数学建模_B题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测(答案)(2)

2）

F检验法：若F?F1??(1,n?2)则回归效果好。用Matlab求得＝F0.05(1,1567)3.8474，由表二可看出，F的值都明显大于3.8474，表明回归方程的效果显著。

问题结果及分析

由图1得到曲线中CD4浓度最大值所对应的时刻为29.2317（周），HIV浓度最小值所对应的时刻为25.0000（周），也就是病人服药治疗期间，在第25.0000周体内HIV浓度降到最低，继续服药则HIV浓度又会反弹上升；同时CD4浓度还在上升，到了第29.2317周才上升到最大值，之后呈下降趋势。由于艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，提高CD4的数量也是为了增加HIV，为了防止HIV浓度上升导致病情的恶化，在HIV浓度降到最低且尚未反弹时就应当停止服药。由此可以确定最佳治疗终止时间也就是HIV浓度降到最低的时间。

模型一得到的最佳治疗终止时间为第25.0000周。

（二）模型二：分类后的回归模型

将不同病人在初始时刻CD4浓度的不同进行分类后得出的数据分为三组，分别得到M1, M2, M3组矩阵。对每组矩阵数据再建立关于HIV、CD4浓度与测试时间的二次函数：

ci??0??1di??2di2??(i?1,2,3) （Ⅴ）

2hi??0??1di??2d?2, 3 ) （Ⅵ） i??(i1,用Matlab软件命令regress求解,将回归系数的估计值代入（Ⅴ）（Ⅵ）式得到CD4浓度ci和HIV浓度hi的预测方程

表3 回归模型表

浓度类型 数据类型 预测方程 R2 F Fa s2 M1 CD4浓度 c1?43.5456?5.9858d1?0.0906d12 2 c2?129.8522?7.0061d2?0.1241d20.1997 98.944 3.853 5351.5 0.1599 43.5 3.862 6734.1 M2 M3 2 c3?196.26?6.912d3?0.1132d30.1550 26.038 3.874 8083.6 HIV浓度 M1 M2 h1?458.1105?15.0890d1?0.3010d12 0.2029 100.91 3.853 16387 2 0.2963 96.229 3.862 1285.9 h2?425.5908?17.9384d2?0.3761d2 6

M3 2 h3?411.35?17.595d3?0.3466d30.3670 82.319 3.874 10527 p= 0 < 0.0001

HIV and CD47006005004003002001000-100-10HIV and CD4600500400HIV*50 or CD4HIV*50 or CD4300? HIV? HIV200? CD4100? CD40010203040date(week)50607080-100-10010203040date(week)50607080

图2 第一类回归曲线 图3 第二类回归曲线

HIV and CD4700600500400HIV*50 or CD4

? HIV3002001000-100-200-10? CD4010203040date(week)50607080

观察图2～图4，每一类CD4浓度和HIV浓度的回归曲线的变化趋势都大致相同，CD4浓度曲线都是先增大后减少，HIV浓度曲线都是先减少后上升。

图4 第三类回归曲线

问题结果及分析

从上面三个回归曲线图可以得到CD4浓度曲线最小值和HIV浓度曲线最大值所在的时刻如表四所示，如同模型一的分析，在HIV浓度降到最低且尚未反弹时就应当停止服药。由此可以判断不同类型病人都不宜在测试结束后还继续治疗，而是在服药到一定时间后终止，并且确定出最佳治疗终止时间分别为第25.1295周，第24.0000周，第25.0000周。

7

表4 曲线驻点的横纵坐标值 曲线类型 第一类 浓度值 时刻 33.0000 25.1295 第二类 浓度值 228.7633 106.0407 时刻 28.0000 24.0000 第三类 浓度值 301.0769 94.1240 时刻 30.0769 25.0000 CD4浓度曲线（min） 124.4511 HIV浓度曲线（max） 134.5057

（三）模型一与模型二对所得结果优劣评价

模型一中是对整体数据开始处理，初步得到治疗效果的评价，对所有病人都适用；模型二中是逐步细化将病人分类后得到三种评价结果，工作量稍微大点，但可作为模型一的参照检验，两种评价相差不大，这在一定程度上检验了结果的正确性。两种处理方法各有优缺点，相互补充。 4.2

问题二的分析及模型建立：

4.2.1 问题二的提出和数据分析

已知：将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度。

四种疗法的日用药分别为：

疗法一：600mg zidovudine或400mg didanosine，这两种药按月轮换使用； 疗法二：600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine； 疗法三：600 mg zidovudine加400 mg didanosine；

疗法四：600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine。 要求：以CD4为标准评价4种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

分析：由于采用了四种不同的用药方案，且不同年龄的病人身体免疫能力、产生CD4细胞的能力各有不同，这将直接影响CD4细胞浓度的变化趋势。由此得出影响CD4细胞浓度的因素有两个——病人的年龄差异和治疗方案的不同（具体表现为治疗的时间的长短），问题可归结为多元回归模型。采用多元回归来拟合出CD4的浓度与病人的年龄和治疗的时间的交互式图形，曲线的变化趋势表达了人体内CD4的浓度的变化趋势，曲线的斜率表达了CD4减少或增加的速率，进而根据据此判断治疗方案的优劣及确定最佳治疗时间。 4.2.2 模型的建立及求解 （一）建立多元回归模型：

4CD4的浓度做简化处理，处理为将治疗方案依次记为j?1,2,3,，

，并记做yj?log?CD4count?1?，将第j种治疗方案的病人的log??1?CD4count年龄记为aj(j?1,2,3,4)，治疗的时间记为dj?j?1,2,3,4?。

由于二元回归方程存在多种形式，为更加精确的拟合出变化曲线，我们采用

多元回归模型同时建立多个子模型拟合出CD4的浓度分别与病人的年龄和治疗的时间的交互式曲线，然后筛选出最佳模型作为它们各自的最终模型，作出最佳

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模型对应的关系曲线[1]。

1.）purequadratic模型：包含线性项和纯二次项

2yj??0??1aj??2dj??3a2(j?1,2,3,4) j??4dj??2.）quadratic模型：包含线性项和完全二次项

2yj??0??1aj??2dj??3ajdj??4a2(j?1,2,3,4) j??5dj??3.）interaction模型：包含线性项和纯交互项

yj??0??1aj??2dj??3ajdj??4.）linear模型：只包含线性项

(j?1,2,3,4)

yj??0??1aj??2dj??(j?1,2,3,4)

（二）模型的求解：

用MATLAB统计工具箱中的rstool命令来处理，每个治疗方案都对应可输出四个交互式画面，其中每个交互式画面都在图左面提供了两个下拉式菜单，以便我们选择不同的子模型来分析曲线。将每种治疗方案的四个模型输出的回归系数?和剩余标准差s分别列入表5～表8中：

表5 治疗方案一与CD4浓度的模型输出

子模型名称 purequadratic quadratic interaction linear

表6 治疗方案二与CD4浓度的模型输出

子模型名称 purequadratic quadratic interaction linear

表7 治疗方案三与CD4浓度的模型输出

子模型名称 purequadratic quadratic interaction linear ?0 2.8293 2.8747 2.9047 2.8665 ?1 0.0041 0.0027 0.0018 0.0028 ?2 -0.0111 -0.0137 -0.0170 -0.0144 ?3 -0.0000 0.0001 0.0001 ?4 -0.0001 -0.0000 ?5 -0.0001 s 0.9310 0.9313 0.9307 0.9303 ?0 1.4525 1.5092 2.1844 2.1252 ?1 0.0565 0.0548 0.0212 0.0228 ?2 -0.0060 -0.0092 -0.0158 -0.0120 ?3 -0.0004 0.0001 0.0001 ?4 -0.0002 -0.0004 ?5 -0.0002 s 1.0321 1.0325 1.0326 1.0322 ?0 2.2972 2.3112 2.7134 2.6930 ?1 0.0271 0.0267 0.0073 0.0079 ?2 0.0041 0.0031 -0.0065 -0.0051 ?3 -0.0002 0.0000 0.0000 ?4 -0.0003 -0.0002 ?5 -0.0003 s 1.1215 1.1220 1.1220 1.1215 9

表8 治疗方案四与CD4浓度的模型输出 子模型名称 purequadratic quadratic interaction linear ?0 3.0105 3.0732 2.6306 2.5666 ?1 -0.0181 -0.0195 0.0099 0.0116 ?2 0.0331 0.0285 -0.0032 0.0008 ?3 0.0004 0.0001 0.0001 ?4 -0.0009 0.0004 ?5 -0.0009 s 1.1390 1.1394 1.1464 1.1460

筛选最佳模型：分析它们各自的剩余标准差s，选取s最小的一个，如有两项相同且最小，即取较为简单的一个方程，得到每种治疗方案的最终模型，

治疗方案一选取linear模型：

y1?2.8665?0.0028a1?0.0144d1 治疗方案二选取purequadratic模型：

22 y2?1.4525?0.0565a2?0.0060d2?0.0004a2?0.0002d2治疗方案三选取linear模型：

y3?2.6930?0.0079a3?0.0051d3 治疗方案四选取purequadratic模型：

22 y4?3.0105?0.0181a4?0.0331d4?0.0004a4?0.0009d4四种治疗方案按各自对应的最终模型输出的交互式画面如表5至表8下：

图5 疗法一的交互式画面 图6 疗法二的交互式画面

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