2016中考数学动点问题及答案(6)

?D点为所求又

tan∠ADB?tan∠ABC?43，

?CD?BC?tan∠ADB?3?（3）这样的m存在

?4913?D?13，0??OD?OC?CD????4? 344，

y在Rt△ABC中，由勾股定理得AB?5如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD B 133??mm4?25135m?3?9 4，解得则

如图2，当PQ?AD时，△APQ∽△ADB

P A Q O C 图2 D x

m?133?4则

3?13?m45，解得

m?12536

例1(2008福建福州)如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 分析:由t＝2求出BP与BQ的长度,从而可得△BPQ的形状;

1S作QE⊥BP于点E,将PB,QE用t表示,由?BPQ=2×BP×QE可得

S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求. 解:(1)△BPQ是等边三角形,

当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4, 即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=3t,

113S由AP=t,得PB=6-t,所以?BPQ=2×BP×QE=2(6-t)×3t=－2t2+33t；

(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.

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1因为BE=BQ·cos600=2×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,

所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=3t,

APPRt3t6??由△APR∽△PRQ,得到PRRQ,即3t6?2t,解得t=5, 6所以当t=5时, △APR∽△PRQ.

点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

?例2(2008浙江温州)如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．（1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得

B A D P H Q R E C y关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的值;注意需分类讨论.

解：（1）??A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

?点D为AB中点，

?BD?1AB?32．

?DHBD?ACBC，

??DHB??A?90?，?B??B．?△BHD∽△BAC，

DH?∴

BD312?AC??8?BC105

??QR∥AB△RQC∽△ABC， ??QRC??A?90（2），．??C??C，??RQQCy10?x3???y??x?6ABBC，610，即y关于x的函数关系式为：5．

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（3）存在.按腰相等分三种情况：

①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

A D P B 1 M 2 H Q

R E C

??1??2?90?，?C??2?90?，??1??C．

84?QM?4?cos?1?cosC??105，QP5，

1?3??x?6??42?5???125?x?185． 5，

312?x?6?5， ②当PQ?RQ时，5D B H

A P E Q R C ?x?6．

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，

?CR?11CE?AC?224． QRBA?CRCA，

?tanC?

3?x?6156?x??5?2． 28，

1815综上所述，当x为5或6或2时，△PQR为等腰三角形．

点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使△PQR为等腰三角形的x的值,可假设△PQR为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.

五、以圆为载体的动点问题

动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。

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例1. 在Rt?ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考）

分析：不论P、Q如何运动，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因为PQ与AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角，否则∠CPQ就不可能为直角。 以CQ为直径做半圆D。

①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则 DM⊥AB，且AC＝AM＝5

所以 MB?AB?AM?13?5?8 设CD?x，则DM?x，DB?12?x 在Rt?DMB中，DB?DM?MB，即

22212?x?x?8??

222x? 解得：

1020CQ?2x?3，所以3

203且点P运动到切点M的位置时，△CPQ为直角三角形。

CQ? 即当

20?CQ?123 ②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ

为直角三角形。

0?CQ? ③当

203时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜

90°，此时，△CPQ不可能为直角三角形。

20?CQ?12 所以，当3时，△CPQ可能为直角三角形。

例2. 如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？

分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。

解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E

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因为∠B＝∠A＝90°

所以AD、BC为⊙O的切线 即AD＝DE，BC＝CE 所以AD＋BC＝CD

而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的距离OE30小于⊙O的半径OE，CD与

∠AP1B和∠AP2B是直径AB所对的圆周角，1、P2⊙O相交，都为90°，所以交点P即为所求。因此，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。

例3. 如图5，△ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB、PC，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。（02年广州市中考）

分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。

（1）当点P在△ABC外接圆外时，

如图5，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC 又因为∠BDC＝∠BAC， 所以∠BPC＜∠BAC；

（2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相等， ∠BPC＝∠BAC；

（3）当点P在△ABC外接圆内时，如图7，延长BP交△ABC外接圆于点D，连结CD，则∠BPC＞∠BDC，

又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。 综上，知当点P在△ABC外接圆外时， ∠BPC＜∠BAC；

当点P在△ABC外接圆上时， ∠BPC＝∠BAC；

当点P在△ABC外接圆内时， ∠BPC＞∠BAC。

专题七、2010中考数学热点专题突破训练――动点问题

动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析.

例1 （2006年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD. 1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积； 2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）. （1）求S关于t的函数关系式； （2）求S的最大值.

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