赵静数学实验实验指导书2015(2)

《数学建模与数学实验》实验指导书

capacity=60 55 51 43 41 52;

demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end

实验三：matlab数值计算

学时：2学时 实验目的：

1. 掌握用matlab进行插值、拟合、方程求解等数值计算的方法。 2. 掌握用matlab求微分方程和微分方程组的数值解的方法。

实验内容：（任选两题以上）

1. 某气象观测站测得某日6:00-18:00之间每隔2小时的温度如下： 时间 温度 6 18 8 20 10 22 12 25 14 30 16 28 18 24 试用三次样条插值求出该日6:30,8:30,10:30,12:30,14:30,16:30的温度。

2. 已知lg(x)在[1，101]区间11个整数采样点x=1:10:101的函数值lg(x)，试求lg(x)的5次

拟合多项式p(x)，并分别绘制出lg(x)和p(x)在[1，101]区间的函数曲线。

3. 求以下非线性方程组的解：

?2x1?x2?e?x1 ??x2?x?x?e?124. 求以下有约束最值：

minf(x,y)?x?y?x2?y2?1??2x?y?0

5. 求解书上P138，P139页的微分方程和微分方程组，画出书中图7、8和图3、4、5、6。

提示：

? 一维插值：Y1=interp1(X,Y,X1,'method')

1. 函数根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。X、Y是两个等长的已知向量，分

别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有'linear'(线性插值)、'nearest'(最

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近插值)、'spline'(三次样条插值)、'cubic'（三次多项式插值），缺省值是'linear'。

? 多项式拟合：[P,S]=polyfit(X,Y,m)

1. 函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误

差向量S。

2. 其中X、Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量。 ? 单变量非线性方程求解：[x,fval]=fzero(f,x0,tol) ? [x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

1. fun是一个函数文件function f = fun(x)。x0是初始值。

2. A,Aeq是一个矩阵；b,beq是一个列向量。Ax<=b是不等式约束。 3. lb和ub是和x一样大小的列向量，规定每个分量的上下界。

4. nonlcon是函数文件，有特定格式function [c,ceq] = mycon(x)，描述非线性约束c(x)

和ceq(x)。

5. 没有整数约束，0-1约束，敏感性分析。

? 要求解微分方程（组）dy/dt=f(t,y)，可如下调用：

[T,Y]=ode45(f,[t0,tn],y0)

函数在求解区间[t0,tn]内，自动设立采样点向量T，并求出解函数y在采样点T处的样本值Y。f是一个函数，要有两个参数，第一个参数是自变量t，第二个参数是因变量y。y0=y(t0)给定方程的初值。

例：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x，y(1)=2在[1，3]区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。

先建立一个该函数的m文件fxy1.m： function f=f(x,y)

f=-2.*y./x+4*x %注意使用点运算符 再输入命令：

[X,Y]=ode45('fxy1',[1,3],2);

X' %显示自变量的一组采样点

Y' %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 (X.^2+1./X.^2)' %显示求解函数与采样点对应的一组解析解

例: 求解常微分方程组初值问题在区间[0,2]中的解。

?dy１?y2　　　　　，y1(0)?5??dx ?dy２?　??xy2?x2?5　，y2(0)?6??dx建立一个函数文件 fxy2.m：

function f=f(x,y) f(1)=y(2);

f(2)=-x.*y(2)+x.^2-5; f=f';

在MATLAB命令窗口，输入命令： [X,Y]=ode45('fxy2',[0,2],[5,6])

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实验四：Lingo求解图论问题

学时：2学时

实验目的：把最短路径、最大流、最小生成树、旅行商、关键路径等图论问题转化为数学规划模型，并用Lingo进行求解。 实验内容：

把以下图从v0到v6最短路径问题转化为数学规划模型，并用Lingo进行求解。

1V04V152V3452V46V6V2提示：

最短路径问题的数学规划模型为：

3nnV54 minz???cijxiji?1j?1n?1,　i?1?st:?xij??xji???1,　i?n

j?1j?1?0,　i?1,n?n　　xij?0或1

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实验五：matlab统计工具箱

学时：4学时 实验目的：

1. 用matlab计算基本统计量，常见概率分布的函数，参数估计，假设检验。 2. 掌握matlab进行回归分析的方法。 实验内容：

1、某校60名学生的一次考试成绩如下:

93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 551)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图； 2)检验分布的正态性；

3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数.

2、据说某地汽油的价格是每加仑115美分，为了验证这种说法，一位学者开车随机选择了一些加油站，得到某年一月和二月的数据如下：

一月：119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118 二月：118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 125 1）分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性； 2）分别给出1月和2月汽油价格的置信区间； 3）给出1月和2月汽油价格差的置信区间.

3、财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。 年份 国民收入工业总产农业总产总人口就业人固定资产投财政收（亿元） 值(亿元) 值（亿元） （万人） 口（万资（亿元） 入(亿人） 元) 1952 598 349 461 57482 20729 44 184 1953 586 455 475 58796 21364 89 216 1954 707 520 491 60266 21832 97 248 1955 737 558 529 61465 22328 98 254 1956 825 715 556 62828 23018 150 268 1957 837 798 575 64653 23711 139 286 1958 1028 1235 598 65994 26600 256 357 1959 1114 1681 509 67207 26173 338 444 1960 1079 1870 444 66207 25880 380 506 1961 757 1156 434 65859 25590 138 271 1962 677 964 461 67295 25110 66 230 1963 779 1046 514 69172 26640 85 266 1964 943 1250 584 70499 27736 129 323 1965 1152 1581 632 72538 28670 175 393 1966 1322 1911 687 74542 29805 212 466 1967 1249 1647 697 76368 30814 156 352 1968 1187 1565 680 78534 31915 127 303 1969 1372 2101 688 80671 33225 207 447 1970 1638 2747 767 82992 34432 312 564

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1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1780 1833 1978 1993 2121 2052 2189 2475 2702 2791 2927 3156 3365 3684 3696 4254 4309 4925 5590 6065 6592 6862 790 789 855 891 932 955 971 1058 1150 1194 1273 85229 87177 89211 90859 92421 93717 94974 96259 97542 98705 100072 35620 35854 36652 37369 38168 38834 39377 39856 40581 41896 73280 355 354 374 393 462 443 454 550 564 568 496 638 658 691 655 692 657 723 922 890 826 810

提示：

? 对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：

? 均值：mean(x) ? 中位数：median(x)

? 标准差：std(x) ? 方差：var(x)

? 偏度：skewness(x) ? 峰度：kurtosis(x)

? 总体方差sigma2已知时，总体均值的检验使用 z-检验

[h,sig,ci] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)

检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中sigma 为已知方差， alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值： tail = 0，检验假设“x 的均值等于 m ” tail = 1，检验假设“x 的均值大于 m ” tail =-1，检验假设“x 的均值小于 m ” tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05.

返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.

? 总体方差sigma2未知时，总体均值的检验使用t-检验 [h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail)

? 两总体均值的假设检验使用 t-检验 [h,sig,ci] = ttest2(x,y,alpha,tail)

? 第3题可用逐步回归。stepwise（x,y）。

? 运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise

History.

? 在Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.

? Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型

的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.

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