),(x,y2)?R都成立, L称为Lipschitz常数。

定理1.1、如果f(x,y)在R上连续且关于y满足Lipschitz条件，则方程(1.1)存在唯一的解

y??(x),定义于区间|x?x0|?h上,连续且满足初始条件

?(x0)?y0

这里h?min(a,b),M?max|f(x,y)|.

(x,y)?RM文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间x0?x?x0?h来讨论,对于

1

x0?h?x?x0的讨论完全一样.

分五个命题来证明这个定理:

命题1、设y??(x)是方程(1.1)定义于区间x0?x?x0?h上满足初始条件

?(x0)?y0

的解,则y??(x)是积分方程

xy?y0??f(x,y)dx x0?x?x0?h (1.4)

x0的定义于x0?x?x0?h上的连续解.反之亦然. 现在取?0(x)?y0,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:

?0(x)?y0??x??(x)?y0??f(?,?n?1(?))d??x0?nx0?x?x0?h (1.5)

(n=1,2,…) 命题2 、对于所有的n ，(1.5)中?n(x)在x0?x?x0?h上有定义、且满足不等式

|?n(x)?y0|?b

命题3 、函数序列??n(x)?在x0?x?x0?h上是一致收敛的. 命题4 、?(x)是积分方程(1.4)的定义于x0?x?x0?h上的连续解.

命题5 、?(x)是积分方程(1.4)的定义于x0?x?x0?h上的一个连续解，则?(x)??(x)，

x0?x?x0?h.

综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.

本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder不动点定理，以及Euler折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.

2、预备知识

定义 2.1、 定义在??t??上的实值(m维)向量函数族F??f(t)?,如果存在数M＞0，使得对任一f?F，都有f(t)?M，当??t??时，则称函数族F在??t??上是一致有界的.

2

定义2.2 、定义在??t??上的实值(m维)向量函数族F??f(t)?，如果对于任给的?﹥0，总存在 ?﹥0，使得对任一f?F和任意的t1,t2?[?,?]，只要|t1,?t2|＜?就有

f(t1)?f(t2)＜?

则称函数族F在 ??t??上是同等连续.

定义2.3、设X是度量空间，M是X中子集，若M是X中紧集，则称M是X中相对紧集。 定义2.4、设X和Y是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果对X的任何有界子集M，

TM都是Y中相对紧集，则称T为全连续算子，亦称紧算子。

容易看出，T为全连续算子的充要条件是：设{xn}是X中的有界点列，则{Txn}必有收敛子列。 定义2.5、设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数?,0???1，使得对所有的x,y?X，成立

d(Tx,Ty)??d(x,y),

则称T是压缩映射。

引理2.6、完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。 引理2.7、C[a,b]是完备的度量空间，其中C[a,b]表示区间[a,b]上连续函数全体。 定理2.8、(压缩映像原理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx?x有且只有一个解）。

定理2.9、(Banach压缩映象原理) 设D是Banach空间X的一个非空闭子集,T是D到其自身内的映象,对任意的x,y?D,有||Tx?Ty||??||x?y||,0???1,则必存在唯一的

x*?D使得Tx*?x*,即T在D内有唯一不动点x*.

定理2.10、(Ascoli-Arzela定理)设F?{f(t)}是定义在??t??上的一致有界且同等连续的实值向量函数族，则从F中必可选取一个在??t??上一致收敛的函数列{fn(t)}(n?1,2,?)。

定理2.11、（Schauder不动点定理）设K是Banach空间X的一个有界凸闭集，而T是K到其自身的任一全连续映射，则T在K内至少有一个不动点。

3、主要证明方法

考虑方程组

dx?f(t,x) （3.1） dt其中t?R，x?R，f:G?Rnn?1，G是Rn?1中的某一区域。

若给定一点(?,?)?G，这里?是一实常数，?是一实的n维常向量，求一个向量函数?(t)，它在含?的某一区间?上可微，并满足条件： (1)?(?)??;

(2)(t,?(t))?G,t??;

3

(3)

?'(t)?f(t,?(t)),t??

这一问题称为方程组（3.1）的初值问题，并记为

dx?f(t,x),x(?)?? dt若存在满足上述条件的函数?(t)，则称?(t)为方程（3.1）满足初始条件?(?)??或过点(?,?)的一个解。

3.1 Picard逐次逼近法（压缩映像原理）

定理 3.1 若函数f(t,x)是空间R?n?1中区域，R：|t??|?a,||x??||?b 上连续，设

?||f(t,x)||?M,(t,x)?R，f(t,x)在R上关于x上满足Lipschitz条件，及存在常数L使对任意(t,x),(t,x)?R，有

||f(t,x)?f(t,x)||?L||x?x|| （3.2）

则方程组（3.1）在区间J?[???,???]上有唯一的满足初始条件x(?)??的连续解，其中

???????min{a,b1,},||?||为欧氏范数. ML证明：设C[???,???]表示区间J?[???,???]上连续函数全体按距离

t?Jd(x,y)?max||x(t)?y(t)||所成的度量空间，由引理2.7知C[???,???]是完备的度量空间，又

令C表示C[???,???]中满足条件

||x(t)??||?M?,t?J （3.3） 的连续函数全体所成的子空间，不难看出C是闭子空间，由引理2.6可得，C是完备度量空间，令： (Tx)(t)??????????f(t,x(t))dt （3.4）

?t(t,x(t))?R，则T是C到C的映射。事实上，M??b，所以如果x?C，那么当t?[???,???]时，

又因为f(t,x(t))是R上的连续函数，所以（3.4）式右端积分有意义，又对一切t?J成立：

??||(Tx)(t)??||?||?f(t,x(t))dt||?M|t??|?M??b

?t所以，当x?C时，Tx?C。下面指出T是压缩映射，事实上，由Lipschitz条件，对C中任意两点x和x，有

????||(Tx)(t)?(Tx)(t)||?||?[f(t,x)?f(t,x)]dt||?|t??|Lmax||x(t)?x(t)||?L?d(x,x)

?t?J?t???令??L?，则0???1，且

4

d(Tx,Tx)?max||(Tx)(t)?(Tx)(t)||??d(x,x)

t?J???所以T是C上的压缩映射。由定理2.8.存在唯一的x?C，使Tx?x，即

??x(t)????f(t,x(t))dt

?t且x(?)??，两边对t求导，即得

dx(t)dx?f(t,x(t))，这说明x(t)是方程?f(t,x)满足初值条件dtdtx(?)??的解，那么，

x(t)????f(t,x(t))dt

?~t~因而x?C，且x是T的不动点，由定理2.8中不动点的唯一性必有x?x，即方程区间J?[???,???]上有唯一的满足初值条件x(?)??的连续函数解。

~?~~dx?f(t,x)在dt

说明1：定理3.1与定理1.1相比较, 定理3.1中解的存在区间J?[???,???]b1,}?受Lipschitz条件L的限制,下面给出定理3.1的改进,使得方程组（3.1）MLb在区间J?[???,???]，其中??min{a,}不受Lipschitz条件L的限制.

M中,??min{a,

定理 3.2 若函数f(t,x)是空间R?n?1中区域，R：|t??|?a,|x??|?b 上连续，设

?|f(t,x)|?M,(t,x)?R，f(t,x)在R上关于x上满足Lipschitz条件，及存在常数L使对任意(t,x),(t,x)?R，有

|f(t,x)?f(t,x)|?L|x?x|

则方程组（3.1）在区间J?[???,???]上有唯一的满足初始条件x(?)??的连续解，其中

?????b}。 M证明：设C[???,???]表示区间J?[???,???]上连续函数全体所构成空间，如果对任意的x(t)?C[???,???],定义它的范数为

??min{a,||x(t)||?max{|x(t)|e?kt;t?[???,???]},

其中k?L为常数.不难验证C[???,???]为Banach空间，又令C表示C[???,???]中满足条件

|x(t)??|?b,t?J 的连续函数全体所成的子空间. 令：

? 5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库解的存在唯一性定理在线全文阅读。