南昌市2013届高三第二次模拟测试理科数学试题(2)

则a2,3?qa1,3?q(1?2d)?q(1?2d)?6， ??2分

22 a3,2?q，8 ??4分 a1,?(1?d)?2q(1?d)?2q解得：d?1,q?2，所以：a1,2?2?an,2?2?2n?1?2n；?? ????6分

n?(?1)nn， n2123nSn?(?2?3???n)?(?1?2?3???(?1)nn)，???8分

2222123n1123n记Tn??2?3???n，则Tn?2?3?3???n?1，

222222222n?211111nn?2两式相减得:Tn??2?3???n?n?1?1?n?1,所以Tn?2?n,??10分

22222222nn?2n?1n?2?2?n。??12分 所以n为偶数时，Sn??2?n，n为奇数时，Sn??2222（2）bn?19、如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，

?ABE?60?,?BAD??CDA?90?,点H,G分别是线段EF,BC的中点.

B. 求证：平面AHC?平面BCE;

C. 点M在直线EF上，且EF//平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值。

【解析】：（1）证明：在菱形ABEF中，因为?ABE?60?，所以△AEF是等边三角形， 又H是线段EF的中点，所以AH?EF?AH?AB，

因为平面ABEF?平面ABCD，所以AH?平面ABCD，所以AH?BC；??2分

在直角梯形ABCD中，AB?2AD?2CD?4，?BAD??CDA?90?，得到：AC?BC?22，从而AC?BC?AB，所以AC?CB，????????4分

所以CB?平面AHC，又BCü平面BCE，所以平面AHC?平面BCE；???6分 （2）由（1）AH?平面ABCD，如图，分别 以AD,AB,AH所在直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(0,4,0),C(2,2,0),D(2,0,0)，

222

E(0,2,3),F(0,?2,3),H(0,0,3),G(1,3,0)???7分

?????????????设点M的坐标是(0,m,3)，则GM,AF,AD共面， 所以存在实数?,?使得： ?????????????GM??AD??AF?(?1,m?3,3)?(2?,0,0)?(0,?2?,3?)，

得到:2???1,m?3??2?,3?3??m?1.即点M的坐标是:(0,1,3), ???8分

????由（1）知道：平面AHC的法向量是BC?(2,?2,0)，

?设平面ACM的法向量是n?(x,y,z)，

???????(x,y,z)?(2,2,0)?0?x??y?n?AC?0??????则：??????，?????????9分 ??n?AM?0??(x,y,z)?(0,1,3)?0??y??3z??令z?3，则y??3,x?3，即n?(3,?3,3)，

?????所以cos?n,BC??1242，??????????????????11分 ?722?2142即平面ACH与平面ACM所成角的余弦值是。?????????????12分

73x2y220. 已知椭圆C：2?2?1的离心率等于，点P2,3在椭圆上。⑴求椭圆C的方程；

ab2?? ⑵设椭圆C的左右顶点分别为A,B，过点Q(2,0)的动直线l与椭圆C相交于M,N两点，是否存在定直线l：

'x?t，使得l'与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由。

3c23【解析】：（1）由e??2??a2?4b2，???????????????2分

2a4432又点P(2,3)在椭圆上，2?2?1?b?4， ??????????????4分

4bbx2y2??1；???????????????????????5分 所以椭圆方程是：

164yx?4?（2）当l垂直x轴时，M(2,3),N(2,?3)，则AN的方程是：，

6?3yx?4BM的方程是：?，交点G的坐标是：(8,?23)，猜测:存在常数t?8,

?23即直线l'的方程是:x?8使得l'与AN的交点G总在直线BM上, ????????6分

证明：设l的方程是y?k(x?2)，点M(x1,y1),N(x2,y2)，G(8,yG) 将l的方程代入椭圆C的方程得到：x2?4k2(x?2)2?16，

即：(1?4k2)x2?16k2x?16k2?16?0，??????????????????7分

16k216k2?16,x1x2?从而：x1?x2?，?????????????????8分 221?4k1?4k????????因为：AG?(12,yG)，AN?(x2?4,y2)A,N,G共线

12y2所以：12y2?(x2?4)yG，yG?，??????????????????9分

x2?4?????????又BG?(4,yG)，BM?(x1?4,y1)

12y2要证明B,M,G共线，即要证明4y1?(x1?4)，????????????10分

x2?4即证明：k(x1?2)(x2?4)?3k(x2?2)(x1?4)，

即：x1x2?2x2?4x1?8?3x1x2?6x1?12x2?24， 即：x1x2?5(x1?x2)?16?0

16k2?1680k2??16?0成立，???????12分 因为：x1x2?5(x1?x2)?16?221?4k1?4k所以点G在直线BM上。

综上:存在定直线l':x?8,使得l'与AN的交点G总在直线BM上,t的值是8。??13分

2已知函数g(x)?2aln(x?1)?x?2x当a?0时，讨论函数g(x)的单调性：

（1）若函数f(x)的图像上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为P(x0,y0)，使得f(x)在点，切线l叫做函数f(x)Q(x0,f(x0))处的切线l与直线AB平行或重合，则说函数f(x)是“中值平衡函数”

的“中值平衡切线”。试判断函数g(x)是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数g(x)的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由。

2a2(x2?1?a)?2x?2?【解析】：（1）g'(x)???????????????1分 x?1x?1当1?a?0即a?1时，g'(x)?0，函数g(x)在定义域(?1,??)上是增函数；??2分

?g'(x)?0当0?1?a?1即0?a?1时,由?得到?1?x??1?a或x?1?a，??4分

?x?1?0所以：当a?0时，函数g(x)的递增区间是(?1,?1?a和)(1?a,??)，递减区间是

(?1?a,1?a)；????????????????????????????5分

?g'(x)?0当1?a?1即a?0时，由?得到：x?1?a，

x?1?0?所以:当a?0时,函数g(x)的递增区间是(1?a,??),递减区间是(?1,1?a)；??7分 （2）若函数g(x)是“中值平衡函数”，则存在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))（?1?x1?x2）使得

2a?x1?x2?2?x1?x21?21?x12a(x1?x2)即aln，（*）?????????????????????4分 ?1?x21?x1?1?x2当a?0时，（*）对任意的?1?x1?x2都成立，所以函数g(x)是“中值平衡函数”，且函数g(x)的“中

g'(x0)?值平衡切线”有无数条； ???????????????????8分 当a?0时，设

f(x1)?f(x2)即

x1?x22aln1?x11?x2?x1?x2?2，

x1?x22(t?1)1?x1?t，则方程lnt?在区间(0,1)上有解，??????10分

t?11?x22(t?1)14(t?1)2记函数h(t)?lnt?，则h'(t)????0，???????12分 22t?1t(t?1)t(t?1)2(t?1)所以当0?t?1时，h(t)?h(1)?0，即方程lnt?在区间(0,1)上无解，

t?1即函数g(x)不是“中值平衡函数”.?????????????????????14分

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