高等量子力学习题1

高等量子力学第一章习题：

1、 两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert空间中定义如下三个算符：

?S1?（|????|?|????|）2?S3?（|????|?|????|）2?S2?i（|????|?|????|）2 试证明它们满足如下对易和反对易关系：

[Si,Sj]?i?ijkSk??{Si,Sj；}? ??ij

2222并求出两个态矢量 |+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符 S 2 ? S 12 2 ? S 3的表? S达式

2、 二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：

H＝a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|

其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。

问：H的厄密性对系数a,b,c,d有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。

3、 已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为

|n??1n!(b?)n|0?其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b和b+与其坐标和动量算符的关系为

x??2??(b??b)p?i???2(b??b)试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式。

4、 设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a1(t)J++a2(t) J0+a3(t) J－

其中ai(t),i=1 , 2 , 3为任意时间t的函数，J+ , J0 , J－为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系: [J+ , J－]=－2 J0 , [J0 , J±]=±J± 试证明该系统的时间演化算符可表示为:

U(t,0)=exp[C1(t)J+]exp[C2(t)J0]exp[C3(t)J－] , 并导出确定Ci(t)的方程.。 5、 已知算符b和b+的对易关系为[b , b+]=1,在 b+ b对角表象的本征态矢量为

1?n|n??(b)|0?

n! 且基态满足b|0>=0, 引入算符b的本征态b|z>=z|z>

试求归一化态矢量|z>在b+ b对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数

6、 题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明： （i）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。 (ii) 相干态表象的基矢组是完备的，完备性条件由下式给出

?d2z?|z??z|?1 式中，积分元由z=x+iy d2z=dxdy给出，证明过程中可以利用的公式有: d2????*??x*??*xx*xe?e ??(iii)不存在算符b+的本征右矢量。

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