第二章 随机变量及其分布答案(5)

理解整合

1.B 解析:x=1是图像的对称轴，x<1时为增函数，x>1时为减函数，有图象特征可知B.

2.C 解析：由正态曲线对称性可知此正态总体关于x=0对称.

3.B 解析：对照正态密度函数

12???(x??)2?2212.解：由正态曲线的密度函数是偶函数知?=0，

由最大值为

212?知?=2，所以

P(?2?x?2)?P(????x????)

?0.6826

P(?4?x?4)?P(??2??x???2?)

?0.9544

f(x)?e易知B正确

所以

P(?4?x??2)?12(0.9544?0.6826)

4.D 解析：产品检验依据，有时也称3?原则. 5.D 解析：由题意知?=3，?=1，所以

P(0

P(ξ>2)+ P(0<ξ<2)+ P(-2<ξ<0)+ P(ξ<-2)=1， 又P(ξ>2)= P(ξ<-2), P(0<ξ<2)= P(-2<ξ<0), 所以P(ξ>2)=

1212(0.9974?0.9544)?0.0215

?0.2718

13. 解：由题意

P(X≥200)<1-P(157

=1-0.9974 =0.0026<0.01

所以公共汽车门的高度设计为2米，该地成年

男子与车门顶部碰头的概率在1％以下. 14.解：还有7分钟时，

若选第一条线，X服从N(5,1)，能及时到达的概率

P1=P(X≤7)=P(X≤5)+ P(5

= +1P(??2??X???2?)

22[1-2P(-2<ξ<0)]=0.1

7.众多的；互不相干的；不分主次的

8.②③ 解析：①不对，因为密度曲线中面积代表概率，而不是纵坐标；④不对，因为正态曲线关于x=?对称；⑤不对，与之相反?一定时，?越大，总体分布越分散，?越小，总体分布越集中. 9.解析：设X表示此镇农民的收入，

由P(500-20

故P(500

=1P(500-20

21若选第二条线，X服从N(6,0.16)，能及时到达的概率

P2=P(X≤7)=P(X≤6)+ P(6

= +

2112P(??2.5??X???2.5?)

所以P1〈P2，选第二条路.

同理，还有6.5分钟时，选第一条路.

即此镇农民收入在[500，520]间人数约为34.13％. 10.解析：欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是否在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外.

由于圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N（4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7?(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，认为该厂这批产品是不合格的. 拓展创新 11.

2323综合探究

15. ③ 解析：依据3?原则，阻值应在（985，1015）内，982?（985，1015），所以乙箱电阻不合格. 16.解析：由正态曲线特征可知，η=ξ-3的密度曲线是ξ的密度曲线向左移一个单位，所以也服从正态分布，且Eη=Eξ-3=2,ση=σξ,所以服从N(2,8)

17.解析：由正态分布密度曲线的对称性可计算如

下（也可借助图形理解）：

（1）?(?1.44)?P(X??1.44)?P(X?1.44)

?1?P(X?1.44)?1??(1.44)

；

23 解析：由

3212?1?a?a(2?1)?1解得

23 ?1?0.9251

?0.0749

（2）<法一>

P(|X|?1.44)?P(?1.44???1.44)

??(1.44)??(?1.44)

a?，P(x?)即为图中阴影部分的面积.

用心 爱心 专心

?0.9251?0.0749

?0.8502

<法二>P(|X|?1.44)?P(?1.44???1.44)

??(1.44)??(?1.44) ?2?(1.44)?1

依题意知X~B?10000，?．

??1?4?（Ⅰ）EX?10000?14?2500．

?2?0.9251?1

?0.8502

（Ⅱ）依题意所求概率为：

2

18.解：（1）由题意知X～N(0,1.5),

即??0,??1.5

11.52??x2X??P??0.03??4?1?0.03?，

10000??

所以密度函数?(x)?e4.5（2）设Y表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为

P(|X|≤1.5)=P(-1.5

即Y≥5×0.8=4 所以

P(Y≥4)=P(Y=4)+P(Y=5)

X??P??0.03??4?1?0.03?10000???P(2425?X?2575)

2574??t?24262574C10000?0.25?0.75tt10000?t

?4=C5?0.68264?(1?0.6826)?0.68265

?t?24262425C10000?0.25?0.75tt10000?t=0.4927

高考模拟

19. ①②③ 解析：正态分布主要要求同学们理解正态曲线的意义，在降低本部分课程要求后，高考题中不曾出现.如果考察应该是选择填空. 20．解：每个点落入M中的概率均为p?

??C10000?0.25?0.75t?0tt10000?1

?0.9570?0.0423?0.9147．

14．

第二章 随机变量及其分布单元检测答案

一．选择题：

1. C 解析：此公式只适用于服从二项分布的随机

变量.

2.A 解析：由概率和为1可求

n=21，P(1.5

521P（ξ=k）=C10·0.9910-k·0.01k

6.C 解析：ξ=4表示前3次取得一个正品，两个次品，第4次是正品,前3次中次品数服从超几何

分布.所以P(ξ=4)=

C2C8C10321k?1?115

3.B 解析：根据独立事件同时发生的概率可知甲乙均未击中的概率为（1-0.3）×（1-0.5）=0.35，所以敌机被击中的概率为1-0.35=0.65.也可用分类方法.

4.D 解析：由分布列性质得m=1-0.5-0.2=0.3,所以E?=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4 5.A. 解析：ξ服从B(10，0.01)，所以

Eξ=10×0.01=0.1,Dξ=10×0.01×0.99=0.099

7.C 解析：ξ=0，1，2，3，此时P（ξ=0）=0.43， P（ξ=1）=0.6×0.42，P（ξ=2）=0.6×0.4， P（ξ=3）=0.6，Eξ=2.376.

8. A 解析：设可用块数为X,则X～B(5,0.9), 所以P(X?3)?P(X?4)

?C50.9?0.1?C50.9?0.1

33244≈0.073++0.328=0.401

用心 爱心 专心

9.B 解析：由正态曲线对称性可知此正态总体关于x=-1对称,所以

P(-3≤X≤1)=2 P(-3≤X≤-1)=0.8

10.B 解析：ξ=12表示共取了12次球，即第12次是红球出现了第10次，说明前11次独立重复实验中出现9次红球1次白球，同时第12次取得红球，故选B.

11.C 解析：由题意ξ服从B(10,0.02),因此 Dξ=10×0.02×（1-0.02）0.196

12. A 解析：E?=Eη=50, D?

713. 12 解析：本题目是关于条件概率的考察.

5P(AC)P(C)=

100200?5100?100200?0.25100?21800

???6分

(2)P(A|C)=?20200 ???12分 ?2121800注意：“女人中有0.25％患色盲” 表达的是条件概率.

18. 解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.

???1分每个

球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44.

空盒子的个数为0时，此时投球方法数为A4=4!，∴P（ξ=0）=

4!444设前3次均为正品为事件A，第4次也是正品为事件B，则P(B|A)?n(AB)n(A)?A10A10?1234=

664=

332；

?712空盒子的个数为1时，此时投球方法数为

.

2C14C4A3，∴P（ξ=1）=

2336642=

9162.

22214. 3;

133512?

同理可得P（ξ=2）=

C4C4?C4C4A44=

2164，

15. 解析: 4只球中黑球个数可能为0，1，2，

P（ξ=3）=

∴ξ的分布列为

ξ 0 332C4441=

164. ???10分

3，相应得分依次为4，6，8，10. P(??7)?P(??4)?P(??6)

?C4C744311 9162 21643 164?C4C3C74?135?1235?1335

P 黑球个数服从超几何分布，得分是与之相关的一个随机变量.

16. 80；5.7 解析：答对题数ξ服从B(50,0.8)， 所以成绩η的期望为

Eη=E（2ξ）=2Eξ=2×50×0.8=80（分）； 成绩的标准差为 ση =

D?=

D(2?)=

4D?

???12分

注意：求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.

19. 解：（1）三辆汽车至少有一个发生事故的概率

为 1-（1-0.1）(1-0.2)(1-0.4)=0.568 所以获赔概率为0.568

???3分

=250?0.8?0.2=4三、解答题

2

（2）获赔金额?的可能取值为0，9000，18000，

27000， ???4分 其概率为P(??0)=0.9×0.8×0.6=0.432 P(??9000)

=0.1×0.8×0.6+0.9×0.2×0.6+0.9×0.8×0.4 =0.444 P(??18000)=0.1×0.2×0.6+0.9×0.2×

17. 解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C. ???1分 （1） 此人患色盲的概率

P=P(AC)+P(BC)

=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)

用心 爱心 专心

0.4+0.1×0.8×0.4=0.116 P(??27000)=0.1×0.2×0.4=0.008

???10分

所以获赔金额?的分别列为

? 所以，期望

Eε=4×0.3+1×0.5+(-2) ×0.2=1.3(万元)

???11分

又1.3万元>0.8万元 故

购

买

股

票

的

投

资

效

益

较

大. ???12分 22. 解：(1)由题意，质点A向上下左右四个方向中的一个移动，由

14?1416?13?p?1，

0 9000 18000 27000 0.116 0.008 P

0.432 0.444 ???11分

期望

E?=9000×0.444+18000×0.116+27000×0.008

=4026.276(元) ???12分

注意：分类思想.

20. 解：由题意知?所有可能的取值为1，2，3，4，

则P(?=1)= P(?=2)=P(?58解得p? ???2分

14同理由4q=1，解得 q? ???4分

(2) 最少需要几3秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点.A若3秒钟到达D（1，2）点需要向右移动一个单位，向上移动两个单位，其概率为

?

9

3?611212C3()?? ???7分

34128?8323?2?721?=3)=

8?8?82563?2?1?88?8?8?8?3256B若3秒钟到达D（1，2）点需向左移动一个单位，

3向上移动一个单位，向下移动一个单位有A3?6P(?=4)=

种可能；或向左两个单位，向右一个单位，有

C3?3种可能，所以其概率为

139(6?3)?()?4642 ???10分 所以?的概率分布列为

???11

? P ??12分

.

1 58 2 932 3 214 3 ?

分

9?3?21256?4?3256?379256256 256 ?E??1?58?2?32所以A、B能同时到达D（1，2）点的概率为

112?964?3256 ???12分 21. 解：存入银行收益为

10×0.08=0.8(万元) ???3分 设购买股票的收益为ε，则ε的分布列为

ε P 40000 0.3 10000 0.5 -20000 0.2 ???14分

注意：第一问虽然没有明确分布列，实质就是利用了分布列的性质.第二问考察了独立事件同时发生的概率，A、B各自概率的计算是借鉴了独立重复实验的分析方法,可尝试体会.

???10分

用心 爱心 专心

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