北京四中单调性、反函数学案

北 京 四 中

编稿：苗金利 审稿：石小燕 责编:张杨

函数概念的巩固及函数的单调性、反函数学习目标：

1、巩固函数的概念，函数的两域，函数的解析式，了解反函数的求法及性质.

2、了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法；能够运用函数的单调性解决某些

简单的实际问题．

知识要点： 一、函数的单调性

定义：设函数 1、如果任意在区间

，

，对于区间，

时，都有

，

，那么就说，函数

内是增函数.

，

时，都有

，那么就说，函数

2、如果任意在区间

内是减函数. 定义、若函数有单调性，该区间叫做

在某个区间内是增函数或减函数，则称的单调区间.

在这一区间内具

说明：

1、函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质.

2、因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点.

3、初等函数均可分段单调. 4、

是增(减)函数

图象自左到右上升(下降).

图象的峰(谷)函数增(减)变减(增)点函数的极大(小)值点 注意：在函数的单调区间内去掉有限个点不影响函数的单调性．

二、反函数：由逆映射所确定的函数.

说明： (1)函数

存在反函数

是一一映射.

(2)求反函数数的步骤： ①判定(是否一一映射)

②反解 ③改写

(3)反函数的定义域、值域是原函数的值域、定义域. (4)原函数与反函数的图像关于间不一定相同).

对称，且具有相同的单调性(单调区

典型例题

1．用定义证明函数的单调性：

(1)证明在上增函数；

(2)证明函数

解：(1)任取0＜x1＜x2，

在区间上是减函数，在上是增函数.

∵x1-x2＜0，又x1·x2＞0，

∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).

(2)设0＜x1＜x2，则

上为增函数；

∵ 0＜x1＜x2 ∴ x1-x2＜0，xlx2＞0

当x1x2＞1时，x1, x2∈[1,+∞], f(x1)-f(x2)＜0 即 f(x1)＜f(x2)；

当0＜x1x2＜1时， x1，x2 ∈(0，1]， f(x1)-f(x2)＞0 即f(x1)＞f(x2)；

所以，在[1，+∞)上是增函数，在(0，1]上是减函数.

另解：数形结合，从的图象入手.

可以看成是y＝x，两个函数的叠加，

在(0，1]上函数值起主要作用，

在[1，+∞)上的函数值基本上不起作用，

因此图象是以y=x，及y轴为渐近线的，先减后增， 当x=1时取最小值2.

试想 在(-∞,0)上的单调性? 必是(-∞，-1]上是增函数，在[-1，0)上是减

函数，有最大值，因为性是相同的.

的图像是关于原点对称的，在正负对称区间上的单调

2．已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.

(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2

(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a

2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1

3°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a

，如图

3．已知，都是上的增函数，试判断在上是增函数还是减函数？并证明你的结论.

分析：利用函数单调性定义判断该复合函数的单调性. 判断：f[g(x)]在(-∞，+∞)上为增函数. 证明：设x1，x2为任意实数且x1＜x2

∵g(x)在(-∞，+∞)上为增函数，∴g(x1)＜g(x2)

又∵f(x)在(-∞，+∞)上为增函数，∴f[g(x1)]＜f[g(x2)] 即x1＜x2时有f[g(x1)]＜f[g(x2)] ∴f[g(x)]在(-∞，+∞)上为增函数. 说明：

注意归纳f(x)，g(x)的单调性对f[g(x)]单调性的影响，找出复合函数单调性的一般规律： (1)f(x)与g(x)一增一减时，复合函数f[g(x)]单调递减； (2)f(x)与g(x)同增同减时，复合函数f[g(x)]单调递增.

4．求下列函数的定义域

(3)

(1)

(2)

解：(1)据题意有：

∴所求定义域为：(-∞，-1)∪(-1，0)∪(0，+∞)

(2)据题意有： ∴所求定义域为： (3)据题意有：

说明：关于函数的定义域

，所求定义域为：{1}

(1)自然定义域：若对未加限制，则使 (2)复合函数的定义域：

有意义的集合.

中，

的范围，再解关于

中的范围，即为

不等式即得结 果.

(3)几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义.

5．(1)已知，求

是一次函数，且满足

；

，求

；

(2)已知

(3)已知满足，求.

解：(1)∵ ∴ (2)设

(

或，

).

，

，

则

∴ ∴

， .

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