【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第七章 数列

第38课 数列的概念

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1.(必修5P33练习3改编)已知数列{an}的通项公式是an=3n-2，那么a4= . 【答案】10

2.(必修5P33习题4改编)32是数列{n+4n}的第 项. 【答案】4

【解析】令32=n+4n，解得n=4，所以32是数列{n+4n}中的第4项.

2

2

2

3.(必修5P33习题2改编)已知数列{an}的通项公式是an=(-1)为 .

1nn?1，那么数列{an}的前5项和

23【答案】-60

11111，，【解析】由题意，数列的前5项分别为-23，-45，-6，所以前5项和为

?1?1?1?1?1?23?-??-??-??2?+3+?4?+5+?6?=-60.

4.(必修5P34习题7改编)下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 .

(1) (2) (3) (4)

(第4题)

1

【答案】an=3

n-1

【解析】由图可知前4个图中着色三角形的个数分别为1，3，3，3，?，猜想第n个图的着色三角形的个数为3，所以这个数列的通项公式为an=3.

5.(必修5P34练习9改编)若对于任意正整数n都有f(n)=n-8n+5，则f(n)的最小值为 . 【答案】-11

2

23

n-1n-1

1.数列的概念：按照一定次序排列的一列数称为数列；数列中的每个数都叫作这个数列的项.

2.数列的分类：项数有限的数列叫作有穷数列；项数 无限的数列叫作无穷数列.

3.数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.

?S1，n?1，?S-S，n?24.Sn与an的关系：Sn=a1+a2+a3+?+an，an=?nn-1.

5.数列是特殊的函数：在数列{an}中，对于每一个正整数n都有一个数an与之对应，因此，数列可以看成定义域为自然数集或自然数集的子集，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的是一列函数值.

6.数列单调性的判断

(1)数列是一个特殊的函数，数列的单调性可以借助于函数的单调性来判断，判断时要注意函数的定义域为正整数.

(2)当an+1>an恒成立时，数列{an}是单调递增数列； 当an+1

2

【要点导学】

要点导学 各个击破

数列的通项

例1 写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，-3，5，-7，9，?；

1925(2)2，2，2，8，2，?； 111(3)1，0，3，0，5，0，7，?；

(4)0.9，0.99，0.999，0.999 9，?；

2121，，，(5)1，2244，?；

14916，，(6)-2?45?7，-8?1011?13，?.

【思维引导】要写出数列的通项公式，必须找出数列的各项与它所在项数之间的关系，需要对已知的几项仔细观察分析，寻找构成的规律，再进行归纳猜想，通过合情推理得出结论.

【解答】(1)奇数项符号为正，偶数项符号为负，各项的绝对值为1，3，5，7，9，?，故得出该数列的一个通项公式为an=(-1)·(2n-1).

n+1

1491625，，，，(2)先将数列的各项统一成分数：22222，?，再观察，可得它的一个通项公式

n2为an=2.

(3)分母依次为1，2，3，4，5，6，7，?，分子依次为1，0，1，0，1，0，1，?，把数

1?(-1)n-11010101，，，，，，2n. 列改写成1234567，?，因此数列的一个通项公式为an=

3

1111234(4)数列可改写成1-10，1-10，1-10，1-10，?，可得该数列的一个通项公式为1nan=1-10.

?2?2?2??2?，????2??2，?2??，?2????????(5)将原数列改写成

023?2?，??2????，?，可得该数列的一个通项

4?2???2????. 公式为an=

14916，，，222

(6)首先考查数列各项的绝对值2?45?78?1011?13，?，分子依次是1，2，3，

4，?，而分母中后一个因数比前一个因数大2，而前一个因数依次为2，5，8，11，?，构成

2

n-1

n2n一个等差数列，其第n项为3n-1，故可得通项公式为an=(-1)·(3n-1)(3n?1).

【精要点评】由数列前几项写通项公式，关键是由各项特点找出它们的共同构成规律，需要全方位观察，多角度思考，广泛联想，并将原数列适当变形，成为规律比较明显的特殊数列.应注意：(1)“+”“-”符号相间出现，可用(-1)或(-1)调整；(2)对于分式的结构，要注意对分式的分子、分母的构成规律分别进行分析，充分借助分子、分母之间的关系；(3)对于比较复杂的问题，要注意借助等差、等比数列的通项公式来解；(4)不是每个数列都能写出它的通项公式，有的数列虽然有通项，但形式上可能不唯一.

变式 数列3，33，333，3 333，?的一个通项公式为 .

nn+1

1n【答案】an=3(10-1)

3333【解析】原数列可改写为9×9，9×99，9×999，9×9 999，?，可得它的一个通项1n公式为an=3(10-1).

4

例2 (2014·南京学情调研改编)在无穷数列{an}中，a1，a2，?，am构成首项为2、公

11差为-2的等差数列，am+1，am+2，?，a2m构成首项为2、公比为2的等比数列，其中m≥3，

m∈N*.求当1≤n≤2m，m∈N*时，求数列{an}的通项公式.

【思维引导】根据数列的定义，求出当1≤n≤2m时，数列{an}的通项公式，注意根据n的取值，利用分段数列的形式表示数列{an}的通项公式.

【解答】当1≤n≤m时，由题意得an=-2n+4.

?1???当m+1≤n≤2m时，由题意得an=?2?故1≤n≤2m，m∈N时，

*

n-m.

，?n?m，?-2n?41?n-m??1????，m?1?n?2m.数列{an}的通项公式为an=??2?

【精要点评】在高考中，数列通项经常以分段形式出现，有时由于奇偶项关系不同要进行分段描述.我们既要注意从哪分开讨论，也要注意下标与项之间的关系.

根据Sn求an 例3 已知数列{an}的前n项和Sn=n+n+1. (1)写出数列{an}的前5项.

(2)数列{an}是等差数列吗?请说明理由. (3)写出数列{an}的通项公式.

2

?Sn-Sn-1，n?2，?S，n?1【思维引导】(1)题中条件给出了前n项和Sn的表达式，从而可以利用an=?1写出数列{an}的前5项；(2)若数列{an}是等差数列，则需满足an+1-an=d对所有的n∈N恒成立，而由(1)可知a3-a2≠a2-a1，从而可以说明数列{an}不是等差数列；(3)考虑到当n≥2时，an=Sn-*

Sn-1，当n=1时，a1=S1，可得数列{an}的通项公式.

【解答】(1)因为Sn=n+n+1， 所以a1=S1=3，a2=S2-S1=7-3=4，

2

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