“简约与对称”是大自然设计理念

“简约与对称”是大自然的设计理念

——“对称性”和“最小作用量原理”是物理学规律中的规律

“我想知道上帝是如何创造这个世界的，对这个或那个现象、

这个或那个元素的谱我并不感兴趣。我想知道的是他的思想， 其它的都只是细节问题。”

——A.爱因斯坦

1.对称性是大自然的设计理念

对称（Symmetry）韦氏大字典中的诠释是:“比例均衡、匀称?”。

其涵义和艺术的审美观相联，大自然在最基础的根基上是按美来设计的。在千变万化、缤纷多姿的表象中潜藏着内在深邃的美__简捷、对称、和谐塑造了世界。

对称性在量子理论中定义为:事物在一组变动中保持不变的性质。 万物皆动,那动中的不动便是规律；这是动与静的关联,变与不变的哲学。 人们把这种变动称为对称性变换，保持不变的性质又可以表述为不可观测性或不可区分性，于是对称性又和守恒定律联系起来。

2.对称性与守恒定律

德国数学家A.E.Noether凭借灵感提出著名的诺特尔定理：作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应。 这意味着，有一种不可观测量就有一个守恒定律：空间位置的不可观测性对应动量守恒（或者说，如果某一作用量在空间平移下不变，动量就守恒）；在时间平移下作用量保持不变，则能量守恒；空间旋转不变性对应角动量守恒? 举例说明:空间位移的不变性导出动量守恒定律，

1 V只与两球的相○F1 r1?r2 2○F2 假定两球的相互作用势能为V(r1?r2)，

对位置有关,与绝对位置无关。

r1 r2 设球1受力为:F1???V?V??

?(r1?r2)?r1r1\\ r2\\ 球2受力为: F2???V?V?

?(r1?r2)?r2 两球的绝对位置不可分辨(或者说，两球受力与两球所在坐

标原点设在那里无关),假定原点离球很远,可近似的看作

r1?r2,

合力: F?F1?F2??(即:F1?V?V??0 ?r1?r1??F2,牛顿第三定律)

dP?0,(动量P是恒量)。 dt亦即: F?绝对位置的不可测不但导出动量守恒,也能导出牛顿三定律。

物理学中的对称性和守恒律

不可观测量 绝对位置 绝对时间 绝对空间方向 绝对的左和右 绝对的电荷正负 绝对的时间方向 全同粒子 状态的绝对位相 数学变换 空间位移r??r 时间平移t??t 转动r?r 空间反演r??r 电荷反演e??e 时间反演t??t 置换 规范变换?\\守恒定律 动量守恒 能量守恒 角动量守恒 宇称守恒(P) 电荷共轭(守恒)(C) 时间反演(守恒)(T) 玻色-费米统计 相空间转动电荷不变 ?eiq?? 诺特尔定理之美在于它的普适性，它不依赖于作用量的细节；一个物理学的理论可以总结为一个作用量的变化，这个理论的对称性就明白地表现在各种变换作用下作用量的不变性。

3.对称性破缺与认识论

3.1 质量是对称性破缺的原因

一张白纸好画最美的图画，一个什么也没有的‘真空’,具有高度的对称性。 当然“真空不空”,偶然地涨落使某处分子云集结(质量发生了变化),对称性即被破坏——因而质量的变化引起对称性的破缺。质量与能量是一回事，因而也与作用力相关。由于物质的“大数规则”和每时每刻都在不停地变化、变动中，“相碍缘起”，在时间的长河中大小不同的扰动时刻都改变着本来对称的事物，引起无数对称性破缺，造就了如此缤纷的世界。

（注：自然界的规则是简单的，也是难解的，各种规则微妙地搅在一起，造就了令人惊奇

的复杂。大数规则是简单原理造就复杂现象的原因之一，自然界有两种完全不同的大数现象：极大的粒子数和基本相互作用强度上的巨大悬殊（强力若是1的话，万有引力则是10－39）；

所涉及粒子数目的难以置信的大，弥补了万有引力的难以置信的弱，这种质、能悬殊差异的互补凸显了造物的微妙；恰在不大不小的人类世界，则由不大不小的电磁力主宰。）

3.2为什么会对称性破缺

大自然趋稳，所以要对称性的破缺

对称性破缺分两种，自发性对称破缺和非自发对称性破缺；

一根木棍,在越来越大的力量下弯曲，系统失稳，出现内应力。应力达到一定阈值,棍子突然折断,断为两截的棍子是稳定系统。这是外力作用下的非自发对称破缺。

生物物种的形成源于基因的突变，同一物种具有某些特征（形体、行为等）的不可区分性。物种在适应环境变化中基因不断改变，如果基因变异引起物种某些特征的变化，在后代繁衍进化中能消失，则物种系统是稳定的。如果变异积累到一定大小，群体差异使物种系统失稳到一定程度，物种将分裂，单一物种被破坏，新物种产生，整体系统趋稳。这是自发性对称破缺。 大自然喜欢?最小付出原则?， 所以要对称性的破缺

自然的变化遵循简约原则（即最小作用量原理）例如,光在不同媒质中为什么会发生折射？数学家费马(1601～1665)提出的费马原理: “光所选择的是使它到达目的地所花时间最短的那条路径”，解释了折射的原因。

图中观察者看水中的人，有两条途径：TBE和TAE，前者距离虽近，但水中路程较远； 由于光在水中传播要比空气中慢，故选择TAE路线，人体发生了折射，身长变短。

（注：费马原理还可以这么说：过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒

定值的路径。

其中光程定义为该介质的折射率乘以路程。写成数学的形式就是：

…… ①

其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。对于一个函数求导，如果导数值等于零，可以判断原函数在该点处会取得极小值、极大值或恒定值。 若上式令:

p2p1S??nds, 则?S?0，S是个泛函，泛函求极值可用变分法，与函数

求导类似。如果将ds??dt,??c/n代入上式，得到：

…… ②

即得到费马原理的第一种表述：过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短（或最长或恒定值）的路径。有了费马原理，就有了全部几何光学，我们可以从费马原理出发导出所有的几何光学定理。）

3.3最小作用量原理

费马原理是最小作用量原理在几何光学中的特例，由此可以推导出所有几何光学定律。同样力学中也存在一个最小作用量原理，令作用量S在运动中取最小值：

， ?? ③

由此可以导出牛顿第二定律F=ma，和全部经典力学。 物体在自然受力状态下，总是取能量最低状态。 例如，悬链状态，如图把一个铁链子的两端系在水 平的棒上，铁链子会形成一条美妙的悬链线。有个 曲线方程描述其受力状态，铁链子在这一状态下 重力势能最低。此例是公式③动能为零的特例。

又如，水滴在真空无重力情况下呈球形，表面势能最小（球形是相同体积下表面积最小的立体图形），在重力下成表面势能最小的扁圆形贴附于表面物体上。 尽管叫“最小作用量原理”，实际上作用量不一定最小，它可以是极小值、极大值或者恒定值，重力势能最低实际上是作用量取极大值的情况（作用量中势能前有个负号）。

正如庞加莱（Poincaré）所说：“作为普遍的原理，最小作用量原理和守恒原理具有极高的价值，他们是在许多物理定律的陈述中寻求共同点时得到的，因此，他们仿佛代表着无数观察的精髓”。

最小作用量原理应用于电磁学、热学、物理、化学（在化学中作用量是自由能G）和量子力学等各科学领域，在各领域作用量S各有自己的退化方式。就连广义相对论也是建立在最小作用量的基础上；定性的说，光在弯曲的时空中走的是光程最短的路径，虽然在我们的眼中它并不是直线，但是就像在球面上划一条长度最短的线不是直线一样，光在弯曲时空中光程最短的路径也是弯曲的。 3.4 CPT原理

物质的性质取决于物质微观结构的内在对称性，对称是相对的，不对称是绝对的；高对称性对应着体系状态的高简并度和体系更多的对称性破缺的可能性（例如，一个圆截面的教鞭可以向各个方向弯曲，而一个直尺只有两个方向易弯曲）。

宇称守恒P是个不严格的对称性；人体是左右对称的,但又不是绝对的对称。1956年,李政道和杨振宁发现了宇称不守恒___左右对称被破坏,是因为中微子的自旋具有倾向性____“上帝是左撇子”。 P对称性破缺___指左变成右是可以区别的。

事实上,大自然于细微处不光左右不对称,正、反物质也不对称；这是由于电荷的不可区分性被破坏，C对称性破缺___是指正、反粒子变换的可区别性。

假如有两个世界的‘人’要接触,那可要当心呐,闹不好要湮灭的。首先

要验明正、反物质,即要识别各自所带电荷的正负性.这件事由中性K介子的两种衰变的衰变率(?)的些微不同而得到解决:

0?(KL?e??????)0?(KL?e??????)??1.00648?0.00035

正是这一微小的差别使得两个世界的物质可以通过测定各自的K介子的衰变率来确定电荷的正负,从而判定其物质的正反异同。

在C、P联合变换下,世界是可区别的。

但是，如果再加上T对称性破缺___时间反演（即过去变成未来）的可区别性， 即C、P、T同时做一次对称性变换，则所有的物理定律都不变，这就是李政道1956年提出的著名的CPT定理，CPT对称性是个严格的对称性。

4.群论是描述对称性的数学

群___是一组事物在规定的‘乘法’关系下满足四个条件:封闭性、结合律、有单位元和逆元，则构成群。群论是近世代数中的一种，是研究对称变换的数学。 链接资料：

1831年,伽罗华(Galois)首次提出?群?的概念，并利用置换群(对称性)证明了五

次代数方程不能用常规算法求解。

早期的物理、数学发展与群论并无关系,直到19世纪末,群论方法与微分方程结合拓

宽了群论的应用,使有限群的理论发展到连续群.这通常与Sophus Lie(1893)的名字联系在一起。

1890年费德罗夫(Federov)和熊夫利(Schoenflies)用群论(空间群)解决了晶体分类问题。

1929年,斯莱特(Slater)用群论计算了复杂原子光谱的谱项能,开创了群论在物理

化学中的应用. 20世纪初,群论与拓扑学结合形成了拓扑群理论,成为近世代数的一 个重要分支。

1942年～1949年,拉卡(Racah)利用连续群理论发展了复杂光谱理论.从此群论在

量子化学中得到广泛应用。

直至20世纪80年代后,二次量子化的李代数方法、酉群方法、不可约张量方法等特殊的群论方法在化学中及其配位场理论中得到广泛发展.进而，时至今日群论方法的

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