二次函数培优习题精选[1].(2)

26、（2007海口）如图，已知抛物线y=ax+bx+c经过O（0，0），A（4，0），B（3，3）三点，连结AB，过

2

点B作BC∥x轴交抛物线于点C。 （1）求该抛物线的解析式；

（2）两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运行，其中，点P沿着线段OA向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向点C运动。设这两个动点运动的时间为t（秒）（0＜t＜4）。△PQA的面积记为S。 ①求S与t的函数关系式；

②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；

③是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时的P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由。 27、（2008威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F。 （1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值；

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出它的面积；若不能，请说明理由。

m2322

28、（发散94页）已知抛物线y=x+mx-m与抛物线y=x-mx+在同一坐标系中的位

242

置如图所示，其中一条与x轴交于点A和B。

（1）试判断哪条抛物线经过A，B两点，并说明理由； （2）若A，B两点到原点的距离OA，OB满足物线的解析式。

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112?＝，求经过A，B两点的这条抛OBOA3

29、（2008荆门）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH． D A (1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

A D (2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ F

30、（2009广州）如图13，二次函数y?x?px?q(p?0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为

2B F B E (1)

C G E C H (2)

第7题图

5。 4（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公

共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，

求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

31、（2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

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32、（导学练54页）已知Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点在y轴正半轴上。如图1 （1）求线段OA，OB的长和经过点A，B的抛物线的解析式；

（2）如图2,点D的坐标为（2，0）,点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0）,连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；

②连接CD，CP，如图3，△CDP是否有最大面积？若有，求出它的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。

H 33、（2009吉林）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用A D 红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE?MN．准备在形如红 Q Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△AEH的四个全等三角形E 黄 P 紫 内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表： M G N 品种 红色花草 黄色花草 紫色花草 B 60 80 120 价格（元/米2） C F

设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，（第33题） 解答下列问题：

（1）S与x之间的函数关系式为S? ；

（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元； （3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．

34、（2009江苏）如图，已知二次函数y?x?2x?1的图象的顶点为A．二次函数y?ax?bx的图象与x轴

y 2交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y?x?2x?1的图象的对称轴上．

y?x2?2x?1 2 （1）求点A与点C的坐标；

21 （2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y?ax?bx的关系式．

?1 O 1 2 3 x

?1

?2 A 第 8 页 共 16 页

22

35、（2009武汉）如图，抛物线y?ax?bx?4a经过A(?1，0)、C(0，4)两点，与

2x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m，m?1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点

C y 的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45°，求点A B x O P的坐标．

36、（2009德州）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电

G 脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且

始终保持和AB平行的伸缩横杆．

（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积； N M （2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于xC D 的函数；

（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，

A B E 请说明理由． （第22题图）

37、（2009宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=

4，点B的坐标为(7，4)． 3yCB(1)求点A、C的坐标；

(2)求经过点0、B、C的抛物线的解析式；

(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

O第24题图Ax第 9 页 共 16 页

38、（2009泸州） 如图12，已知二次函数y??B，与y轴相交于点C，且OC2?OA?OB．

12x?bx?c(c?0) 的图象与x轴的正半轴相交于点A、2 (1)求c的值；

(2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；

(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图

39、(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y?kx?3,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝310。

10(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

2y?ax?3ax?c(a?0)与y轴交于C点，40、（2009莆田）已知，如图抛物线

y1O1x与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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