“简约与对称”是大自然设计理念(2)

应用比对称本身更重要，但其实质还是利用严谨的数学方法探索事物内在的对称性。

4.1 对称性的群论描述

(1)置换对称性___全同粒子位置交换的不可区分性,如原子中电子；用置换群描

述。

(2)变换对称性___连续空间的变换,如晶体点阵的平移、滑移和螺旋移动；用空

间群描述。

球对称的原子结构:全旋转群描述。

分子结构：空间的离散变换—用点群描述。 (3)规范对称性___一种内在的抽象对称性,比如:“水涨船高”、”状态函数与路

径无关”、”收入和经济指标在通涨中同步增长”?；由连续群描述。

(4)无标度对称性___由大到小的“缩放”对称性，测量标度改变下的不变性(大

的是小的成比例放大),又叫“分形”,比如海岸线的测量?；用重整化群描述。

(自然界除了规则的多边形,更多的是破碎的不规则几何图形,如浮

云、流水、窗上的霜花、远山的轮廓、海岸线等,科学家给它起了 个很有特征的名字?分形?___意指?具有分数维的几何图形?， 这种破碎的几何图形中存在着纵向无标度、统计的缩放相似性___ 即重整化)。

重整化___是关于具有不同特征长度(标度)的物理过程间的相互联系,或称为(事件)的“纵向相似性”,统称为:无标度对称性。

(5) 超对称性 ___一种高维空间的整体(总)对称性,它将玻色子和费米子统一起

来;如‘超旋’、‘M-理论’有望统一四种力,建立大统一理论；用超群描述。

4.2基本粒子标准模型

理论物理学就是综合利用群论方法概括了基本粒子内禀对称性,得到较为合理的基本粒子标准模型:

U(1)对称性___(一个参量,位相?)描述电、磁场的规范对称性，简化了麦克斯韦方程,统一了电磁场。

11 SU(2)对称性___(两个参量,同位旋?,?)用同位旋量子数，统一中子和质子

22(注:1932年海森堡曾建议,在研究核力时将质子(相对质量m=1.00728)和中子(m=1.00894)看成是同一粒子(核子)的两个状态,用SU(2)群描述,称为同位旋空间)。

SU(3)对称性___用色荷(红、黄、蓝)、味荷(u、d、s、c、b、t)描述强作用。

(注:1961年盖尔曼利用U(3)群导出基本粒子的强子的八重态,预言的未

知粒子已为实验证实存在)。

最终,物理学家将以上三种对称性组成直积群,建立了基本粒子标准模型:

SU(3)×SU(2)×U(1)。

SU(3)×SU(2)×U(1)模型描述了真空对称性的自发破缺,也统一了强、弱、电磁三种作用力。基本粒子标准模型和三种力的统一模型是当今科学界承认的探索物质终极结构的综合理论（只差引力还没结合进去。这是上个世纪末科学最热门的话题，但随着复杂科学的进展，人们整体思维意识的进步；尤其进入21世纪后，

对大爆炸理论、相对论光速不变说、大统一说和终极理论等提出诸多质疑，特别是领军人物霍金也提出放弃寻求终极理论的努力。这让人想起金刚经的“世界是一合相，一合相则不可说”的话，此当另立话题再议）。 4.3群论与量子化学

群论在量子化学中的应用,粗略的可以列举如下:

(1).对体系的状态进行对称性分类,建造多电子组态等。 (2).简化多电子体系的量子化学计算。

(3).找出微扰(或变分)理论对称性降低的子群链,破解能级简并度。 (4).确定光谱的选律,建立矩阵元之间的关系，计算矩阵元。

体系状态分类的基础是对易子:[R,?]?0

假定R是分子所属点群的对称操作,R与时间(t)无关；令对称操作(R)作用于薛

?d?(q,t))?R??(q,t), 定谔方程:R(i?dt?d显然,若R???R,则:i?R?(q,t)??R?(q,t),

dt???即,R?(q,t)仍是体系的状态,条件是R与?可对易: R??????R---→ R???R?0 ---→[R,?]?0

????在?作用下的分子,其所属点群的对称操作R只交换等同原子,不改变分子的构型,因而在对称操作R的作用下?不变,体系的能量也不变,从而可以利用对称性使体系状态(按能量)分类。

群论在量子化学中的广泛应用,特别是在光谱解析中的应用,使得应用群论的化学文献越来越多,致使当今要想深入学习和理解化学理论不了解群论和量子化学几乎是不可能的。为要了解群论及其在量子化学中的应用,首先要了解线性代数和矩阵的基本知识；这三者之间的关系介绍的大致是: 线性代数—-----群论----—---量子化学

行列式 群的概念 群论在量子化学中的应用: 矩阵 分子对称操作群 对称性匹配函数 线性方程组 约化、变换对称性 杂化轨道 矩阵本征值 广义正交定理 ?? 光谱选律

?? ?? 矩阵元为零的判据?? 5.对称性对思维方法的启示

以往传统物理学的研究多是“从实验—理论—实验检验—理论?”的归纳方法，现代物理学向物质更深层微观结构和更广泛的宇观体系发展，从实验出发的研究方法受到限制；更多是用“理论—实验—修正理论—实验?”的演绎方法，两种方法的结合为对称性的应用拓宽领域。

?(1)思维方式的对称性

实际上，爱因斯坦在发现他的引力理论时,遵循的就是从一些简单的物理事实出发推出的对称性设定理论的方法。

假定坐标以速度?沿x轴匀速运动，

2?t??x/ct\\???1??2/c2则洛伦兹变换为?， x??t\\\\\\?x?,y?y,z?z22?1??/c? 洛伦兹变换不变性断言：两个做匀速相对运动的观察者感受到同样的物理实在。

爱因斯坦就是从此对称性出发导出了相对论的引力理论，统一了时空观和质

能关系。

思维的对称性和对称性思维有同样的功效，德布罗意就是利用爱因斯坦的光子波粒二象性导出实物粒子也具波粒二象性： 既然作为通常认为是波的光子有粒子性，为什么通常认为是粒子的实物粒子不能有波性呢？！由此才出现了量子力学。 (2)设定对称性法

依据一定事实材料设定图像、符号、结构格式等对称模型，从而导向群论做出理论预言，交实验验证。

与爱因斯坦同样，麦克斯韦在洛伦兹变换下统一了电磁场理论，狄拉克从物质对称性推出反物质的存在，建立了相对论量子力学。

从复杂物质的化学性质设定可能所含的分子基团，确定局部对称性；再根据群论解析可能出现的图谱强度和峰值，与实物图谱对照。 (3)提升对称性法

都知道，低对称性的复杂事物，在高对称性下可能十分简单，令人豁然开朗。例如，对称填补法、对称平衡法和对称空间升降法等都是从对称原理出发，把旧有的概念、命题或理论中不对称项填补、调整、改造使体系处于新的对称平衡状态；进而找到尚缺的物质或提出更高的理论，在更高的思维空间俯视现有的复杂事物。如1970年格拉肖注意到，夸克与轻子有更好的对称性，4种轻子的其中3种与3种夸克对称，唯独轻子??没有与之对称的夸克；格拉肖在新的对称性指导下大胆地预言了存在粲夸克C,补上空缺使轻子和夸克一一对应。1974年丁肇中发现了?/J粒子证实了预言。此外，量子化学多粒子体系计算的酉群方法中，高对称的连续群链对称性下降方法是最常用的高对称性数学空间降解法。

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