2009-2010学年第一学期《高等数学1》考试试卷及答案

2009-2010学年第一学期《高等数学1》考试试卷

一、选择题（每小题4分，共24分。在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分）

1．当x?x0时，?(x)、?(x)都是无穷小，则当x?x0时（ ）不一定是无穷小.

(A) ?(x)??(x)，

1(B) ?2(x)??2(x) ， (D)

(C) ln?1??(x)??(x)?，

?(x)?(x)2。

?sinx?x?a2. 设a不是?的整数倍，极限lim?的值是（ ）. ?x?asina??（A） 1， （B）e，

（C）ecota， （D）etana。

?sinx?e2ax?1?, x?03. 函数f(x)??在x?0处连续，则a?（ ）. x?? a, x?0（A）1， （B） 0， （C）e （D）?1。

f(a?h)?f(a?2h)h13?（ ）.

h?04. 设函数f(x)在点x?a处可导，那么极限lim（A） 3f?(a)， (C) f?(a)， 5．函数f(x)?（A）

11?x

（B）2f?(a)， （D）

f?(a) 。

的n阶麦克劳林公式的拉格朗日型余项Rn(x)?（ ）。

xn?11(n?1)(1?? x)1(1?? x)n?2n?1，

（B）

（D）

(?1)nnn?1(n?1)(1?? x)(?1)(1?? x)n?2xn?1，

(C) xn?1， xn?1 。

（以上各式中0???1）。

6. 设函数f(x)在点x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0，lim（ ）。

（A） 是f(x)的极大值点， (C) 不是f(x)的驻点， 二、填空题（每小题4分，共24分） 1. 函数y?2. 极限lim3.

由

1(x?1)(x?2)xxyf(x)1?cosxx?0?2，则点x?0 （B）是f(x)的极小值点，

（D）是f(x)的驻点但不是极值点 。

的值域是 。 （a?0）的值是 。

确

定

函

数

y?y(x)ln(x?a)?lnax?0e?ylnx?cos2x1，则导函数

y?? . 4. 曲线y?xex的铅直渐近线是 。 5. 函数y?x?lnx的单调递增区间为 。

2?x?acos3t 6. 曲线?，（0?t?2?）的弧微分为 。 3y?asint?三、试解下列各题（每小题6分，共30分） 1. 计算极限limx?12x?162x?9x?12x?4323。

x?22. 求不定积分?(1?xlnx)dx。 3. 求定积分? 4dxx(1?2xx?12 1。 x)4. 求函数y?的极值与拐点。

5. 求由曲线y?x34与y?3x?x2所围成的平面图形在第一象限部分的面积。

四、试解下列各题（每小题7分，共14分） 1. 设a?1，函数y?xx?ax?xa?aa，求

dydx。

2. 设抛物线y?4?x2上有两点A(?1,3)，B(3,?5)，在弧AB上求一点P(x,y)使三角形

ABP的面积最大。

五、证明题（本题8分）

设x?0，证明：e2x(1?x)?1?x。

2009-2010学年第一学期《高等数学1》

考试参考答案与评分标准

一、选择题

1．【解】 应选D。

2.【解】 应选C。事实上

11sinx?sina?x?a?sinx?x?a?lim??lim1????x?asinax?asina????sinx?sina

sinax?sina?sinx?sina?sin???lim?1??x?a?sina???sina ?e ?ecota。 3.【解】 应选D。事实上

cosa?1????x?a?1sina

x要使函数f(x)在x?0处连续，必需且只需limf(x)?f(0)，即1?2a?a，解得a??1。

x?0x?0x?0x?0由于limf(x)?limsinx?e2ax?1?limcosx?2a?e?2ax??1?2a，而f(0)?a，

4.【解】 应选A。事实上，当函数f(x)在点x?a处可导时，有 limf(a?h)?f(a?2h)hh?0?f(a?h)?f(a)?f(a)?f(a?2h)? ?lim??h?0h??f(a)?f(a?2h)??f(a?h)?f(a) ?lim???h?0hh???f(a?h)?f(a)??f(a)?f(a?2h)? ?lim??lim?h?0??h?0hh?????f(a?h)?f(a)??f(a?2h)?f(a)? ?lim??2lim???h?0h?0h?2h?????f?(a)?2f?(a)

?3f?(a)

5．【解】 应选C。事实上，函数f(x)? f所以函数f(x)?11?x(n?1)11?xn?2的（n?1）阶为 ，

(x)?(n?1)!(1?x)n阶麦克劳林公式的拉格朗日型余项Rn(x)为

(n?1)! Rn(x)?f(n?1)(?x)(n?1)!xn?1?(1??x)n?2(n?1)!xn?1?1(1??x)n?2xn?1，

（其中0???1）。

6. 设函数f(x)在点x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0，limf(x)1?cosxx?0?2，则点

x?0（ ）。

（A） 是f(x)的极大值点，

(C) 不是f(x)的驻点，

（B）是f(x)的极小值点，

（D）是f(x)的驻点但不是极值点 。

f(x)1?cosxx?0【解】 应选B。事实上，由f(0)?0及limlimf(x)?f(0)x?f(x)??limf(x)x?2可得

x?0x?01?cosx?1?cosx??f(x)?f(x)?lim???lim??x?0?1?cosx?x?01?cosxxx???? ?lim， ?lim??2?0?0x?0?1?cosx?x?0?x????所以f(x)在点x?0处可导，从而连续。

又由limf(x)1?cosxx?0?1?cosx??2和极限的保号性，对于正数??1，存在正数??0，使得当

0?x??时，有

f(x)1?cosx?2???1，

从而

于是有

f(x)?1?cosx， （当0?x??时）

f(x)1?cosx?2?1?1

又f(0)?0，结合上式有

f(x)?1?cosx， （当x??时）

这样说明x?0是f(x)的极小值点。 二、填空题

1.【解】 应填写y?0或y??y?1(x?1)(x?2)4994，用区间表示可写为(??,?)?(0,??)。事实上

的反函数为

3y?9y?4y2y22 x?它的定义域为

，

9y?4y?0， 即y?0或y??49。

1a2.【解】 应填写。

?exy?y?exyy3.【解】 应填写?程exyx?x?lnx?2sin2x或??exy?xy?y?2xsin2xx(exy?x?lnx)。事实上方

?ylnx?cos2x两边对x求导，可得

xy e(y?x?y?)?y?lnx?yx??2sin2x

于是有

?exy?y?exyy y???x?x?lnx?2sin2x???exy?xy?y?2xsin2xx(exy?x?lnx)。

4.【解】 应填写x?0。事实上除了点x?0以外，在其它点处定义存在且都连续。而在x?0处

?limf(x)?lim?xex?0x?0??1x2????， ??所以x?0是它的铅直渐近线。

5.【解】 应填写[1,??)。事实上函数的定义域为x?0，在定义域内有

y??1?令y??1?1x1x，

?0，可得x?1，所以函数y?x?lnx的单调递增区间为[1,??)。

6.【解】 应填写3acostsintdt。事实上由参数方程可得

dxdt??3acostsint，

2dydt?3asin2tcost，

于是弧微分ds为 ds??dx??dy??????dt?dtdt????22??3acos2tsint?2?3asin?2tcost?2dt

?3acostsintdt

若填写3acostsintdt也可以。

三、试解下列各题

1.【解】 根据洛比达法则，有

limx?12x?162x?9x?12x?4323x?2?lim3x?126x?18x?1222x?2?lim6x12x?18x?2?limx2x?3x?2?2。

2.【解】 ?(1?xlnx)dx??1?dx? ?x?x?xlnxdx2 x22x2lnx??2x?1xdx

?x?2x2lnx??2dx

x2 ?x?（其中C为任意常数）。 3. 【解】 令t?2lnx?4?C，

x，则x?t2，dx?2tdt。当x?1时，t?1；而当x?4时，t?2。

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