极值点偏移问题专题(三)一一题学懂极值点偏移5大套路

一题弄懂极值点偏移5大套路

已知f?x??xlnx?12mx?x，m?R．若f?x?有两个极值点x1，x2，且x1?x2，求2证：x1x2?e2（e为自然对数的底数）． 解法一：齐次构造通解偏移套路

证法1：欲证x1x2?e2，需证lnx1?lnx2?2．

若f?x?有两个极值点x1，x2，即函数f??x?有两个零点．又f??x??lnx?mx，所以，x1，

x2是方程f??x??0的两个不同实根．

于是，有?lnx1?lnx2?lnx1?mx1?0，解得m?．

lnx?mx?0x?x?2212?lnx1?mx1?0，得lnx2?lnx1?m?x2?x1?，

lnx?mx?0?22另一方面，由?从而可得，

lnx2?lnx1lnx1?lnx2． ?x2?x1x1?x2?x2?x2?1??ln?lnx2?lnx1??x2?x1???x1?x1．

于是，lnx1?lnx2?x2x2?x1?1x1又0?x1?x2，设t??1?t?lnt，t?1． x2，则t?1．因此，lnx1?lnx2?t?1x1要证lnx1?lnx2?2，即证：

?t?1?lnt?2，t?1．即：当t?1时，有lnt?2?t?1?．设

t?1t?122?t?1?12?t?1??2?t?1??t?1???0， 函数h?t??lnt?，t?1，则h??t???22t?1tt?t?1??t?1?所以，h?t?为?1.???上的增函数．注意到，h?1??0，因此，h?t??h?1??0． 于是，当t?1时，有lnt?2?t?1?．所以，有lnx1?lnx2?2成立，x1x2?e2． t?1解法二 变换函数能妙解

证法2：欲证x1x2?e2，需证lnx1?lnx2?2．若f?x?有两个极值点x1，x2，即函数f??x?有两个零点．又f??x??lnx?mx，所以，x1，x2是方程f??x??0的两个不同实根．显然m?0，否则，函数f??x?为单调函数，不符合题意． 由??lnx1?mx1?0?lnx1?lnx2?m?x1?x2?，

lnx?mx?0?22

解法三 构造函数现实力

证法3：由x1，x2是方程f??x??0的两个不同实根得m?lnxlnx，令g?x??，xxg?x1??g?x2?，由于g??x??1?lnx，因此，g?x?在?1,e??，?e,????． 2x2?e2?e2设1?x1?e?x2，需证明x1x2?e，只需证明x1?只需证明f?x1??f??，??0,e?，

x2?x2??e2?即f?x2??f??，即f?x2???x2??e2f??x2???0．来源： 微信公众号 中学数学研讨部落 ??1?lnx?e2?x2?e2?即h?x??f?x??f???x??1,e??，故h?x?在?1,e??，h??x???0，22xe?x??e2??e2?故h?x??h?e??0，即f?x??f??．令x?x1，则f?x2??f?x1??f??，因为x2，

xx???1???e2e2??e,???，f?x?在?e,????，所以x2?，即x1x2?e2． x1x1

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