论文函数的极值问题在实际中的应用

函数的极值问题在实际中的应用

一、函数求极值方法的介绍

利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法

定理1（必要条件）设函数f(x)在x0点处可导，且在x0处取得极值，那么f?(x)?0。 使导数为零的点，即为函数f(x)的驻点，可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设f在x0连续，在某领域U(x0;?)内可导。 （1）若当x?(x0??,x0)时f?(x)?0，当x?(x0,x0??)时f?(x)?0，则f在点x0取得最小值。

（2）若当x?(x0??,x0)时f?(x)?0，当x?(x0,x0??)时f?(x)?0，则f在点x0取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设f在x0连续，在某领域U(x0;?)内可导，在x?x0处二阶可导，在x?x0处二阶可导，且f?(x)?0，f??(x0)?0。

（1） 若f??(x0)?0，则f在x0取得极大值。 （2）若f??(x0)?0，则f在x0取得极小值。

由连续函数在[a,b]上的性质，若函数f在[a,b]上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：

（1） 求函数f(x)的导数f?(x)；

（2） 令f?(x)?0，求出f(x)在(a,b)内的驻点和导数f?(x)不存在的点

x?x0,x1,x2,...,xn；

（3） 计算函数值f(x2),...,f(xn),f(a),f(b)；

（4） 比较上述函数值的大小，最大者就是f(x)在区间[a,b]上的最大值，最小者就是f(x)在闭区间[a,b]上的最小值。

2、多元函数极值的判定

在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值最小值问题。与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值极小值有密切联系，因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题。

定义 设函数z?f(x,y)的定义域为D。P0(x0,y0)为D的内点。若存在P0的某个邻域U0(P0)?D，使得对于该邻域异于P0的任何内点(x,y)，都有

f(x,y)?f(x0,y0)

则称函数f(x,y)在点(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大值点；若对于该领域内异于P0的任何点(x,y)，都有

f(x,y)?f(x0,y0)

则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极小值点，极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。

关于二元函数的极值概念，可推广到n元函数，设n元函数u?f(P)的定义域为D。

P0为D的内点，若存在P0的某个领域U(P0)?D，使得该邻域内异于P0的任何点P，都

有

f(P)?f(P0)（或f(P)?f(P0)）

则称函数f(P)在点P0有极大值（或极小值）f(P0)。

二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决，下面两个定理就是关于这问题的结论。

定理1（必要条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有

fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0

怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0，令

fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C

则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

（1）AC?B?0时具有极值，且当A?0时有极大值，当A?0时有极小值；

（2）AC?B?0时没有极值。

对于多元函数中有条件约束的这类问题，可采用拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法 要找函数z?f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数

L(x,y)?f(x,y)???(x,y)

22其中?为参数，求其对x与y的一阶偏导数并使之为零，然后与方程（2）联立起来：

?fx(x,y)???x(x,y)?0??fy(x,y)???y(x,y)?0 ??(x,y)?0?由这方程组解出x,y及?，这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点。

这方法还可以推广到自变量多于两个条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来确定。

有了上面的基础，下面将重点介绍函数的极值问题在实际中的应用。

二、函数极值问题的应用

在实际问题中为了发挥最大的经济效益，往往要求在一定条件下，提高生产效率，降低成本，节省原材料，解决这一类问题，就需要用到函数的最大值最小值知识，这一节讲重点看一些这方面的例子。

1、 合理密植

设每亩中50株葡萄藤，每株葡萄藤将产出75kg葡萄，若每亩再多种一株葡萄藤（最多20株），每株产量平均下降1kg。试问每亩种多少株葡萄藤才能使产量达到最高？

解：设每株多种x株，则产量为

f(x)?(50?x)(75?x),0?x?20

问题归结为求目标函数f(x)在[0,20]上的最大值

f?(x)?25?2x

令f?(x)?0，解得x?12.5

f??(x)??2?0

由二阶微商检验法，当x?12.5时，f(x)有极大值，而x?12.5是[0,20]内唯一极大值点，根据实际，取整体株x?13时，f(x)取得最大值，即每亩种50?13?63株时，产量可达最高f(13)?3906(kg)。

2、环境污染

某经济开发区的项目建设，对释放到空气中的污染要进行控制，设对污染的测定要求与污染源的距离至少要1km，在污染源相对集中的情况下，空气受污染的成都与释放的污染量成正比，与到污染源的距离成反比（设比例系数为1），先有两个相距10km的工厂区A与B，分别释放的污染为60?g/mL与240?g/mL，若想在A，B间建造一个居民小区，试问居民小区建在何处所受污染最小？

解：设x为居民小区受到污染最小时到工厂区A的距离，居民小区受工厂区A的污染为

60x，居民小区受工厂区B的污染为

24010?x，居民小区受到的总污染为P，这就是要寻找

的目标函数

P(x)?60x?60x224010?x?,x?[1,9]

P?(x)??240(10?x)2，

令P?(x)?0

60x2即??240(10?x)2?0

解得x1?较，得

103,x2??10(?[1,9],舍去)[1,9]再与区间[1,9]的端点x?1,x?9的值作比

p(103)?60103?24010?103?54(?g/mL)（最小）

p(1)?p(9)?6019??2009240?87(?g/mL) ?247(?g/mL)

6010?9居民小区建在离工厂区A103km处所受污染最小。

3、用料最省

市场上装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成顶盖的厚度是罐身厚度的3倍。以容积为V的易拉罐为例，问如何设计一拉罐的底面直径和高才能使用料最省？

解：记易拉罐的容积V?350ml（常数）设罐身的厚度为?，顶盖为3?，底面直径为

d，高h?Vd2?)4V?(?d2，于是，罐身用料（体积）为

f1(d)??[?(d2)??dh]??(2?d42?4Vd)

顶盖用料（体积）为

f2(d)?3??(d2)?234??d

2易拉罐的用料

f(d)?f1(d)?f2(d)??(?d2?4Vd),0?d???

2因此，问题化为求目标函数f(d)??(?d?对f(d)求微商，得

f?(d)??(2?d?4Vd34Vd)在(0,??)内的最小值。

2) 2V令f(d)?0得d??是f(d)在(0,??)内的惟一驻点。

这是实际问题。最小值肯定存在，因此d?4V4Vd32V??32?350??6.06cm是F(d)的最

小值点。而高h?4、最快速度

?d2??d3?2d?12.12cm。

设一辆水陆两用汽艇在水上的速度为v1(km/h)， 在陆地上的速度为v2(km/h)。现因需要，要求汽艇最 快

地

从

水

中

的

A的到达陆地上的

B点（图），

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