第二章 随机变量及其分布答案

第二章 随机变量及其分布 211离散性随机变量

A卷（课堂针对训练一）

离散型随机变量

双基再现

1． 实数；定义域；值域 解析：随机变量可以看

作是函数概念的推广.

2． A 解析：2支竹签上的数字是1~10中的两个，

若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个. 3． Ｃ 解析：②是常数.

4． C 解析：A项是随机变量，但不能一一列出，

不是离散型.B项掷硬币不是正面就是反面，次数之和为十，是常量.D项事件发生的可能性不是随机变量.所以选C.

5． D 解析：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，

4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤X≤5，也就是说“X>4”就是“X=5”所以，“X>4”表

表示，从而建立随机变量，反映了随机变量的本质. 8．解：可取２～１０之间的所有整数，共有９个；｛Ｙ＝４｝表示“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号”.所以P(Y?4)?35?5?325

名师点金：本题变式与原题比较，在抽取方式上发生了变化，问题转换为放回抽取.相应的比较了不同模型的随机变量，并且进一步体会事件表达方式的简化，同时回顾了概率计算，为下面学习作准备.

实践演练

9．解：定义：X=??1,水位〉8.5?0,水位?8.5.本题体现人文关

怀，根据需要恰当的定义随机变量，表达我们所关心的随机现象，是随机变量的本质意义.与水位取值比较，随机变量X的构造更简单，是一个离散型变量，只有两个取值，可集中力量在我们关心的问题上.

10．解：（１）依题意得η=2(ξ-4)+10，

即η=2ξ+2.随机变量ξ是关于试验结果的函数， 即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a、b是常数)也是随机变量.

（２）由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟.停车累计时间不足五分钟，按五分钟计.所以，停车累计时间也是随机变量，可能取１０～１５之间的任一值.

示第一枚为6点，第二枚为1点. 6． C 解析：因为

P(??4)?P(??1)?P(??2)?P(??3)

?3P(??1)?0.3， 所以 P(??1)?0.1，而

P(??1)?P(??2)???P(??n)?nP(??1)?1所以n=10.

变式活学

7解：可能结果有四种：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.将正面向上与１对应，反面向上与０对应，则可将结果用二元数组表示为：（１，１）、（１，０）、（０，１）、（０，０）.同样掷三次可用三元数组表示，有８种.（也可用其他数字） 名师点金：本题与原题比较，将结果的表示扩展到多元数组，虽然结果不具有数量性质，但可用数量

A卷（课堂针对训练二）

离散型随机变量的分布列

双基再现

１．D 解析: 了解离散型随机变量的分布列性质 ２．C 解析：A、D不满足分布列的基本性质②概率和为1，B不满足分布列的基本性质①各取值概率非负. ３．A 解析：

P(2?X?4)?P(X?3)?P(X?4)?123?124?316 注意分布列的解析式表达

４．C 解析：设成功率为p,则失败率为1-p，由题意p=2(1-p),解得p=

23，而Y=0意味着试验一

用心 爱心 专心

13次失败，所以为失败概率

23.

112实践演练

９．解：由于η1=2ξ－1对于不同的ξ有不同的，

取值y=2x－1，即

５． 解析：由题意可知取每个值的概率为

y1＝2x1－1=－5，y2＝2x2－l＝－3， y3=2x3－1=－1，y4=2x3－1=1，y5=2x5－1=5，故

η1的分布列如表．

η1 而事件{??8}包含了8个不同取值，所以概率为

812?23.

12－5 －3 210－1 3101 35 1６．解：（1）P(ξ<1)=P(ξ=0)=，

56P 110P(ξ≤1)=P(ξ=0)＋P(ξ=1)=

(2）

，

10 10 2η2=ξ对于ξ的不同的取值－1与1．取相同的值，

故分布列如下：

η2 0 3 101 5 104 1 109 110 ?0?1??F(x)=P(ξ≤x)=?2?5?6?1?x?00≤x?1

P 注意：在得到的随机变量的分布列中，取值行中应无重复数；概率行中各项必须非负，且各项之和为1． １０．解:

ξ的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，

1≤x?2x≥2变式活学

７．解析：1=c·(

故c=

4311?2?12?3?13?4)=

34c,

P(??k)?Ck?1?C10?k4C1012，k?2,3,4?,8,

所以分布列为：

52 所以P(

12<ξ<)=p(1)+p(2)=+

2329=

89

ξ 2 ? k ? 8 名师点金：本变式题与原题比较，以解析式的形式给出分布列，综合考察了分布列特征，使问题转变为先利用分布列性质求解待定系数，在由分布列给出概率结果.

８．解析：设随机变量ξ的分布列为

ξ P

则由分布列的基本性质可知：

?(a?d)?a?(a?d)?111?0?a?d?1，解得??d? ?33?0?a?d?1?P C1C84C1012 ? Ck?1C10?k4C1012 ? C7C24C1012

x3 a+d

x1 a-d x2 a 名师点金：本变式题与原题比较，结合了已学过的数列知识，综合考察了分布列的两条性质，有助于增强学生灵活运用知识的能力，同时回顾了旧知识.

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A卷（课堂针对训练三） 离散型随机变量的分布列

双基再现

１.B 解析：因是有放回抽取，所以可能是1+1=2，

1+2=3，?，1+5=6，?，5+5=10，共有9个取值.

２.B 解析:本题属于超几何分布.随机变量ξ的概

率分布为 ξ P 0 1 2 14ξ2 －5 －4 －3 －2 －1

P 136 2362 3363 436 4 536 5 0 1 6

CC222226CCC226122 CC2422636 536 436 336 236 136而 P(ξ?1)= P(ξ=0)+ P(ξ=1),所以选B ３．B 解析：<法一>

事件{X=k}表示前k-1次没打开，第k次打开了.所以

P(X?k)?(n?1)(n?2)?(n?k?1)?1n(n?1)?(n?k?1)?1n变式活学 ７．解析：

（1）由(9c2-c)+(3-8c)=1，解得c=或3123.

又9c2-c?0,3-8c?0,所以c=

13

13<法二>亦可整体来看，看作n把钥匙排队，能开门的这把钥匙在每个位置的可能性相同，所以排在第k位的概率为４．

451n（2）是两点分布.成功概率为3-8c=

名师点金：本变式题与原题比较，进一步将两点分

.

布与概率分布列的性质相结合，同时在设问方式上发生了变化，加深了两点分布的概念的理解. ８．解析：ξ的可能取值为3，4，5，6

解析：所选3人中女生人数X服从超几

何分布，所以

P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?03C2C43?12C2C4C6C63?45

?P(??3)?C333?1220，

C1212５．解：ξ服从超几何分布，其分布列如下： ξ P 0 1301 3102 123 16P(??4)?C9?C33C12?27220，

P(??5)?C9?C3C123321６．解：（1）ξ1=k包含两种情况，两次均为k点，

或一个k点，另一个小于k点． 放P(ξ1=k)=

?2755，

1?(k?1)?26?6?2k?136，

P(??6)?C9k=1，2，??，6

（2）ξ

3的取值范围是－5，－4，??，4，5，

3C12?2155

?此时旧球个数ξ的概率分布列为

ξ P 3 1220ξ2=－5，即第1次是l点，第2次是6点； ξ2=－4，即第1次是1或2点，第2次对应是5或6点，??，ξ3=0，即第1次是1至6点，第2次对应是至6点，??，ξ3=5，即第二次是6点，第2次1点．分布列是：

4 272205 27556 2155 名师点金：本变式题与原题比较.在设题方式、背景方面发生了变化，使问题转变为取出 之后放回，此时的盒中情况.相应的解题时应弄清楚ξ取值的实际意义，另外本题还可以改变问法，如最少取球

用心 爱心 专心

几次，可使盒中球全变成旧的，其概率多少，构成新的变式.

ξ P C62所以ξ的分布列为： 0 1310 2520 11550 21560 115实践演练

9．解：（1）P?1??1?1545?23 C102，

１０．解：由题意，杯中球的最大个数X的所有可能取值为1，2，3.当X=1时，对应4个杯子中恰有3个杯子各放一球的情形；当X=2时，对应于4个杯子中恰有1个杯子中放两球的情形；当X=3时，对应于4个杯子中恰有1个杯子中放三个球的情形.

P(X?1)?A44P(X?2)?323即该顾客中奖的概率为

（2）ξ的所有可能取值为

23

0，10，20，50，60.其中

P(??0)?C622C10?13，

?3811，

?916C3C4C343，

P(??10)?11C6C32C10?25，

P(X?3)?C4431?116，

P(??20)?C32C1012?115所以X的分布列为

，

X ，

P 1 38

2 9163 116

P(??50)?C62C10?215P(??60)?C321?115

C10B卷（课外提升训练）

理解整合

1 .Ｃ 解析：根据离散型随机变量的分布列的性质检验即可.

2. D 解析：注意随机变量的意义，若是差的绝对值则选A

3. 甲第一次射击未中，第二次乙射击也未中，第

三次甲射中．

4. ｛１，２，?７｝ 解析：最少取一次，最多将６个红球取完，第７次取得白球． 5 .

5?12X P -2 140 122 14

8 .解：由题意，ｋ＋２ｋ＋?＋ｎｋ＝１，解得ｋ＝

2n(n?1)

9. 解：由题意，X的取值为4，3，2，1，其中

P(X?4)?C333 解析：由题意，????1，

且０〈?〈１，解得?＝

5?122?120C6，

P(X?3)?C323?3206. 6 解析：超几何分布，概率表达式的意义是10个村庄中有4个交通不方便的，6个方便的 7.

P(X?2)?C6,

C423C6?310，

用心 爱心 专心

13 解：设所取号码为ξ，其分布列为

ξ 0 P 110P(X?1)?C523C6?121 1502 1253 3504 225

所以X的分布列为

X P 4 1203 3202 3101 12

5 1106 3257 7508 4259 950拓展创新

10.

78取得号码为偶数的概率为

110 解析：+

125+

225+

325+

425=

12

P(??10)?P(??2)?P(??4)?P(??8) 14 解：?的所有可能取值为０，１，２，４，

4这四个数字共有A4?24种排法，

316?12?14?18?78

11. 解析：5根纤维的结果可以用一个五元数

?＝０即数字ｉ都不在第ｉ个位置上，

组来表示，如白色记为0，有色记为1，则5根都是白色就可记为（0，0，0，0，0），共有25个结果，其中有色（即1）的个数为0的结果有一个，有色（即1）的个数为1的结果有C5个，所以概率为

1?21C551有９个，P(??0)?38

?＝１即有１个数字ｉ恰好在第ｉ个位置上，

有８个，P(??1)?13

?＝２即有２个数字ｉ恰好在第ｉ个位置上，

?316

有６个，P(??2)?1412．解：Ｙ＝Ｘ－５，由题意

P(Y?2)?2C82C10

?＝４即有４个数字ｉ恰好在第ｉ个位置上，

?2845,

有１个，P(??4)?所以分布列为

124

P(Y?6)?11C8C22C10?1645,

?

０ 38１ 13２ 14４ 124

P(Y?10)?C222C10?145.

Ｐ 所以随机变量Ｙ的分布列为

Y 2 P 2845注意利用分类分步的方法来计数．

综合探究

6 164510 145

15. 解：他所付的款额也是一个随机变量 设这个人一次购买水杯的只数为X，他所付的款额为Y元，因为50≤X≤80,所以

Y=6×50+07×6×(X-50)=42X+210

16. 解：购物３０元，摇奖一次，设所得奖金为Ｘ元，则依据几何概率的原理可知 Ｘ的分布列为

用心 爱心 专心

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