第3章线性系统的时域分析习题答案

第3章 线性系统的时域分析

3.1 学习要点

1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用；

3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法；

5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。

3.2 思考与习题祥解

题3.1 思考与总结下述问题。

（1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳?值对二阶系统特征根的影响规律。

（2）总结?和?n对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响？

（5）系统误差与哪些因素有关？试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。

（6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关？

答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图3.1所示。

Im①(0???1)?p1②??j?n(??0)j?n1??2③?p(??1)1④(??1)???n?p2④??????0n?(??n?2?1)?n?(??n?2?1)?nRe?p2?②/2?j?n1??①??j?n

图3.1 二阶系统特征根在复平面上的分布

当??0，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。

当0???1，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是

以?n为半径的圆弧，如图中情况②。

当??1，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当??1，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。

（2）?和?n是二阶系统的两个特征参量。

?是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。

当??0，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。

当0???1，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。?越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差；

?越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超

_?1??2?调量由?值唯一确定，即?%?e?10000。在工程设计中，对于恒值控制系

统，一般取 ?＝0.2～0.4；对于随动控制系统?＝0.6～0.8。

?n是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当?一定，二阶系统的

时域性能指标调节时间与?n值成反比，即ts?3?4??n。

（3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。

（4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。

（5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。

因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。

无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。

（6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。

题3.2系统特征方程如下，试判断其稳定性。

（a）0.02s3?0.3s2?s?20?0； （b）s5?12s4?44s3?48s2?s?1?0； （c）0.1s4?1.25s3?2.6s2?26s?25?0

解：（a）稳定； （b）稳定； （c）不稳定。

题3.3 系统结构如题3.3图所示。控制器Gc(s)?Kp(1?1)，为使该系统Tis稳定，控制器参数Kp、Ti应满足什么关系？

R(s) Gc(s)+N(s) 0.25 15s?1C(s) 题3.3图

解：闭环系统特征方程为：

15Tis2?Ti(1?0.25Kp)s?0.25Kp?0 所以系统稳定的条件是

?Ti?0； ?K?0?p

?Ti?0 ??4?K?0p?K，要求闭

s(1?0.2s)(1?0.1s)题3.4 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?环特征根的实部均小于-1，求K值应取的范围。

解：系统特征方程为

s(1.0.2s)(1?0.1s)?K?0

要使系统特征根实部小于?1，可以把原虚轴向左平移一个单位，令w?s?1，即 s?w?1，代入原特征方程并整理得

0.02w?0.24w?0.46w?K?0.72?0 运用劳斯判据，最后得

0.72?K?6.24

32题3.5 设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?K(s?1)

s3?? s2?2s?1若系统以2rad/s频率持续振荡，试确定相应的K和?值

解：可以利用Routh判据或其它方法解答。 系统的闭环传递函数

?(s)?K(s?1) 32s?as??2?K?s?(1?K)闭环特征方程s3?as2??2?K?s?(1?K)?0

利用Routh判据。作Routh表如下：

3 s 1 2?K

s a 1?K

1 s [a(2?K)?1?K]/a s 1?K 系统持续振荡的条件是

02[a(2?K)?1?K]/a?0?a?所以

1?K 2?Kas2?1?K?0??4a?1?K?0

K?2， ??0.75

题3.6 单位反馈系统的开环传递函数G(s)?调节时间ts 。

解：依题，系统闭环传递函数

44?(s)?2??s?5s?4(s?1)(s?4)其中 T1?1,T2?0.25。

4，求单位阶跃响应c(t)和

s(s?5)411(s?)(s?)T1T2

CCC4?0?1?2

s(s?1)(s?4)ss?1s?44?1 C0?lims?(s)R(s)?lims?0s?0(s?1)(s?4)44?? C1?lim(s?1)?(s)R(s)?lims??1s?0s(s?4)341? C2?lim(s?4)?(s)R(s)?lims??4s?0s(s?1)3单位阶跃响应

41c(t)?1?e?t?e?4t

33?ts?T? 1?4， ?ts???T??T1?3.3T1?3.3。 T2?1?C(s)??(s)R(s)?

题3.7机器人控制系统结构如题3.7图所示。试确定参数K1,K2值，使系统阶跃响应的峰值时间tp?0.5s，超调量?%?2%。

R(s)k1s(s?1)C(s)k2s?1题3.7图

解：依题，系统闭环传递函数为

K12K??nK1s(s?1)?? ?(s)? 2K1(K2s?1)s2?(1?K1K2)s?K1s2?2??ns??n1?s(s?1)??o?e???1??2?0.02?o?由 ? 联立求解得

tp??0.52?1???n?比较?(s)分母系数得

???0.78 ???n?10?K1??n2?100?2??n?1 ? K2??0.146?K1?

题3.8 系统结构如题3.8图所示。

（1） 当K0?25,Kf?0时，求系统的动态性能指标?%和ts；

（2） 若使系统??0.5，单位速度误差ess?0.1时，试确定K0和Kf值。

R(s)K01s(s?4)KfsC(s)

题3.8图

解：按题3.7思路合方法，可解得

?%?25.4%（1）

ts?1.75（2）K0?100,Kf?6

题3.9 已知质量-弹簧-阻尼器系统如题3.9 (a) 图所示，其中质量为m公斤，弹簧系数为k牛顿/米，阻尼器系数为?牛顿秒/米，当物体受F = 10牛顿的恒力作用时，其位移y(t)的的变化如图(b)所示。求m、k和?的值。

?Fmk03ty(t)0.080.06y(t)图(a) 图(b)

题3.9图

解：系统的微分方程为 ：my(t)??y(t)?ky(t)?F(t)

1Y(s)1m系统的传递函数为 ：G(s)? ?2??kF(s)ms??s?ks2?s?mm1110m因此 G(Y(s)?2F(?s)?

?kms??s?kss2?s?mm利用拉普拉斯终值定理及图上的稳态值可得：

???

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