第一章 晶体的结构

第一章 晶体的结构

一、填空体

1. 晶体具有的共同性质为 长程有序 、自限性 、各向异性 。

2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间距为2a ，原胞与晶胞的体积比 1：1 ，配位数为 6 。 3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 3/2a ，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：2 ，配位数为 8 。 4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 2/2a ，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：4 ，配位数为 12 。

5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。

6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。 7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。 8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。

9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。

10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素： 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ， m ，3 ，4 ，6，其中 3 和 6 不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32个点群。 二、基本概念 1. 原胞

原胞：晶格最小的周期性单元。 2. 晶胞

结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。 3. 散射因子

原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。 4. 几何结构因子

原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。 5. 配位数

晶体内最近邻原子数 8. 简单晶格

基元中只含一个原子的晶体

1

9. 复式晶格

基元中含两个或两个以上原子的晶体

10.几何结构因子：原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。 11. 几何结构因子

原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。 三、简答题

1.倒格矢与正格矢有什么关系。 1）倒格矢与正格矢互为倒格矢

2）倒格原胞与正格原胞的体积比等于（2π）3

3）倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族（h1h2h3）正交。 4）倒格矢Kh的模与晶面族（h1h2h3）的面间距成反比

2.晶体的主要特征有哪些？

答：1）长程有序与周期性 2）自限性 3）各向异性

3. 晶体宏观对称性的基本对称操作有哪些？（5分）

答：有1、2、3、4和5次旋转对称轴及4次旋转反演轴4，中心反演操作i，镜面操作m。

4. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？

答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.

5. 基矢为 , , 的晶体为何种结构?为什么?

答：有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积

.

由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方.我们可以构造新的矢量

,

,

.

满足选作基矢的充分条件.可见基矢为

为体心立方结构.

6. 与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么?

2

, , 的晶体

答：正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式 h1 +h2 +h3

垂直, 则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢 h1 + hl2 + h3 正交. 即晶列[h1h2h3]与倒格面(l1l2l3) 垂直.

7. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 答： 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.

8. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?

答：六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.

9. 体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大? 答：结晶学的晶胞,其基矢为

,只考虑由格矢

h

+k

+l

构成的格点. 因此, /2.

体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为 , 但实际周期为

10. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?

[解答]

对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 可知, 面间距

大的晶面, 对应一个小的光的掠射角

.

. 面间距

小的晶面, 对应一

个大的光的掠射角 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.

11. 温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化? [解答]

温度升高时, 由于热膨胀, 面间距

逐渐变大, 衍射角

逐渐变小.所

逐渐变大. 由布拉格反射公式

可知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距 以温度升高, 衍射角变小.

当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角

四、证明计算

3

随之变大.

1. 劳厄方程与布拉格公式是一致的。 证明：由坐标空间劳厄方程： 与正倒格矢关系 比较可知：若

Rl?(k?k0)?2??

Rl?kh?2??

kh?k?k0成立

kh，则k方向产生衍射光，kh?k?k0式

发，推导Blagg公式，

即入射波矢k0，衍射波矢k之差为任意倒格矢称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。

现由倒空间劳厄方程出弹性散射

k?k0

由倒格子性质，倒格矢族。所以，

kh垂直于该晶面

分面必与该晶面族

kh的垂直平

平行。

由图可得知：

4??Sin?|kh|=2kSin?＝? (A) ）

又若|若

k'h|为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：|K'h|＝

2?d

kh不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性

2??'k|k| h＝n|h|＝d.n （B） -

比较（A）、（B）二式可得 2dSin?＝n?

即为Blagg公式。

2. 证明不存在5度及6度以上的旋转对称轴。

如下图所示， A , B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点．如果绕通过 O 点并垂直子纸面的转轴顺时针旋转θ角，则 A 格点转到A?点．若此时晶格自身重合．A?点处原来必定有一格点．如果再绕通过 O 点的转轴逆时针旋转θ角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转θ角，B格点转到B?点处，说明B?处原来必定有一格点．可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列．由下图可知，A?B?晶列与 AB 晶列平行．平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为 a ，则有

4

A?B??2a|cos?|?ma

其中m为整数，由余弦的取值范围可得

|cos?|?于是可得

m?12

m?0:???3?2,2

?2?4?5?m?1:??,,,3333

m?2:???,2?

因为逆时针旋转 3π/2，4π/3，5π/3分别等于顺时针旋转π/2，2π/3，π/3，所以晶格对称转动所允许的独立转角为

2?,?,上面的转角可统一写成

2???,,323

2?,n?1,2,3,4,6n

称n为转轴的度数．由此可知，晶格的周期性不允许有 5 度及6度以上的旋转对称轴。

3. 一维离子链，正负离子间距为a，试证：马德隆常数??2ln2。 相距rij的两个离子间的互作用势能可表示成

q2bU(rij)???n4??rijrij设最近邻原子间的距离为 R，则有

rij?ajR则总的离子间的互作用势能

NNq211U??U(rij)??[(?)??2i?j24??Ri?jajRn其中

b]?nai?jj

???(?

i?j1)aj

5

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