2010年高考数学试题分类汇编--数列(计算题)(4)

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（I）证明：由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，a5?a4?4?12，

a6?a5?6?18。

从而

a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列。 a5a42（II）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*

所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??...?4?1 ?2k?k?1?,k?N*.

2由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k.

?n2?1n,n为奇数2??1?1??n?2?所以数列?an?的通项公式为an??2或写为an?，n?N*。 24?n,n为偶数??22（III）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k，

以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?

k2?2， 若m?1，则2n??ak?2kn若m?2，则

mm2k?m?1?2k?1??k24k2m?14k2?4k?1??????2?? ?aaa2k2kk?1??k?2kk?1k?1k?1k?12k2k?1nm?1?4k2?4k?1?1?11????2m?2?? ?2m???????? ?2kk?12kk?12kk?1????????k?1?k?1?m?1221? ?2m?2?m??1?1?31?1?n2??. ??2?m?2n

nk2313k2??，从而?2n???2,n?4,6,8,....所以2n??2n2k?2akk?2akn来源学§科§网Z§X§X§K]

（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。

?2m?1?k22mk2?2m?1?31???4m??? ??aaa22m2mm?1??k?2kk?2k2m?1n22?4m?n1131??2n??22?m?1?2n?1来源学科网Z.X.X.K]

nk2313k2???2,n?3,5,7,.... 所以2n??，从而?2n??a2n?12ak?2kk?2k综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有

（2010天津理数）（22）（本小题满分14分）

3?2n?Tn?2. 2*在数列?an?中，a1?0，且对任意k?N.a2k?1，a2k，a2k?1成等差数列，其公差为dk。

（Ⅰ）若dk=2k，证明a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列（k?N） （Ⅱ）若对任意k?N，a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列，其公比为qk。

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 （Ⅰ）证明：由题设，可得a所以a**?a?4k,k?N*。 2k?12k?12k?1?a1?(a?a)?(a?a)?...?(a3?a1)

2k?12k?12k?12k?3[来源:学科网]=4k?4(k?1)?...?4?1=2k(k+1) 由a1=0，得a

?2k(k?1),从而a?a?2k?2k2,a?2(k?1)2.

2k?12k2k?12k?2aaak?1a2k?2k?12k?12k?2于是?,?,所以?2k?1。 akakaa2k2k?12k?12k*所以dk?2k时，对任意k?N,a2k,a,a成等比数列。 2k?12k?2

（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a,a,a,a成等差数列，及a,a成等

2k?12k2k?12k2k?12k?2aa2k?1比数列，得2a?a?a,2??2k?1?1?qk

2k2k?12k?1aaq2k2kk?1当q1≠1时，可知qk≠1，k?N 从而

*1qk?1?2?11qk?1?1?1q?1k?1?1,即1qk?1?1q?1k?1?1(k?2)

??1??所以??是等差数列，公差为1。

q?1??k??（Ⅱ）证明：a1?0，a2?2，可得a3?4，从而q1?4?2,1=1.由（Ⅰ）有 2q?111qk?1?1?k?1?k,得qk?k?1,k?N*

k2aaa（）*所以2k?2?2k?1?k?1,从而2k?2?k?21,k?N

aakak2k?12k2k因此，

aaak2(k?1)22222k2k?2k?1?2k(k?1),k?N*4a2k?......a?.....2?2k.a?a.2k?12kkaaa2(k?1)2(k?2)2122k?22k?42以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n为偶数时，设n=2m(m?N)

*k2?2. 若m=1,则2n??ak?2kn若m≥2，则

mmk2(2k)2m?1(2k?1)24k2??????2+ ?a2k?1k?2akk?1a2kk?1k?12knm?1m?1?4k2?4k?4k2?4k?11?1?11???2m?????2m?2???????2k(k?1)?2?kk?1??k?12k(k?1)k?1?2k(k?1)k?1???m?1

1131?2m?2(m?1)?(1?)?2n??2m2n.

nk2313k2??,从而?2n???2,n?4,6,8... 所以2n??2n2k?2akk?2akn(2)当n为奇数时，设n=2m+1（m?N）

*k22mk2(2m?1)31(2m?1)2????4m??? ?aaa22m2m(m?1)k?2kk?2k2m?1n21131 ?4m???2n??22(m?1)2n?1nk2313k2??,从而?2n???2,n?3,5,7·所以2n??·· a2n?12ak?2kk?2knn3k2?2 综合（1）（2）可知，对任意n?2,n?N,有?2n??2k?2ak?证法二：（i）证明：由题设，可得dk?a2k?1?a2k?qka2k?a2k?a2k(qk?1),

dk?1?a2k?2?a2k?1?qk2a2k?qka2k?a2kqk(qk?1),所以dk?1?qkdk

qk?1?a2k?3a2k?2?dk?1ddq?1??1?2k?1?1?k?1?k a2k?2a2k?2qka2kqka2kqkq11?k??1，

qk?1?1qk?1qk?1qk?11?由q1?1可知qk?1,k?N*。可得

所以??1??是等差数列，公差为1。

?qk?1?（ii）证明：因为a1?0,a2?2,所以d1?a2?a1?2。

?1?a31?2，?1。于是，由（i）可知所以?所以a3?a2?d1?4，从而q1??是公

q?1a2q1?1?k?差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得

1k?1= 1??k?1??k，故qk?。 qk?1k从而

dk?1k?1?qk?。 dkk所以

dkdddkk?12?k.k?1........2?.......?k，由d1?2，可得 d1dk?1dk?2d1k?1k?21

dk?2k。

于是，由（i）可知a2k?1?2k?k?1?,a2k?2k,k?N*

2以下同证法一。

（2010全国卷1理数）（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?1 . an（Ⅰ）设c?51，求数列?bn?的通项公式； ,bn?2an?2（Ⅱ）求使不等式an?an?1?3成立的c的取值范围 .

（2010四川文数）（20）（本小题满分12分）

w_w w. k#s5_u.c o*m

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2010年高考数学试题分类汇编--数列(计算题)(4)在线全文阅读。