高等数学三

高等数学模拟卷3

一 求下列极限

1 lim1n??ntgn

解：不存在 2 求limx?ax?ax?a

?x?a答 ：=limx?alim＝1x?ax?a＝???x?a＋x?a

?a?x??xlim?a－x?a??113 求lime2xx?0

?112x答：=lime2x???lime??x?0?x?0? ?1??limx?0?e2x?04limsinmxmxx?0sinnx?limx?0nx?mn

二已知f(x)???xx?0?x2x?0，讨论f（x）在x?0处的导数 解：limf?0??x??f?0??x?0＋?x??lim?xx?0＋?x?1f?0??x??f?0??x2?limx?0-?x??limx?0-?x?0 ?f(x)在x?0不可导三 计算下列各题

1、已知y?tan3(lnx)求y,

解：y??3tan2(lnx).sec2?lnx?.1x

2、已知y?f(x2)，求y,

解： y?＝f?(x2).2x

四 、 证明?a3f(x2)dx?1a20x2?0xf(x)dx，(a?0)，其中f(x)在讨论的

区间连续。 证明：

对于

?a30xf(x2)dx

令x2?t，则2xdxd?dt

且x?a时t?a2，x?0时t?0

左边??x3f(x2)dx0a

1a??tf(t)dt201a2??xf(x)dx202= 右边 证毕。

五、 计算反常积分

dx???1?x2;

??解

dx??????原式????arctanx??????????;??1+x22?2???

六 、 求(1?y2)dx?(arctany?x)dy的通解 解：方程化为

dx11?x?arctany 22dy1?y1?y此方程为倒线性微分方程

x?e??1?y2dy1?1?y2dy1(?arctanyedy?c) 21?y1arctanyarctanyedy?c) 21?y1?e?arctany(??e?arctany(?arctanydearctany?c)

?e?arctany(arctanyearctany?earctany?c)

所以方程通解为x?ce?arctany?arctany?1

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