统计选教课题库答案(天津财经大学)(3)

27．（取消）随机变量X服从标准正态分布N（0，1）。查表计算：P（0.3

P（0.3

P（-2

P（-3

P（-3

P(1600

P（1400

282282=Φ（1.1348）-Φ（0.4255）=0.3708-0.1664=0.2044

P（1600

=Φ（0.2837）+Φ（0.4255）=0.1103+0.1664=0.2767

P（2000

2000?1720282）=Φ（∞）-Φ（0.9929）=0.5-0.3389=0.1611

229．（取消）若随机变量X服从自由度等于5的??分布，求P(3

解：

当v=5时 P（3

30．（取消）若随机变量X服从自由度为f1=4，f2=5的F－分布，求P(X >11)的近似数值；若X服从自由度为f1=5，f2=6的F－分布，求P(X<5)的近似值。

解：

当f1=4、f2=5时 P（X>11）=0.01

当f1=5、f2=6时 P（X<5）=1-0.05=0.95

31．（取消）若随机变量X服从自由度为10的t–分布，求P(X>3.169)；若X服从自由度为5的t –分布,求P(X<–2.571)。

解：

P（X>3.169）=

12*0.01=0.005；P（X<-2.571）=

12*0.05=0.025

32．同时掷两颗骰子一次，求出现点数和的数学期望和方差。 解：

X=xi P（X=xi） 2 1363 2364 3365 4366 5367 6368 5369 43610 33611 23612 136

E（X）=?xipi=2*

+11*

136236+3*+12*

236136+4*

336+5*

436+6*

536+7*

636+8*

536+9*

436+10*

336

=252=7

36 11

V（X）=??xi-E?X?+?6?7?2*+?12或者：

?7?2?2pi= ?2?7?6362*

136+?3?7?2*

5236+?4?7?2*

436336+?5?7?2*

3362436

2536+?7?7?2*+?8?7?2*+?9?7?2*

36+?10?7?2*

+?11?7?*

36*

136=210=5.833

36V（X）= E（X）-[ E（X）] =2*

+12*

2

2

2

2

136+3*

2

2

236+4*

2

336+5*

2

436+6*

2

536+7*

2

636+8*

2

536+9*

2

436+10*

2

336+11*

2

236

136-7=54.833-49=5.833

33．已知100个产品中有10个次品。现从中不放回简单随机抽取5次。求抽到次品数目的数学期望和方差。

解：

34．假设接受一批产品时，用放回方式进行随机抽检，每次抽取1件，抽取次数是产品总数的一半。若不合格产品不超过2%，则接收。假设该批产品共100件，其中有5件不合格品，试计算该批产品经检验被接受的概率。

050149解：C500.05（1?0.05）+C500.05（1?0.05）=0.0769+0.2025=0.2794

235．随机变量X1,X2，?，Xn独立，并且服从同一分布，数学期望为?，方差为?。这

01个随机变量的简单算术平均数为X。求Xi?X的方差。(取消)

36．根据长期实验，飞机的最大飞行速度服从正态分布。现对某新型飞机进行了15次试飞，测得各次试飞时的最大飞行速度（米/秒）为：

422.2 417.2 425.6 425.8 423.1 418.7 428.2 438.3 434.0 412.3

n431.5 413.5 441.3 423.0 420.3

试对该飞机最大飞行速度的数学期望值进行区间估计（置信概率0.95）。 解：假设飞机最大飞行速度的数学期望为U，每次的最大飞行速度为X，

iX?425 s?8.488

X?Us/nt?~t(14)

t0.025(14)?2.145 2.145s/n?2.145?8.488/15?4.7

n?U?X?2.145s/n?425?4.7425?4.7?X?2.145s/

因此，飞机最大飞行速度数学期望的区间估计为（420.3, 429.7）

12

37．自动车床加工某种零件，零件的长度服从正态分布。现在加工过程中抽取16件，测得长度值（单位：毫米）为：

12.14 12.12 12.01 12.28 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06

试对该车床加工该种零件长度值的数学期望进行区间估计（置信概率0.95）。

解

x?：

?xn?193.3916?12.086875(毫米),s?2?(x?x)n?12?0.0749437515?0.0

??x?12.086875（毫米），1.点估计：??)?v(x)?v(?(n?1)215s2n?0.0049962516?0.0003122652.区间估计：v(x)?则，上限为：x?t0.025150.000312265?0.017671,t??t0.025?2.131v(x)?12.086875?2.131?0.017671?12.1245(毫米）?12.086875?0.0376569下限为：x?t0.02515v(x)?12.086875?2.131?0.017671?12.0492(毫米)零件长度的数学期望被95%。

?12.086875?0.0376569所以，该车床加工该种所包含的置信概率为区间（12.0492，12.1245）

38．用同样方式掷某骰子600次，各种点数出现频数如下：

点 数 出现频数 1 60 2 100 3 150 4 80 5 90 6 120 合 计 600 试对一次投掷中发生1点的概率进行区间估计（置信概率0.95）。 解：

p?60600?0.1

v(p)?p(1?p)n?1?0.1(1?0.1)600?1?1.5025?10?4

?1???95%?z0.025?1.96

置信区间：（0.1-1.96?0.00015025，0.1+1.96?0.00015025），即：（0.076，0.124） 39．某微波炉生产厂家想要了解微波炉进入居民家庭生活的深度。他们从某地区已购买了微波炉的2200个居民户中用简单随机不还原抽样方法以户为单位抽取了30户，询问每户一个月中使用微波炉的时间。调查结果依次为（分钟）：

300 520 750 580 360

450 600 550 650 370

900 340 20 430 560

50 280 1100 460 610

700 380 440 450 710

400 800 460 400 200

13

试估计该地区已购买了微波炉的居民户平均一户一个月使用微波炉的时间。并计算估计量的估计方差。

解：根据已知条件可以计算得：?i?1（1）估计量

1?Y?y?nnnyi?14820

n?yi?12i?885860 0?i?1yi=

130*14820= 494（分钟）

（2）估计量的估计方差

sn30?v(Y)?v(y)?(1?)=1*1537520*(1?)=1743.1653

220030nN292其中 s2???yn-1i?11ni-y?22?n2??y-ny?in-1?i?1?1??=1*?8858600?30*494?30?1?2?

=53017.93

40．某地区有8000户居民，从中简单随机抽取30户，调查各户5月份用水量（吨），数据如下：

5 2 28

10 3 27

20 4 17

15 6 19

8 7 16

7 9 4

4 18 5

3 17 6

9 21 24

11 30 22

试估计该地区全体居民5月份用水总量（计算估计量以及估计量的估计方差）。 解：

（1）估计量

N???NYY?Ny??n800030800030yi??(5?10?20???6?24?22)??377?100533.33(吨） （2）估计量的估计方差

S2?1n?xi2?x2?130?(52?102?202???62?242?222)?(237730)2?130?6975?(37730)2?68.579???)??(NY?(Y)?N2?(Y)?NS2n(1?nN)?80002?68.57930?(1?308000)?145753234.7

41. 某大学有本科学生4000名，从中用简单随机抽样方法抽出80人，询问各人是否有上因特网经历。调查结果为，其中有8人无此经历。试估计全校本科学生中无上网经历的学生所占比率。并计算估计量的估计方差。

解：

（1）计算样本数据

n=80 a=8 p= a / n =8 / 80=0.1

（2）估计量

??p?0.1 P（3）估计量的估计方差

v?p??p(1?p)?n?0.1?0.9?80??1????1???0.001116n?1?N?80?1?4000?

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42．某城市有非农业居民210万户，从中用简单随机抽样方法抽取出623户调查他们进行住宅装修的意向。调查结果表明，其中有350户已经装修完毕，近期不再有新的装修意向；有78户未装修也不打算装修；其余的有近期装修的意向。试估计该城市非农业居民中打算在近期进行住宅装修的居民户数。并计算估计量的估计方差。

解：

（1）估计量

??NP??Np?Na?2100000*623?350?78=657303（户） An623（2）估计量的估计方差

??）?v(NP?)?v(Np)?N2s(1?n)?2100000v（AnN22*1623*623623?1*195623*428623*(1?6232100000) =1524128668

其中 s??2nn-1=623p（1-p）623-1*195623*428623

43．一台自动机床加工零件的直径X服从正态分布，加工要求为E(X)=5cm。现从一天的产品中抽取50个，分别测量直径后算得x?4.8cm，标准差0.6cm。试在显著性水平0.05

的要求下检验这天的产品直径平均值是否处在控制状态?

答：检验统计量的样本值为-2.3570，z0.025=?1.96，生产不正常。

44．已知某厂生产的砖的抗拉强度服从正态分布，加工的技术要求是：方差为1.21，

数学期望为32.5公斤/厘米2。从某天的产品中随机抽取6块，测得抗拉强度分别为32.56、

2

29.66、31.64、30.00、31.87、31.03（公斤/厘米）。试以0.05的显著性水平，检验该厂这天所生产砖的抗拉强度的平均值是否处在控制水平？

解：

x?32.56?29.66?31.64?30.00?31.87?31.03?31.13

6（1）提出假设：H：?=32.5

0 H：?1?32.5

（2）构造检验统计量并计算样本观测值：

在H0成立条件下

332.5 z?x???31.1???3.050 51.21?26n（3）确定临界值和拒绝域： Z0.025=1.96

∴拒绝域为 ???,?1.96???1.96,??? （4）做出检验决策：

∵

z?z??1.96

2∴检验统计量的样本观测值落入拒绝域，在0.05的显著水平下拒绝原假设H0，接

受H1假设，样本数据表明该厂这天所生产的砖的抗拉强毒的平均值已不在控制水平。

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