2009-2010学年第一学期《高等数学1》考试试卷及答案(2)

从而有

? 4dxx(1?x) 1??222tdtt(1?t) 1?2?22?11?2??? 1t(1?t) 1t1??2dt??dt t?43 2?lnt?ln(1?t)?1?2?2ln2?ln3??2ln4.【解】 由y?2。

2xx?12得知该函数的定义域为(??,?)，且

2(1?x)(x?1)2222y??2(x?1)?2x?2x(x?1)222??2(1?x)(1?x)(x?1)222，

y???2?(?2x)(x?1)?(1?x)?2(x?1)?2x(x?1)242?4x(x?3)(x?1)232，

令y??2(1?x)(1?x)(x?1)22?0，得x1??1，x2?1。

对于点x1??1，由于y??(?1)?2xx?12x??14x(x?3)(x?1)??1。

23x??12?1?0，所以函数在x1??1处取得极

小值，极小值为y(?1)?对于点x2?1，由于y??(1)?2xx?12x?14x(x?3)(x?1)23x?12??1?0，所以函数在x2?1处取得极大

值，极大值为y(1)??1。

令y???4x(x?3)(x?1)232?0，得x3??3，x4?0，x5?3。

当???x??3时，y???0，此时函数是凸的； 当?3?x?0时，y???0，此时函数是凹的；

3时，y???0，此时函数是凸的；

当0?x?当3?x??时，y???0，此时函数是凹的；

?3时，函数取得拐点，拐点分别是????3??，3,?2??综合上述，在x3??3，x4?0，x5?(0,0)，?3,???3??。 2??3?x?y?5.【解】 解方程组?，在x?0范围内得x1?0，x2?2。 4?y?3x?x2?在区间0?x?2上，为

x34?3x?x，所以两曲线所围成的平面图形在第一象限部分的面积

23?x?14??32132dx?x?x?x? S???(3x?x)??? 04?316?2??22?073?213。

四、试解下列各题

1.【解】 设w?xx，则lnw?xlnx，两边对x求导得，

从而

于是

dydx?ddxdwdx?w(lnx?1)?x(lnx?1)，

x1w?dwdx?lnx?x?1x?lnx?1，

?xx?ax?x?aaa??x(lnx?1)?alna?axxxa?1。

2.【解】 直线AB的方程为

y?3?即

2x?y?1?0。

3?(?5)?1?3(x?1)，

线段AB的长度为

(?1?3)2?(3?(?5))2?45， 点P(x,y)到直线AB的距离为

2x?y?11?222 d?所以三角形ABP的面积为 S?S(x)?于是

12??x?2x?352 （?1?x?3），

?45??x?2x?3522， ?2(?x?2x?3) （?1?x?3）

S?(x)??4x?4，S??(x)??4?0。

令S?(x)??4x?4，得x?1。所以当?1?x?3时，S(x)在x?1取得唯一的极大值，也就是最大值。当x?1时，y?3，故所求点为P(1,3)。

另解：可用积分方法求得三角形ABP的面积S(x)，然后再分析求解。 五、证明题（本题8分）

设x?0，证明：e2x(1?x)?1?x。

【证明】 设f(x)?e2x(1?x)?(1?x) ，（其中x?0）， 则

2x2x2x f?(x)?2e(1?x)?e(?1)?1?e(1?2x)?1，

2x f??(x)??4xe。

当x?0时，f??(x)?0，因此f?(x)在(0,??)内单调递减，所以在(0,??)内，有

2x f?(x)?f?(0)??e(1?2x)?1?x?0?0，

从而f(x)在(0,??)内单调递减，于是 f(x)?f(0)??e即

e2x2x(1?x)?(1?x)?x?0?0，

(1?x)?(1?x)?0 （其中x?0），

亦即

e2x(1?x)?1?x （其中x?0）。

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