论文函数的极值问题在实际中的应用(2)

试问两用汽艇应按怎样的路线走？

解：由常识知道，汽艇在水中或陆地上都应该走直线，所以，汽艇实际走的路程为两直线组成的折线AP?PB，如图3所示，汽艇的行驶时间为

T(X)?h1?xv122?h2?(l?x)v222,0?x?l。

问题归结为求T(X)在[0,1]上的最小值，即x满足什么条件，T(X)取得最小值。 对T(X)求微商，得

xv1h1?x22T(X)??v2l?xh2?(l?x)22 由于

T?(X)?1v1?2h123?1v2?2h223?0,0?x?l

(h1?x)22[h2?(l?x)]22可知T?(x)在(0,l)内的零点x0必为T(X)的极小值点，从而是T(X)在[0,l]上的最小值点。

x0满足T?(x)?0，即

x0v1h1?x022?v2l?x0h2?(l?x0)22

记2x0h1?x02?sin?1,l?x0v2h2?(l?x0)22?sin?2，则

sin?1v1?sin?2v2

如果将汽艇换成一束光线，水与陆地换成两种不同的介质，这就是光学中著名的折射定律，其中?1,?2，分别是光线的入射角与折射角。定律告诉我们：光线总是沿着最省时间的路线传播的。

5、库存—成本模型

库存成本模型是存贮论的一个确定性模型，而存贮论则是运筹学的一个分支。工厂要保证生产，需要定期的订购各种原材料存在仓库里，大公司也需要成批的购进各种商品，放在库房里以备销售，不论是原材料还是商品，都遇到一个库存多少的问题，库存太多，库存费用就高；库存太少，要保证供应，势必增多进货次数，这样一来，定货费高了，因此，必须研究如何合理地安排进货的批量、次数，才能使总费用（库存费+定货费）最省的问题。

这里讨论的模型是：需求恒定，不允许缺货，要成批进货，且只考虑库存费与定货两种费用。

由于在每一进货周期内，都是初始时进货，即货物的初始库存量等于每批的进货量x，以后均匀消耗，在周期末存量为0，故平均库存量为

x2。

为了弄清库存-成本模型的运作过程，下面举一例。

例 A公司每月需要某种商品2500件，每件金额150元，每年每件商品的库存成本为金额的16%，每次定货费100元，试求最优批量及最底成本（即库存量与订货费之后最小）。

解：设批量为x(x?0)，则平均库存量为

x2订货次数为x（库存量）O，t（时间）

2500x。

库存费=（库存量（件））（?库存成本/件）=x2?150?16?x,订货费=（定货次数）?(定货费/次）=2500x?100?250000x库存成本C(x)?库存量+订货量从而C(x)?x?C?(x)?1?250000x2

250000x另C?(x)?0,得x?500(件），x??50（0舍去）这是时间问题，最小值一定存在，因此，最底成本C(500)?500?这就是说，最优批量为每次500件，每月订货次数为

6、最大利润问题

2500500250000500?1000(元），

?5次，最低库存成为1000元。

设某产品的成本函数和价格函数分别为

C(x)?3800?5x?x2100,P(x)?50?x2100

决定产品的生产量，以使利润达到最大。

解：销售额函数为

R(x)?xP(x)?50x?令R?(x)?C?(x),50?x50?5?x500x2100,

求得x?2500，又因为

R??(x)??150??1500?C??(x)

所以生产量为2500单位时，利润达到最大。

7、化学问题

在萃取过程中，若用V毫升的萃取剂分两次萃取，证明，当每次的萃取剂用量为升时，其萃取效果最好。

解：设有V1毫升含有W克溶质的水溶液，若在第一次萃取时加入V2毫升萃取剂，则由第二章可知在水溶液中所剩余的溶质为

W1?W?KV1KV1?V2V2毫

第二次萃取时，再把剩下的V?V2毫升萃取剂加到含有W1克溶质的V1毫升水溶液中，可得第二次萃取后在水溶液中所剩余的溶质为

W2?W1?KV1KV?(V?V2)KV1KV1?V2?KV1KV1?(V?V2)2?W?

?W?(KV1)(KV1?V2)(KV1?V?V2)要求萃取效果最好，也就是要选择适当的V2使两次萃取后在水溶液中所剩余的溶质最少。 求函数对的导数得

dW2dV2dW2dV2?W?(KV1)?2?V?2V2(KV1?V2)(KV?V?V2)22

解方程

?0即V?2V2?0。得V2?V2。由此可见，函数W(V2)有一个驻点V2?V2。

在这个实际问题中，驻点就是函数W(V2)的最小值点，因此当两次的萃取剂用量都是

V2毫

升时萃取剂效果最好。

上面的离子都是函数极值问题在实际中的应用，函数求极值方法的研究已是较成熟的一门学问，极值问题在经济生活及工程技术等方面应用广泛，这里只选取了几个典型的方法加以说明。

极值方法是解决现实中使产品最多、用料最省、成本最低等问题的最基本的方法，随着科学技术的发展社会的进步，这样的现实问题不仅越来越多而且越来越复杂，解决这些问题的极值方法迅速发展，形成了以最优化问题为研究内容的一个重要数学分支—最优化理论。由于电子计算机的日益广泛应用，最优化理论和算法有机结合起来，得到了迅速发展，在实践中正在发挥着越来越大的作用。

参考文献： [1] 谢季坚、李启文 大学数学—微积分及其在生命科学、经济管理中的应用 第二版 高等教育出版社

[2] 上海交通大学 高等数学 科学出版社 2004年3月

[3] 林真棋 微积分在多元函数最值问题中的应用 闽江学报 2004年3月 [4] 华东师范大学数学系 数学分析（上）第三版 高等教育出版社 [5] 何炳生 （南京大学数学系）杨振华（南京邮电大学物理系） [6] 王文丰 一个多元函数的最值 高等数学研究所（2000年3月

FUNCTION MINIMUM PROBLEM IN ACTUAL

CENTER APPLICATION

LIU Ya-hao

Abstract: In the daily life, the production practice, the regular meeting meetsa such kind of question, how many causes the product under the certaincondition, the cost to be lowest and so on In mathematics, is under the certain condition, asks a objective function the maximum value orthe minimum problem 17 the century fluxionary calculus birth, provided through the establishment mathematical model, the application fluxionary calculus principle has solved these questions many methods. This article summaried the function from theory angle to ask theextreme value method, then used these methods to discuss actual problem and so on in rational close planting issue, environmental pollution question,stock-cost model application. Further solves insome economical and the real life optimized question for the people provides the basic mentality and the method.

Key word: function; maximum value; minimum value; minimum problem optimization.

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库论文函数的极值问题在实际中的应用(2)在线全文阅读。