大学物理1期末复习题(2)

???????r1?r2? E?E1?E2?3?0??????根据几何关系r1?r2?a，上式可改写为E?a （等效法和高斯定理）

3?05.一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布.圆柱体单位长度的电荷为?，用高斯定理求圆柱体内距离为r处的电场强度.

[分析] 无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向.取同轴柱面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交.在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，E?dS?0，对电场强度通量的贡献为零.整个高斯面的电场强度通量为E?dS?E?2?rL由于圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度，出于高斯面内的总电

?E荷

?q????r2L由高

qE?dS???1?0可解得电场强度的分布. ?解: 取同轴柱面为高斯面，由上述分析得 E?2?rL??0???r2L??0R2r2L

E??r （高斯定理） 22??0R6.两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2?R2?R1?，单位长度上的电荷为?.求离轴线为r处的电场强度：（1）r?R1，（2）R1?r?R2，（3）r?R2 [分析] 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定程轴对称分布，沿径向方向.去同轴圆柱为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且E?dS?E?2?rL,求出不同半径高斯面内的电荷

??q.利用高斯定理可解得各区域电场的分布.

解: 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理 E?2?rL??q?0

r?R1，

?q?0

E1?0

R1?r?R2，

?q??L

? 2??0r E2?r?R2，

?q?0

6

E3?0

在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 ?E???L??? （高斯定理） 2??0r2?rL?07.如图所示，有三个点电荷 Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且Q1?Q2?Q.求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.

QQ??[分析] 由库仑力的定义，根据Q1、Q3所受合力为零可求得24.

外力作功W?应等于电场力作功W的负值，即W??W?.求电场力作功可根据功电

场力作的功与电势能差的关系，有

W?Q2?V0?V???Q2V0

其中V0是点电荷Q1、Q3 在点O产生的电势（取无穷远处为零电势）.

1并由电势的叠加Q1、Q3在O解: 在任一点电荷所受合力均为零时Q2??Q，4的电势

V0?Q14??0d?Q34??0d?Q2??0d

将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作功 W???Q2V0?Q28??0d （受力平衡、点电荷系电势、电场力做功）

8.已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为

E????er 2??0r?为电荷线密度. （1）在求在r?r1和r?r2两点间的电势差；（2）在点电荷的电场中，

???处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明. 我们曾取r?1）解 （由于电场力作功与路径无关，若取径矢为积分路径，则有

?U12??r2r1E?dr?r?ln2 (电势差定义式) 2?r?0r1 7

（2）不能. 严格地讲，电场强度 E?? 只适用于无限长的均匀带电直线，2??0r而此时电荷分布在无限空间，r??处的电势应与直线上的电势相等.

9.两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2.求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？

[分析] 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由VP???P???E?dl??E?dr可求得电势分布.

r 解: 由高斯定理可求得电场分布

E1?0 r?R1 E2?Q14??0r2 R1?r?R2

E3?由电势 V?Q1?Q2 r?R2 24??0r??rE?dr可求得区域的电势分布.当 r?R1时，有

V1??R1rE1?dr??E2?dr??E3?dr

R1R2R2? ?0?Q1?11?Q1?Q2???? ??4??0?R1R2?4??0R2 ?Q14??0R1?Q24??0R2R2r

?当R1?r?R2时，有V2??E2?dr??E3?dr

R2 ?Q1?11?Q1?Q2???? ??4??0?r1R2?4??0R2 ?Q14??0r?Q24??0R2

当r?R1 时，有V3???rE3?dr?Q1?11???? ??4??0?R1R2? 8

（先用高斯定理求场强E,再用分段积分求电势V)

10.两个很长的共轴圆柱面R1?3.0?10m,R2?0.10m，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V.求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度. 解 由8的结果，两圆柱面之间的电场 E?根据电势差的定义有

?U12??2?? 2??0r?R2R1E?dr??Rln2 2??0R1解得 ??2??0U12lnR2?2.1?10?8C?m?1 R1 E??1?3.74?102V 2??0rr两柱面间电场强度的大小与r成反比. (电势差定义式)

11.在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷密度为?.A点的

R2?，B点的坐标为?3R2?,求电势差UAB. 坐标为?0，[分析] 电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在Oxy平面上各点产生的电势显然就等于带电球面在改点的电势的一半.据此，可先求出一个完整球面在A、B间的电势差U?AB，再求出半球面时的电势差UAB.由于带电球面内等电势，球面内A点的电势，故

11?VR??VB?? 其中VR?是带电球表面的电势，VB?是带电球面在B点的电势. UAB?U??AB22 解 假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度?的一个完整球面，此时在A、B两点的电势分别为

?? VAQ4??0R??R? ?VR?0 9

?R22?R???? VB

4??0r?0r3?0Q则半球面在A、B两点的电势差 ?UAB??

12.在半径为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为?r.设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为?.试求介质层内的D、E和P.

[分析] 将长直导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面.在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布，所以电场是轴对称分布.

取同轴柱面为高斯面，由介中的高斯定理可得电位移矢量D的分布.在介质中

1?VR??VB????R（点电荷电势式和电势差定义式） 26?0?????D??0?rE，P?D??0E，可进一步求得电场强度E和电极化强度矢量P的分布.

解 由介质中的高斯定理，有

?? ?D?dS?D?2?rL??L

得 D?在均匀各向同性介质中 E?? 2?rD??0?r?

2??0?rr?????2?rer ?????1?P?D??E?1? 0??r?

（有电介质时的高斯定理）

13.设有两个薄导体同心球壳A与B，它们的半径分别为R1?10cm与R3?20cm，并分别带有电荷?4.0?10C与1.0?10C.球壳间有两层介质，内层介质的（1）?r1?4.0,外层介质的?r2?2.0，其分界面的半径为R2?15cm.球壳B外为空气.求：两球间的电势差UAB；（2）离球心30cm的电场强度；（3）2球A的电势.

[分析] 自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上，电场呈球对称分布.取同心球面为高斯面，

根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布.

由电势差和电场强度的积分关系可求得两导体球壳间的电势差，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势

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