全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜

第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1.直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是( ) A.

ππ2π5π B. C. D. 6336

答案 D

解析 由直线的方程得直线的斜率k＝－＝5π. 6

2.[2018·沈阳模拟]直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )

A.ab>0，bc<0 C.ab<0，bc>0 答案 A

解析 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.

π

3.[2018·邯郸模拟]过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是

4( )

A.x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2 答案 A

3π3π

解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为.依题意，所求直线的倾斜角为44ππ

－＝，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2. 42

4.已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C?5，?在同一条直线上，则k的值为( )

?2?A.12 B．9 C．－12 D．9或12 答案 A

3－－

解析 由kAB＝kAC，得

4－2解得k＝12.故选A.

5.[2018·荆州模拟]两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )

－－2＝

5－2

B．ab>0，bc>0 D．ab<0，bc<0

33

，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α33

abcbabcb?

k?k，

xymnxynm 1

答案 B

解析 直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.

6.[2018·安徽模拟]直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是( ) A.

33 B.3 C．－3 D．－ 33

xymnnmxynmmn答案 A

sin30°3

解析 设直线l的斜率为k，则k＝－＝. cos150°37.直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．

?π??5π?答案 ?0，?∪?，π?

6??6??

π3

解析 设直线的倾斜角为θ，依题意知，θ≠，k＝－cosα，∵cosα∈[－1,1]，

23∴k∈?－

?

?33?33???0，π?∪?5π，π?

，即tanθ∈.又θ∈[0，π)，∴θ∈???，??－，?6????6?33?3??3

8.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，3??1??答案 ?－∞，－?∪?，＋∞? 22

y－1

的取值范围为________． x－2

????

解析

y－1

的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在x＋2y＝6x－2

31?5??3?的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A?1，?，B?3，?，由于kNA＝－，kNB＝，22?2??2?所以3??1y－1??的取值范围是?－∞，－?∪?，＋∞?.

2??2x－2??

9.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 5

答案 y＝－x或x－y＋8＝0

3

5

解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y＝－x；

3

(2)当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝

a－a

2

xy－8，即直线方程为x－y＋8＝0.

10.[2018·衡阳模拟]一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．

答案

3x－y－33＝0

13

13

x解析 解法一：∵直线y＝x的倾斜角为30°，

所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k＝tan60°＝3. 又该直线过点A(2，－3)，

故所求直线为y－(－3)＝3(x－2)， 即3x－y－33＝0. 解法二：设直线y＝

13

x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角θ＝2α.

2

2tanα

tanθ＝tan2α＝＝2

1－tanα

3

＝3. 1??2

1－???3?

[B级 知能提升]

所求直线为3x－y－33＝0.

1.[2018·海南模拟]直线(1－a)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )

2

?ππ?A.?，? ?42?

?π??3π?C.?0，?∪?，π?

2??4??

答案 C

2

2

2

?3π?B.?0，?

4??

?π??π3π?D.?0，?∪?，? 4??24??

2

解析 直线的斜率k＝－(1－a)＝a－1，∵a≥0，∴k＝a－1≥－1.由倾斜角和斜率的

?π??3π?关系(如图所示)，该直线倾斜角的取值范围为?0，?∪?，π?. 2??4??

2.已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝3，则直线AB的方程为( ) A.y＝3x＋3或y＝－3x－3

3

B.y＝

3333x＋或y＝－x－ 3333

C.y＝x＋1或y＝－x－1 D.y＝2x＋2或y＝－2x－2 答案 B 解析 由|AB|＝α＋

2

12

＋sinα＝2＋2cosα＝3，得cosα＝，所以sinα

2

32

3－23sinα－03sinα－03

＝±，所以直线AB的斜率kAB＝＝＝或kAB＝＝＝－，所

2cosα＋113cosα＋113

＋1＋122以直线AB的方程为y＝±选B.

3.[2018·宁夏调研]若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．

答案 16

解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故

－2－2

＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.

33333(x＋1)，即直线AB的方程为y＝x＋或y＝－x－.33333

xyabab根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4ab，从而ab≤0(舍去)或ab≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.

4.在△ABC中，已知A(1,1)，AC边上的高线所在直线方程为x－2y＝0，AB边上的高线所在直线方程为3x＋2y－3＝0.求BC边所在直线方程．

2

解 kAC＝－2，kAB＝.

3

∴AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，

23

AB：y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.

??2x＋y－3＝0，由?

?3x＋2y－3＝0，???2x－3y＋1＝0，由???x－2y＝0，

得C(3，－3)．

得B(－2，－1)．

∴BC：2x＋5y＋9＝0.

5.过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求： (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；

4

(3)求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程．

解 (1)解法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A?∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点， 2k－1??>0，∴?k??1－2k>0

?2k－1，0?，B(0,1－2k)．

?

?k?

?k<0.

1

于是S△AOB＝·|OA|·|OB|

2

12k－11?1?＝··(1－2k)＝?4－－4k?

k2k2??1?

≥?4＋22?

?－1??k???

－4k?＝4.

??

11

当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为yk21

－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

2

xy21

解法二：设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.

abab21又∵＋≥212111?ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝abab2ab222

ab有最小值为4.

此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0.

42(2)解法一：∵A?

xy?2k－1，0?，B(0,1－2k)(k<0)，

?

?k?

k－2k2k－11

∴截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥3＋2k?－1?＝3＋22.

?k???

12

当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立．

k2故截距之和最小值为3＋22，此时l的方程为y－1＝－＝0.

21

解法二：∵＋＝1，

2

(x－2)，即2x＋2y－2－222

ab2ba?21?∴截距之和a＋b＝(a＋b)?＋?＝3＋＋≥3＋2

?ab?

ab2ba·＝3＋22.

ab2ba此时＝，求得b＝2＋1，a＝2＋2.

ab此时，直线l的方程为＋＝1，

2＋22＋1

xy 5

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