线性代数习题
第一章 行列式 1、计算下列行列式.
baa....aaxy0....00aba....aa0xy....00 ① Dn?............. ② Dn?............ aaa....ba000....xyaaa....aby00....0x00...0112345a0...0100...10234510a...00③ Dn?........... ④D5?34512 ⑤Dn?...........01...004512300...a010...005123410...0aa011...11a10...0⑥ Dn?1?10a2...0 (其中ai?0,i?0,1,2,..,n)
...........100...an1200a10b10 ⑦ D34000c4?10d100?13 ⑧ D4?a20b20 00510c20d222?132、解方程: ① 4x2?5?261x0?32?1x2?1?0 ② ?2x?11?0 3?21?20?1x?1a1a2a3a4?x1xyz③
a1a2a3?xa4a1a2?xa3a?0 ④x1004y010?1(其中x,y,z均为实数)
a1?xa2a3a4z001a11a12a134a112a11?3a12a133、如果D?a21a22a23?1，D1?4a212a21?3a22a23，求D1. a31a32a334a312a31?3a32a33 1
135....2n?1120....4、设Dn?103....00，则Dn的第一行各元D素的代数余子式之和为
..........100....n2x?535、在关于x的多项式f(x)?1234?10?2?3中,一次项系数是 ?17?2?2x?10x6、多项式f(x)?223x?71043中常数项是 1?71x7、n阶行列式Dn为零的充分条件是（ ）
A、主对角线上的元素全为零 B、有
n(n?1)2个元素都为零 C、至少有一个n?1阶子式为零 C、所有n?1阶子式均为零
??bx1?x2?2x3?18、设线性方程组??2x1?x2?2x3??4，当b为（ ）时方程组有唯一解
???4x1?x2?4x3??2 A、b?1 B、b?2 C、b?3 D、b??1
??x1?x2?x3?09、设齐次线性方程组??ax?1?bx2?cx3?0 有非零解，试确定a、b、c应满足何种条件.
??bcx1?acx2?abx3?0第二章 矩阵及其运算
1、设有矩阵A3?4,B3?3,C4?3,D3?1，则下列运算中没有意义的是（ ） A、BAC B、AC?DDT C、ATB?2C D、AC?DTD
2、设A、B为n阶对称矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）
A、A+B 为对称矩阵 B、对任意的矩阵Pn?n,PTAP为对称矩阵 C、AB为对称矩阵 D、若A、B 可换，则AB为对称矩阵
2
3、设A、B为n阶对称矩阵，则下列结论中正确的是（ ） A、(A?B)(A?B)?A2?B2 B、(AB)k?AkBk C、 kAB?kA?B D、?AB??A?B
kkk4、设A为n阶矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）
A、(kA)T?kAT（k为常数） B、若A可逆，则(kA)?1?k?1A?1，(k?0) C、若A可逆，则[(AT)T]?1?[(A?1)?1]T D、若A可逆，则[(A?1)?1]T?[(AT)?1]?1 5、设A为3阶矩阵，Aj是A的第j列(j?1,2,3)，矩阵B=(A3,3A2?A3,2A1?5A2)，若
A=?2，则B= A、16 B、12 C、10 D、7 6、设A、B为n阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）
A、(A?B)?1?A?1?B?1 B、[(AB)T]?1?(A?1)T(B?1)T C、(Ak)?1?(A?1)k （k为正整数） D、?AB??1?k?nA,(k?0为任意常数）
?17、设A、B、C为n阶矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）
A、若ABC=E，则A、B、C都可逆 B、若 AB=AC，且A可逆，则B=C C、若 AB=AC，且A可逆，则BA=CA D、若 AB=0，且A ?0，则B=0 8、设n阶矩阵A非奇异(n?2)，则（ ） A、(A)?AC、(A)?A****n?1n?2A B、(A*)*?AA D、(A*)*?An?1A A
n?29、已知A,B,C均为n阶可逆矩阵，且ABC?E，则下列结论必成立的是（ ） A、ACB?E B、BCA?E C、CBA?E D、BAC?E 10、设矩阵A???53??10??11?，a、b、c为实数，且已知aA?bB?cC?E，,B?,C???????01??33???1?1?则a= , b = ,c =
?101???11、设A?020，n为正整数，则An?2An?1? ????101??
3
12、设???1,0,?1?T，矩阵A=??T，n为正整数，则aE?An? 13、已知???1,2,3?，???1,,?，矩阵A??T?，则A? n?11??23?14、设A、B为3阶矩阵，且A?2，B??3，则3AB15、设A为3阶矩阵，A?*?1?
1?1*，则(3A)?2A? 216、设A、B为3阶矩阵，若A??1，B?3，则
2AA0B? ?1a0???17、设A?210是不可逆矩阵，则a? ????131??18、设?1,?2,?3为三维列向量，矩阵A?(?1,?2,?3)，矩阵B?(?2??1,?1,?3)，且A?3，
求A?B.
19、设4?4矩阵A?(?,?2,?3,?4)，B?(?,?2,?3,?4).且已知行列式A?1，B?4，
试求A+B.
0???34??220、设f(x)?3?7x?x，A??1?51?，求f(A)
?20?7???T100P?(?3,2,5)21、设，Q?(4,?2,3)，A?PQ，求A.
?100???nn?2?A2?E,并求A100. 22、设A??101?，证明：当正整数n?3时，A?A?010????1?323、设A??0??0?01400??0?，矩阵B满足A?1BA?6A?BA，求B. ?1?7?1 -1??1 ??*?124、设A??-1 1 1?，矩阵X满足AX?A?2X，求X.
???1 -1 1???
4
25、设n阶矩阵A满足A2－3A＝5E，证明A＋2E，A－7E都可逆，并写出其逆阵.
?1?T?026、设(2E?C?1B)A?C?1,B??0??0?2?3?2??12??12?3??01，C??00012?????00001??02101??0?，求A. ?2?1???12?2???3?，B是三阶非零矩阵，且AB＝O，求t. 27、设矩阵A??4t?3?11???
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1、设A是任意矩阵，判断下列关于秩的命题是否正确？
(1)若r(A)?r，则A的所有r阶子式都不等于零. (2)若r(A)?r?1,则A至少有一个r?1阶子式不等于零. (3)若A的所有r?1阶子式全为零，则r(A)?r. (4)若r(Am?n)?n, 则m?n.
(5)若A是非零矩阵，则r(A)?r?0. (6)若4阶方阵A的秩为2，则A*的秩为0. (7)若r(A)?r,则没有等于0的r?1阶子式.
?1?31??6?3?????4?2?X??62? 2、利用初等变换求矩阵方程：?6?3?21??9?1??????132???A??183、设??的秩为2，求?.
?32????4、设A为m?n矩阵，线性方程组AX?b对应的导出组为AX?0，则下述结论中正确的是 A、若AX?0仅有零解，则AX?b有唯一解 B、若AX?0有非零解，则AX?b有无穷多解 C、若AX?b有无穷多解，则AX?0仅有零解 D、若AX?b有无穷多解，则AX?0有非零解
5
??2x?y?z?w?1?x1?2x2?x3?x4?05、求解线性方程组 ① ???4x?2y?2z?w?2 ②??3x1?6x2?x3?3x4?0
????2x?y?z?w?1??5x1?10x2?x3?5x4?0??(2??)x1?2x2?2x3?16、设??2x1?(5??)x2?4x3?2
????2x1?4x2?(5??)x3????1当?取何值时，此方程组有惟一解？无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解.
??a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a7、证明：如果线性方程组?2nxn?b2????????????????
????????an?11x1?an?12x2?...?an?1nxn?bn?1a11a12...a1nb1有解，则行列式Da21a22...a2nb2n?1?...............?0
an?11an?12...an?1nbn?1??x1?x2?a1??x2?x3?a258、证明：线性方程组??x?3?x4?a3 有解的充要条件是?ai?0.在有解时，求全部解.
i?1??x4?x5?a4??x5?x1?a5??a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b9、证明：线性方程组?2的系数矩阵????????????????????A?(aij)n?n与矩阵
????an1x1?an2x2?...?annxn?bn??a11a12..a1nb1??a21a22..a2nb?2? C???..........?的秩相等，则此线性方程组有解. ??an1an2..annb?n??b1b2..bn0??
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