第3章线性系统的时域分析习题答案(2)

y(?)?limsY(s)?limss?0s?0m所以 10/ k=0.06 ，从而求得k = 166.7 N/m

由系统得响应曲线可知，系统得超调量为??0.02/0.06?33.3%，由二阶系统性能指标的计算公式 ??e???/1???100%?33.3% 解得 ??0.3 3由响应曲线得，峰值时间为3s，所以由

2s2??1ms?km?10?0.06 stp?解得 ?n?1.10r9ad s/由系统特征方城

??n1??2?3

2s2?2??ns??n?s2??ms?k?0 m可知

2??n??m

k2??n m所以

166.7?135.5kg 22?n1.109??2??nm?2?0.33?1.109?135.5?99.2N/(m/s)

m??k

题3.10 已知一控制系统的结构如题3.10图，

1）确定该系统在输入信号r(t)?1(t)下的时域性能指标：超调量?%，调节时间ts和峰值时间tp；

2）当r(t)?2?1(t),n(t)?4sin3t时，求系统的稳态误差。

N(s) R(s) C(s) 1 s?48 s?2

题3.10图

解：

88?2

(s?4)(s?2)s?6s?88 系统的闭环传递函数为G(s)?2

s?6s?161）系统的开环传递函数为：G(s)?2?n比较 二阶系统的标准形式G(s)?2，可得 2s?2??ns??n?n?4

而2??n?6，所以??0.75

tp???n1??32?1.795s

??e???/1??2?100%?2.8%

ts???n?1s(??5%)

r(t)?2?1(t)2）由题意知，该系统是个线性系统，满足叠加原理，故可以分别求取，

和n(t)?4sin3t分别作用于系统时的稳态误差ess1和ess2，系统的稳态误差就等于ess?ess1?ess2。

A） r(t)?2?1(t)单独作用时，

由系统的开环传递函数知，系统的开环增益Kk?1，所以系统对r(t)?2?1(t)1的稳态误差ess1为：ess1?2??1

1?KkB） n(t)?4sin3t单独作用时，系统的方块图为图3.2。

N(s) 8 s?28s?4C(s) 图3.2 题3.10用图

8(s?4)系统的闭环传递函数为：We(s)?2

s?6s?168(j??4)频率特性为：We(j?)?

6?j?16??2

当系统作用为n(t)?4sin3t时，??3，所以

8(j3?4)32?24j??2.07

6?3j?16?327?18j2418?We(3j)?arctan?arctan?-0.5564

327ess?4?We(3j)sin(3t??We(3j))系统的输出为：2

?8.56sin(3t?0.5564)所以系统的误差为：ess?1?8.56sin(3t?0.5564)

题3.11 已知一个n阶闭环系统的微分方程为

??a0y?b1r??b0r any(n)?an?1y(n?1)???a2y(2)?a1y其中r为输入，y为输出，所有系数均大于零。 (1). 写出该系统的特征方程； (2). 写出该系统的闭环传递函数；

We(3j)? (3). 若该系统为单位负反馈系统，写出其开环传递函数；

(4). 若系统是稳定的，求当r(t)?1(t)时的稳态误差ess（误差定义为

； e(t)?r(t)?y(t)）

(5). 为使系统在r(t)?t时的稳态误差ess?0，除系统必须稳定外，还应满足什么条件？

(6). 当a0?1，a1?0.5，a2?0.25，b1?0，b0?2，r(t)?1(t)ai?0(i?2)，

时，试评价该二阶系统的如下性能：?、?n、?%、ts和y(?)。 解：根据微分方程与传递函数的对应关系，可得 1）系统的特征方程：ansn?an?1sn?1???a1s?a0?0

b1s?b02）系统的闭环传递函数 ?(s)?

ansn?an?1sn?1???a1s?a03）开环传递函数

b1s?b0?(s) G(s)??nn?11??(s)ans?an?1s???a1s?a0?b1s?b0ansn?an?1sn?1???a1s?a0?b1s?b04）误差传递函数Ge(s)?1??(s)? nn?1ans?an?1s???a1s?a0稳态误差

ansn?an?1sn?1???a1s?a0?b1s?b0a0?b01 ess?limsGe(s)?lim?nn?1s?0s?0sa0ans?an?1s???a1s?a05）由稳态误差和系统稳定条件，可得

a1?b1?0

a0?b0?06）此时系统的闭环传递函数

22 ?(s)??2110.25s?0.5s?1s2?s?142与二阶系统闭环传递函数比较，得

2?n?4??n?2

12?/?n????0.5

2所以

3ts??3s

??n????00?e1??210000

12y(?)?limY(s)?limsGb(s)?lim?2 2s?0s?0s?0s0.25s?0.5s?1

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