高一数学教案：4_7二倍角的正弦、余弦、正切(3)

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课 题：47二倍角的正弦、余弦、正切（3）

教学目的：

要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力

教学重点：二倍角公式的应用

教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入： 二倍角公式:

sin2??2sin?cos?；(S2?) cos2??cos??sin?；(C2?) tan2??222tan?；(T2?) 21?tan?2 cos2??2cos??1

??) cos2??1?2sin?(C2cos2??1?cos2?,2sin2??1?cos2? 22二、讲解新课：

1．积化和差公式的推导

sin(? + ?) + sin(? ? ?) = 2sin?cos?

? sin?cos? =

1[sin(? + ?) + sin(? ? ?)] 2sin(? + ?) ? sin(? ? ?) = 2cos?sin? ? cos?sin? =

1[sin(? + ?) ? sin(? ? ?)] 21[cos(? + ?) + cos(? ? ?)] 21[cos(? + ?) ? cos(? ? ?)] 2cos(? + ?) + cos(? ? ?) = 2cos?cos? ? cos?cos? =

cos(? + ?) ? cos(? ? ?) = ? 2sin?sin? ? sin?sin? = ?

2．和差化积公式的推导

??????，?? 代入得： 22??????1????????????1sincos?[sin(?)?sin(?)]?(sin??sin?)

22222222若令? + ? = ?，? ? ? = φ，则??6

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??????cos 22??????sin sin??sin??2cos 22??????cos cos??cos??2cos 22??????sin cos??cos???2sin 22∴sin??sin??2sin3．半角公式

sintan?1?cos??1?cos??1?cos? ??,cos??,tan??222221?cos??sin?1?cos??? 21?cos?sin?2?代? 即得： 21?cos?2?2?? cos??1?2sin ∴sin

222?2 2?在 cos2??2cos??1 中，以?代2?，代? 即得：

2?1?cos?2??1 ∴cos2? cos??2cos 2221?cos?2?? 3?以上结果相除得：tan21?cos?

证：1?在 cos2??1?2sin? 中，以?代2?，

4?

1?cos??sin?1?(1?2sin22sin??2cos?2?)22?tan? ?2cos2sinsin?sin??1?cos?4．万能公式

2?2?tan? ??21?2cos2?1cos2221?tan21?tan22sin2sin?cos??2tansin???2,cos????2,tan??22tan?2

1?tan2?21?tan2?2???cos2tansin?22?2 证：1?sin??????1sin2?cos21?tan22226

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????sin21?tan2cos?22?2 2?cos??????1sin2?cos21?tan2222???2sincos2tansin?22?2 3?tan??????cos?cos2?sin21?tan2222cos2三、讲解范例：

2sin??cos???5，求3cos 2? + 4sin 2? 的值 sin??3cos?2sin??cos???5 ∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 ) 解：∵

sin??3cos?2tan??1??5 解之得：tan ? = 2 ∴

tan??3例1已知

3(1?tan2?)4?2tan?3(1?22)4?2?27???? ∴原式?51?tan2?1?tan2?1?221?22例2已知

?11????，?????0，tan? =?，tan? =?，求2? + ?

3722tan?3tan2??tan???tan(2???)???1 ∴241?tan?1?tan2?tan? 解：tan2??3???2??2?，????0 227? ∴??2????2? ∴2? + ? =

41?例3已知sin? ? cos? = ，????2?，求tan和tan?的值

22??2tan1?tan212?2?1 解：∵sin? ? cos? = ∴

??221?tan21?tan222?2??4tan?3?0 化简得：tan22 又∵tan2? < 0，tan? < 0 ∴

∴tan??4?16?12???2?7 22?????? ∴tan?0 222 ∵????2? ∴即tan???2?7 26

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?2?2(?2?7)??4?27?2?7?4?7 tan??232?1?(?2?7)?10?475?271?tan211例4已知cos? ? cos ? = ，sin? ? sin? = ?，求sin(? + ?)的值

231??????1sin? ① 解：∵cos? ? cos ? = ，∴?2sin22221??????1sin?? ② sin? ? sin ? =?，∴?2cos3223??????3???3?0 ∴?tan?? ∴tan? ∵sin22222???32tan2?22?12 ∴sin(???)?????9131?tan21?242tan例5求证：sin3?sin? + cos3?cos? = cos2? 22

证：左边 = (sin3?sin?)sin? + (cos3?cos?)cos?

3

3

3

1122

(cos4? ? cos2?)sin? + (cos4? + cos2?)cos? 2211112222

= ?cos4?sin? +cos2?sin? +cos4?cos? +cos2?cos?

2222111 = cos4?cos2? + cos2? = cos2?(cos4? + 1)

222123

= cos2?2cos2? = cos2? = 右边

2 = ?

∴原式得证 四、课堂练习：

1已知α、β为锐角，且3sinα＋2sinβ＝1，3sin2α－2sin2β＝0 22

求证：α＋2β＝

?? 22

证法1：由已知得3sinα＝cos2β ①?

3sin2α＝2sin2β ②?

sin(?2?)cos2??2①÷②得tanα＝??tan(?2?)

?sin2?2cos(?2?)2∵α、β为锐角?

??，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，? 2???∴－＜－2β＜

222??∴α＝－2β，α＋2β＝

22∴0＜β＜

6

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证法2：由已知可得：?

2

3sinα＝cos2β? 3sin2α＝2sin2β?

∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β? ＝cosα·3sinα－sinα·

2

2

3sin2α? 2＝3sinαcosα－sinα·3sinαcosα＝0? 又由α＋2β∈（0，∴α＋2β＝

3?）? 2?? 22??3sin??cos2?①

证法3：由已知可得? 2② ??3sin??2sin2?∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β ＝sinα·3sinα＋

22

3cosα·sin2α? 22

＝3sinα（sinα＋cosα）＝3sinα?

又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③? 22422

①＋③，得9sinα＋9sinαcosα＝1?

1，即sin（α＋2β）＝1? 33?又0＜α＋2β＜

2∴sinα＝∴α＋2β＝

? 2评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－

??，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密22切，也可考虑取此角的正切 2在△ABC中，sinA是cos（B＋C）与cos（B－C）的等差中项，

试求(1)tanB＋tanC的值?(2)证明tanB＝（1＋tanC）·cot（45°＋C） (1)解：△ABC中，sinA＝sin（B＋C）

∴2sin（B＋C）＝cos（B＋C）＋cos（B－C）? ∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC? ∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1?

（2）证明：又由上：tanβ＝1－tanC＝（1＋tanC）·

1?tanC?

1?tanC＝（1＋tanC）·tan（45°－C）＝（1＋tanC）·cot（45°＋C）?

sin40?(1?2cos40?)

2cos240??cos40??1sin40??2sin40?cos40?sin40??sin80??解：原式＝

cos80??cos40?cos80??cos40?3求值：6

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?2sin60?cos20??tan60??3

2cos60?cos20? 五、小结 通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要求记，半角

公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系另外，要注意半角公式的推导与正确使用 六、课后作业：

1如果｜cosθ｜＝

15??，＜θ＜3π,则sin的值等于( ) 522A.?10101515 B. C.? D.55552设5π＜θ＜6π且cos

??＝a,则sin等于( ) 24A.?1?a1?a1?a1?a B.? C.? D.?222288 D. 17153已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( )

A.17?4 B.17?4 C.4tan??－cot的值等于 12125已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan

A＝ 66已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan

???2＝ 7设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tanx 28已知cos2θ＝

2，求sin4θ＋cos4θ的值 39求证sin4xcos2xcosxx???tan.

1?cos4x1?cos2x1?cosx2参考答案：1C 2D 3A 4－23 52－3 6－2

1 2411 8 318sin4xcos2xcosxcos2xcosx???tan2x??9

1?cos4x1?cos2x1?cosx1?cos2x1?cosxsin2xcosxcosxsinxx???tanx???tan. 1?cos2x1?cosx1?cosx1?cosx27 七、板书设计（略） 八、课后记：

6

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