2014年惠安县普通高中毕业班质量检查理 科 数 学(2)

近于0），所以kP1无限趋近于． ?klnn?1P2二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．

11?1311．1； 12．； 13．6； 14．4； 15．．

32*15.解析：令f(x)?3?x，则F(x)?f(f(f(f(x)))，?，?．x若f(x0)?x0，则f(f(x?f(x)x0))0?0f(f(f(f(x0)))?x0；反过来，若x0满足f(f(f(f(x0)))?x0，由于f(x)在[0,??)上单调递增，由反证法可知，必1?13（负值舍去）． 2三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算

求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分． 证明：（1）E、F分别是AB、AP的中点.

EF是?APB的中位线，?EF//PB, ???????????????2分 由已知可知PO?ABCD,?PO?AC, ???????????????3分

有f(x0)?x0．综上可知，方程f(f(f(f(x)))?x与f(x)?x同解，得x?AC?BD,OPBD?O?AC?面POB, ?????????????4分 PB?面POB?AC?PB ???????????????????5分 ?AC?EF.????????????????????????????6分

（2）以OB,OC,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

由题设，得OA?OB?2,OC?OD?1， ????????????????7分 A?0,?2,0?,B?2,0,0?,C?0,1,0?,D??1,0,0?,P(0,0,2)

OE?(1,?1,0),OF?(0,?1,1), ??????????????????????8分

设平面OEF的法向量为m?(x,y,z)

??m?OE?0可得m?(1,1,1)， ?????????????????????10分 ????m?OF?0又平面OAE的法向量为n?(0,0,1)

[来源学科网ZXXK]

设二面角F?OE?A的大小为?，则|cos?|?|m?n|3．

?|m||n|3317. 本小题主要考查三角函数的图像和性质、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，

考查数形结合、化归与转化思想等．满分13分．

???解：（Ⅰ）f(x)?2Acos2(x??)?A?A[2cos2(x??)?1]?Acos(x?2?)． ?????2分 663???所以T?2??6．将P(1,A)代入得cos(?2?)?1(|?|?），故???．?6分

?2633?为锐角，?二面角F?OE?A的余弦值为3. ???????????13分

（Ⅱ）设点Q的坐标为(x0,?A)，由题意可知

22?233连接PQ, 则PQ?(4?1)?(?A?A)?9?4A2, ????????????8分 又因为RP?A,RQ2?(4?1)2?(?A?0)2?9?A2 ????????????9分

2?在?PRQ中,?PRQ?,由余弦定理得：

322RP?RQ?PQ2A2?9?A2?(9?4A2)1cos?PRQ????.

2RP?RQ22A?9?A2解得A2?3 ，又A?0，所以A?3．?????????????????11分

x0????，得x0?4，所以Q(4,?A) ．

6

12?12?1333???13分 RP?RQ?sin??A?9?A2sin??3?12??232322218. 本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能

力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）设M(x,y)，则P(x,2y)．点P在圆x2?y2?4上，?x2?(2y)2?4，

S?PRQ?x2即点M的轨迹E的方程为?y2?1．????????????????4分

4（Ⅱ）解法一：

（i） 当直线PN的斜率不存在时，直线MN的方程为x?2或x??2．显然与轨迹E相切； （ii）当直线PN的斜率存在时，设PN的方程为y?kx?t(k?0)，

|t|22因为直线PN与圆O相切，所以?2，即t?4k?4?0．??????7分

k2?1tk又直线MN的斜率等于，点N的坐标为(?,0)．

k2kt1所以直线MN的方程为y?(x?)，即y?(kx?t)． ??????????9分

2k21?y?(kx?t),??2由?得(1?k2)x2?2ktx?t2?4?0． 2?x?y2?1,??4??(2kt)2?4(1?k2)(t2?4)?4k2(t2?4k2?4)?0．故直线MN与轨迹E相切． 综上（i）（ii）知，直线MN与轨迹E相切． ?????????????????13分 解法二 ：设P(x0,y0)（x0?0），则x02?y02?4．??????????????5分

（i）当y0?0时，直线MN的方程为x?2或x??2，此时，直线MN与轨迹E相切； （ii）当y0?0时，直线PN的方程为x0(x?x0)?y0(y?y0)?0，即x0x?y0y?4．

令y?0，则x?y4．4?N(,0)，又点M(x0,0)，

2x0x0y02(x0?4)x0(x?所以直线MN的方程为y?x24，即

y??0x?．??????9分 )2y0y0x0x02?y??x?,由?得(x02?y02)x2?8x0x?4y02?16?0即x2?2x0x?y02?4?0． 2yy00??x2?4y2?4?0,???(2x0)2?4(?y02?4)?4(x02?y02?4)?0．所以，直线MN与轨迹E相切． 综上（i）（ii）知，直线MN与轨迹E相切．?????????????????13分

19．本小题主要考查样本频率分布、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．

32解: （Ⅰ）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为：?100%?64%．??????2分

50 被调查者年龄的平均约为：20?5?30?10?40?15?50?10?60?5?70?5?43?4分

50（Ⅱ）依题意得：??0,1,2,3???????????????????????5分

22C6C46154515

p???0??2?2???=,C5C1010452257521112C6C4?C6C4C441562410234

p???1??2?2?2??????=,2C5C10C5C10104510452257511122C4?C6C4C4C4424666622

p???2??2????????=,22C5C10C52C101045104522575 7

12C4C446124???????????????7分

p???3??2?2???=,C5C10104522575

所以?的分布列是：

? 0 15 751 34 752 22 753 4 75p 所以?的数学期望E??6． ????????????????????9分 5k20?kC32C18（Ⅲ）?P(??k)?,其中k?2,3,4?,20. ?????????????10分 20C50k?119?kC18P(??k?1)C32(32?k)(20?k)，?????????????11分

??k20?P(??k)(k?1)(k?1)C32C18?k17(32?k)(20?k)当时，P(??k?1)?P(??k)； ?1即k?12?52(k?1)(k?1)17(32?k)(20?k)当时，P(??k?1)?P(??k).?????12分 ?1即k?12?52(k?1)(k?11)即P(??2)?P(??3)?P(??4)???P(??13)；P(??13)?P(??14)?P(??15)???P(??20). 故有：P(??k)取得最大值时k?13. ???????????????13分

20．本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知识，考查运算

求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分. 解：（Ⅰ）∵f?(x)?ex?a，f?(0)?1?a?0，故a?1．???????????1分

令f?(x)?ex?1?0得x?0；令f?(x)?ex?1?0得x?0． ??????3分

所以f(x)的单调递增区间为(0,??)；单调递减区间为(??,0)．??????4分

（II）由g(x2)?g(x1)?m(x1?x2)变形得：g(x2)?mx2?g(x1)?mx1．?????5分 x2?x1令函数F(x)?g(x)?mx，则F(x)在R上单调递增． ???????????6分 ?F?(x)?g?(x)?m?0即m?g?(x)在R上恒成立． ???????????7分 而g?(x)?f?(x)?f?(?x)?ex?e?x?2?2ex?e?x?2?0（当且仅当x?0时取“=”） 所以m?0．?????????????????????????????9分 （Ⅲ）证明：不妨设x1?x2，由?1??2?1(?1,?2?(0,1))得： f(?1x1??2x2)?[?1f(x1)??2f(x2)] ?e?1x1??2x2?(?1x1??2x2)?1??1(ex1?x1?1)??2(ex2?x2?1) ?e?1x1??2x2??1ex1??2ex2 ?ex1(e?1x1?x1??2x2??1??2ex2?x1) ?ex1(e??2x1??2x2?1??2??2ex2?x1) ?ex1[e?2(x2?x1)?1??2??2ex2?x1] x?(x?x)x?x其中e1?0，故上式的符号由因式“e221?1??2??2e21”的符号确定． ?tt令t?x2?x1，则函数?(t)?e2?1??2??2e(t?0)． ??(t)??2e?2t??2et??2et[e(?2?1)t?1]，其中(?2?1)t?0，得e(?2?1)t?1?0，故??(t)?0．即?(t)在(0,??)上单调递减，且?(0)?0．所以?(t)?0． 从而有f(?1x1??2x2)??1f(x1)??2f(x2)成立． 该不等式能更进一步推广： 已知n?N,n?2，x1,x2,?,xn是互不相等的实数，若正实数?1,?2,?,?n满足?1??2????n?1，则

f(?1x1??2x2????nxn)??1f(x1)??2f(x2)????nf(xn)．

下面用数学归纳法加以证明：

i）当n?2时，由（Ⅱ）证明可知上述不等式成立；

8

ii）假设当n?k时，上述不等式成立．即有：f(?1x1??2x2??3x3????kxk)??1f(x1)??2f(x2)??3f(x3)????kf(xk)． ?k?1?2则当n?k?1时，由?1??2????k??k?1?1得：?????1，于是有： 1??k?11??k?11??k?1?k?k?1?2?1?2f(x1)?f(x2)???f(xk)． f(x1?x2???xk)?1??k?11??k?11??k?11??k?11??k?11??k?1在该不等式的两边同时乘以正数1??k?1可得：?k?1?2(1??k?1)f(x1?x2???xk)??1f(x1)??2f(x2)????kf(xk)． 1??k?11??k?11??k?1在此不等式的两边同时加上?k?1f(xk?1)又可得：?k?1?2 ?k?1f(xk?1)?(1??k?1)f(x1?x2???xk)?1??k?11??k?11??k?1?1f(x1)??2f(x2)????kf(xk)??k?1f(xk?1)． 该不等式的左边再利用i）的结论可得：k2f[?k?1xk?1?(1??k?1)(1x1?x2???xk)]?1??k?11??k?11??k?1k12 ?k?1f(xk?1)?(1??k?1)f(x1?x2???xk)．整理即得：1??k?11??k?11??k?1f(?1x1??2x2????kxk??k?1xk?1)??1f(x1)??2f(x2)????kf(xk)??k?1f(xk?1)． 所以，当n?k?1时，上述不等式仍然成立． 综上，对?n?N,n?2上述不等式都成立．??????????????????14分 ??????21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．

?2?22??22?2????????解：（Ⅰ）?M??22?，M?1，?M?1?1?22???22?．?4分

M?2?22??22??2????2??2?2?2??2???2??22??20???1?1???22（Ⅱ）?N??，， NM??M????11?

2?2????0?2?2??2?x??y??x??x?x?y??222代入xy?1中得：y??x??4． ??????y??x?y?y??x??y??2?故所求的曲线方程为：y2?x2?4．????????????????7分

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．

22222解：（Ⅰ）由??4cos?得??4?cos?，故曲线C的直角坐标方程为：x?y?4x，即(x?2)?y?4；

由直线l的参数方程消去参数t得y?3?3(x?1)， 31?1，d恰为圆C半径的，所以圆C上共有3

2即x?3y?4?0．????????????????????????4分 （Ⅱ）因为圆心C(2,0)到到直线l的距离为d?2?3?0?41?3个点到直线l的距离为1．????????????7分

（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

9

本小题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分． 解：（Ⅰ）由三个数的均值不等式得：

11?33(a?b)b??3

(a?b)b(a?b)b1（当且仅当a?b?b?即b?1,a?2时取“=”号），故有t?3．??4分

a?b（Ⅱ）?x?y?z?3，由柯西不等式得：

[x2?(2y)2?z2](12?12?12)?(x?2y?z)2

x2yz63?即x?z?,y?时取“=”号） （当且仅当?11155整理得：(x?2y?z)2?9，即x?2y?z?3．???????????7分

m?(a?b)?b?[来源学科网] 10

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2014年惠安县普通高中毕业班质量检查理 科 数 学(2)在线全文阅读。