第八章多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用

教学与考试基本要求

1． 理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限； 2． 会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；

3． 会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程； 4． 会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题．

8.1 多元函数的概念

一、主要内容回顾

设有变量x,y和z，如果当变量x,y在一定范围内任取一组值时，变量z按照一定的法则总有确定的值和它们对应，则称变量z是变量x,y的二元函数．记作 二元 z?f(x,y) 或 z?z(x,y) 函数 其中变量x,y称为自变量，z称为因变量，自变量x,y的取值范围称为函数的定义 定义域． 二元及二元以上的函数统称为多元函数． （1）点集{(x,y)|(x?x0)2?(y?y0)2??2,??0}称为点P0(x0,y0)的?邻域，记为U(P0,?)．P0称为该邻域的中心，?称为该邻域的半径． 邻域 （2）点集{(x,y)|0?(x?x0)2?(y?y0)2??2,??0}称为点P0(x0,y0)的去?,?)． 心?邻域，记为U(P0D内点 是xOy平面上的点集，P0为一点，若存在??0，使U(P0,?)?D，则称P0是D的内点． D是xOy平面上的点集，P0为一点，如果对于任意??0，U(P0,?)内既有D边界点 中的点，又有不属于D的点，则称P0是D的边界点． 的边界点的全体，称为D的边界． 注：边界点可以属于也可以不属于D． D开集 连通集 开区域 闭区域 有界区域 如果点集D中的点都是D的内点，则称D为开集． 如果D内的任意两点都可用D中的折线连接起来，则称D为连通集． 连通的开集． 开区域加上它的边界． 如果一个区域内的任意两点的距离都不超过某一常数，则称它为有界区域，否则称为无界区域． 设二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果动点P(x,y)二重 极限 沿任意方式趋近于P0(x0,y0)时，对应的函数值f(x,y)总是趋近于一个 1

确定的常数A，则称A为函数f(x,y)当P(x,y)?P0(x0,y0)时的极限，或称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处收敛于A，记为 limx?x0y?y0f(x,y)?A或lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?A 注意：如果点P(x,y)只是沿某一条或几条特殊路径趋向于P0(x0,y0)，函数f(x,y)P(x,y)趋向于某一确定的值，不能判断函数的极限存在；反过来，如果当沿不同的路径趋于P0(x0,y0)时， f(x,y)趋于不同的值，就可判定f(x,y)在P0(x0,y0)的极限不存在． 注：二重极限的运算与一元函数极限的运算完全一致． （1）设二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内的定义，如果 limx?x0y?y0f(x,y)?f(x0,y0)，则称函数z?f(x,y)在P0(x0,y0)处连续，并称 P0(x0,y0)为z?f(x,y)的连续点． 连续 （2）设二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内的定义，如果 ?x?0?y?0lim?z?0，则称函数z?f(x,y)在P0(x0,y0)处连续．其中 ?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)称为z?f(x,y)在P0(x0,y0)处的全增量． （3）若函数z?f(x,y)在D内每一点都连续，称函数在D内连续． （4）函数的不连续点称为函数的间断点． 连续 函数 的性质 （1）有界闭区域上的连续函数必为有界函数． （2）有界闭区域上的连续函数必最大值和最小值． （3）有界闭区域上的连续函数必取得介于函数最大值和最小值之间的任何值． 二、基本考试题型及配套例题

题型I 判断题 （1）若limx?0y?kx?0f(x,y)?A，则limf(x,y)?A． （ ）

x?0y?0（2）若limf(x,y)存在，limg(x,y)都不存在，则lim[f(x,y)?g(x,y)]不存在． （ ）

x?x0y?y0x?x0y?y0x?x0y?y0解 （1）错． （2）对． 题型II 填空题

arctanyx?y2（1）函数z?4?x2的定义域是_____________．

2

22（2）limsin(x?y)x?0y?0x2?y2?_____．

解（１） ?x?0????4?x2?y2 ，所以 ?0D?{(x,y)|x2?y2?4,x?0}．

（２）limsin(x2?y2)x2?y2?1．

x?0y?0题型III 计算题

1（1）求lim(1?xy)x；

x?0y?0（2）求limxysin1x?02y?0x?y2．

11解 （1）lim(1?xy)x＝lim[(1?xy)xy]y?(e?1)0?1x?0x?0

y?0y?0（2） 因为 0?xysin1xyx2?y2?，且limxy?0x?0

y?0由夹逼法则知，limxysin1x?02?0．

y?0x?y2题型IV 证明题 （1） 证明 limx?yx?0不存在．

y?0x?y?xy（2） 证明f(x,y)???x2,x2?y2?0 函数

?y2在(0,0)的连续性．??0,x2?y2?0证 （1）因为 limx?yx?kxx?0y?kxx?y?limx?0x?kx?1?k1?k(k??1)，

所以 limx?yx?0y?0x?y不存在．

（2） 因为0?xy?x2?y2limx2?y2x2?y22，y?02?0，

x?0所以limxy?0?f(0,0)，函数f(x,y)在(0,0)处连续．

x?0y?0x2?y2 3

三、习题选解（习题8－1） 4．确定下列函数的定义域： 22（1）z?1?x?1；

a2?yb2； （2）z?1x?yx?y22（3）z?x?y； （4）x?y?x；

2x?x2?y2（5）z?4x?y2； （6）arcsinyln(1?x2?y2)z?x；

（7）u?ln(1?x2?y2?z2)； （8）u?arcsinx2?y2z．

2222解（1） 1?x?yxa2b2?0 即

x2y2a2?b2?1，函数的定义域为D?{(x,y)|a2?yb2?1}．

（2）0??x?y??y?x，函数的定义域为D?{(x,y)|y?x}．

?x?y?0，?x（3）x?y?0，函数的定义域为D?{(x,y)|0?x???,0?y?x2}．

?x2?y2?x（4）?2?y2?0??2x?x，即

?x2?y2?x?0?? ?x2?y2或

?x?0???．

?2x?x2?y2?0?2x?x2?y2?0??2x?x2?y2?022由??x?y?x?0?知

x?x2?y2?2x，而??x2?y2?x?0??无解．

?2x?x2?y2?0??2x?x2?y2?0所以，函数的定义域为D?{(x,y)|x?x2?y2?2x}．

?4x?y2?0（5）???1?x2?y2?0，函数定义域为D?{(x,y)|0?x2?y2?1,y2?4x}．

???1?x2?y2?1（6）

yx?1，函数定义域为D?{(x,y)|yx?1}．

（7）1?x2?y2?z2?0，即x2?y2?z2?1， 函数定义域为D?{(x,y)|x2?y2?z2?1}．

?x2?y2（8）??z?1?，x2?y2?z2，函数的定义域为D?{(x,y)|0?x2?y2?z2,z?0}．???z?0 4

5．求下列极限： （1）lim3xy?x2y2 （2）limarcsinx2?y2x?1x?0；

y?2x?y； y?12（3）limxy； （4）limsin3(x2?y2)；

x?0x?0y?0xy?1?1y?0x2?y2（5）lim1； （6）lim1x??x?02．

y??x2?y2y?0x2?y22解 （1） lim3xy?xyx?1y?2x?y?103．

（2）limarcsinx2?y2?arcsin12??x?06．

y?12（3）limxy?limxy(xy?1?1)x?00y?0xy?1?1x?y?0xy?1?1?2．

2（4）limsin3(x2?y)3．

x?0y?0x2?y2?（5）lim1x??y??x2?y2?0．

（6）因为 lim(x2?y2)?0，

x?0y?0 所以 lim1

x?02y?0x?y2???．6．证明下列极限不存在： （1）limx?y3x?0y?0x?y； （2）limxyx?06．

y?0x?y2 证 (1)因为 limx?y1?kx?0y?kxx?y?1?k(k?1)，

所以 limx?yx?0

y?0x?y不存在．3（2）因为limxyx?0y?kx3x6?y2?k1?k2，

5

所以limx?0y?0xyx63?y2不存在．

8.2 偏导数与全微分

一、主要内容回顾 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， （１）当y固定在y0而x有增量?x时，f(x0??x,y0)?f(x0,y0)称为f(x,y) 在(x0,y0)处对x的偏增量； （２）当x固定在x0而y有增量?y时， f(x0,y0??y)?f(x0,y0)称为f(x,y) 在(x0,y0)处对y的偏增量； （３）?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)称为f(x,y)在(x0,y0)处的全增量． 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， （１）若lim?x?0增 量 f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x存在，则称此极限为f(x,y)在(x0,y0)处对x?x0y?y0x的偏导数，记作?z?xx?x0y?y0，?f?xx?x0y?y0一 阶 偏 导 数 ，zx或fx(x0,y0) （２）若lim?x?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y存在，则称此极限为f(x,y)在(x0,y0)处或fy(x0,y0)． 对y的偏导数，记作?z?yx?x0y?y0，?f?yx?x0y?y0，zyx?x0y?y0（３）若z?f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)处对x（或y）的偏导数都存在，则这个偏导数为x,y的函数，此函数称为z?f(x,y)对x（或y）的偏导函数，记为?z?x（或?z?y）．不致混淆时也称偏导函数为偏导数． ?z?f(x,y)?y?y0（１）fx(x0,y0)表示空间曲线?几 何 意 义 的斜率； （２）fy(x0,y0)表示空间曲线?的斜率．

在点M(x0,y0,f(x0,y0))的切线对x轴?z?f(x,y)?x?x0在点M(x0,y0,f(x0,y0))的切线对y轴6

若z?f(x,y)在区域D内的偏导函数仍在D内可导，则它们的偏导函数是z?f(x,y)的二阶偏导数，分别是： 二 阶 偏 导 数 ()??fxx(x,y)， 2?x?x?x??z?z2??z?z2 ()??fxy(x,y)?y?x?x?y2??z?z2 ()??fyx(x,y)?x?y?y?x， ()??fyy(x,y) 2?y?y?y??z?z其中fxy(x,y),fyx(x,y)称为z?f(x,y)的二阶混合偏导数．同理可定义三阶及三阶以上的偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数． 注意：混合偏导数与求导顺序有关，但当fxy(x,y),fyx(x,y)在D内连续时， fxy(x,y)?fyx(x,y)． 设函数z?f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果全增量 ?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)可表示为?z?A?x?B?y??(?) 全 微 分 其中A,B不依赖于?x,?y，仅与x,y有关，??(?x)2?(?y)2，则称函数在点(x,y)处可微，A?x?B?y称为z?f(x,y)在点(x,y)的全微分， 记作dz，即dz?A?x?B?y． 若函数z?f(x,y)在D内的每一点处可微，称函数的D内可微． z?f(x,y)（１）可微的必要条件：若z?f(x,y)在(x,y)处可微，则z?f(x,y)在(x,y)处可可 微 的 性 质 导，且dz??z?x?x??z?y?y ?z,?z（２）可微的充分条件：若z?f(x,y)的偏导数z?f(x,y)?x?y在(x,y)连续，则函数 在该点必可微． ?z?xdx??z?ydy（３）记dx??x,dy??y，则dz?二、基本考试题型及配套例题 题型I 判断题

． （1）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则偏导数（2）若f(x,y)在点(x,y)处可微，则偏导数解 （１）错． （２）错． 题型II 计算题

（1） 设z?yln(xy)，求

x?z?x?y?z,?z,?z一定存在． （ ） 一定连续． （ ）

?x?y,,,?x?y?x2?x?y?z?z?z2?z2及dz．

7

（2） 讨论函数

?xy,(x,y)?(0,0)?22在点(0,0)f(x,y)??x?y?0,(x,y)?(0,0)?x处的可导性，连续性与可微性．

解 （1）

?z?y2?z?x?ylnyln(xy)?yxx1xy?y?yxlnyln(xy)?yx1x．

?xyx?1ln(xy)?yx1y．

x?z?x2?lny(ylnyln(xy)?y1x)?1xylny?x1x2yx?ylny[lnyln(xy)?x2x]?yxx2．

?z?x?y2?xyx?1lnyln(xy)?yx?1ln(xy)?yx?1lny?yx?1?yx?1[xlnyln(xy)?ln(xy)?lny?1]．

dz??z?xdx??z?ydy?[yxlnyln(xy)?yx1x]dx?[xyx?1ln(xy)?yx1y]dy．

（3） 因为 fx(0,0)?limfy(0,0)?limf(0??x,0)?f(0,0)?x?0，

?x?0f(0,0??y)?f(0,0)?y?0，

?y?0所以f(x,y)在(0,0)处两个偏导数都存在． 又 limx?0y?kxxyx2?y2?k1?k2，

故 在(0,0)处的极限不存在，从而f(x,y)在(0,0)处不连续． 而?f?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]??f??x?y(?x)2?(?y)2

当?x?0,?y?0时，上式极限不存在，因而不是?的高阶无穷小，故f(x,y)在(0,0)处不可微．

三、习题选解（习题8－2） 1． 求下列函数的偏导数：

（1）z?x4?y4?4x2y2； （2）z?ln(xy)； （3）z?ex?2ysin(xy2)； （4）z?lntan（5）z?arcsinxx?yy22xy；

； （6）z?(1?xy)y；

（7）u?xz； （8）u? 解 （1）

?z?x?4x3x?y?z222．

?8xy2，

?z?y?4y3?8xy2．

8

yx?12xln(xy)2x?2y（2）

?z?x?xy2ln(xy)x?2y，

?z?y?xy2ln(xy)?12yln(xy)．

（3）?z?x?esin(xy)?e?z22x?2y2ycos(xy)，?2esin(xy)?2xye?xx?2y cos(xy)．

2xy)2（4）

?z?x?cotxy2?sec2xy?1y?2ycsc(2xy)，

?z?y?cotxy?sec2xy(?yxy2)??2xy2csc(．

x?z?x?y2?xx22x?y2?xx?yx222?y22（5）

?x1??yxx2222，

?z?x?y?x1?2?yxx2??22xyy(x2?y)2．

?y?y（6）为求

?z?x?y(1?xy)y?1?y?y(1?xy)2y?1．

?z?y，方程z?(1?xy)y两边取对数，得lnz?yln(1?xy)，

1?zz?y?ln(1?xy)?yxy1?xy1z两边对y求导，得 所以

?z?y?u?xy11?xy?x，

?(1?xy)[ln(1?xy)?yy]．

y（7）

?yzxz?1，

?u?y?xzlnx??1zxzlnx，

?u?zy?xzlnx(?yz2)??yz2yxzlnx

（8）

?u?x?x2x?y22?z22 ，

?u?y?x2y?y2，

?z2?u?z?x2z?y2．

?z22． 设f(x,y)?解 fx(x,y)?25?x?y，求fx(22,3),fy(22,3)． ，fy(x,y)?34?x25?x2?y25?x22?y2?y2

fx(22,3)??1，fy(22,3)??．

22??z?1?x?y3． 曲线?在(1,1,3)处的切线与x轴正向所成的倾斜角是多少？

??y?1解 zx?1?xx2?y2，

13设切线与x轴正向的倾斜角为?， 则tan??zx(1,1)?，???6．

9

4． f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy，求fx(x,1)．

解 因为f(x,1)?x，所以 fx(x,1)?1． ?u2?u25． 证明函数u?lnx2?y2满足方程：?x2??y2?0．

证

?u11?x??x?x?u?y?yx2?y2x2?y2x2?y2，

?y?x2?y2x2?y2x2?y2

?2u2?x22u222x2?y2?x2?x2?y2?2x2(x2?y2)2?y(x2?y2，

?)2?y2?x?y?2y(x2?y2)2?(x2?y2)2

?2u?2u?x2??0．

?y2７．求下列函数的二阶偏导数： （1）z?arcsin(xy)； （2）z?ln(x?x2?y2)．

解（1）

?z?x?y，

?z1?(xy)2?y?x．

1?(xy)2?xy2x2yx?y?2z233?1?(xy)?xy?2z1?(xy)2?．?x21?(xy)23，

[1?(xy)2]2?y2???xy1?(xy)23[1?(xy)2]21?(xy)2?y?x2y?2z2?1?(xy)2?x?y?11?(xy)23??z?y?x．

[1?(xy)2]21?x（2）

?zx2?y2?x??1，

x?x2?y2x2?y2y?zx2?y2?y??y，

x?x2?y2x2?y2(x?x2?y2)?x?2zx22??y??x?x2x2?y23，

(x2?y2)2 10

?y?2zx2?y2?2z．

?x?y?x22??y?y3?(x22?y?x?y)2x2?y2(x?x2?y2)?y[y2x2?y2y?2zx2?y2(x?x?y2)?x2?y2]?y2?(x2?y2)(x?x2?y2)232?x?(x?y2)x2?y23．

(x2?y2)2(x?x2?y2)23８．（1）设z?xln(xy)，求

?z；

?x2?y（2）设z?x3siny?y3sinx，求

?4z．

?x3?y解 （1）

?z?x?ln(xy)?xyxy?ln(xy)?1，

?2zy?x2?xy?1x，

?3z?x2?y?0．

（2）

?z23?x?3xsiny?ycosx，

?2z2?6xsiny?y3sinx，

?x?3z?6siny?y3cosx，

?x3?4z?x3?y?6cosy?3y2cosx．

９．求函数z?2x2?3y2在点(10,8)处当?x?0.2,?y?0.3时的全增量及全微分． 解 ?z?[2(10?0.2)2?3(8?0.3)2]?[2?102?3?82]?22.75，

zx(10,8)?4x|x?10?40，zy(10,8)?6y|y?8?48， dz?40?0.2?48?0.3?22.4．

１０．求函数z?ln(3x?4y?1)当?x?0.03,?y??0.02时在点(1,1)处的全微分．

11

13x?214?3解 zx(1,1)?33?1，z(1,1)?4y1x?4y?13y3?x?4y?14

(1,1)(1,1)dz?13?0.03?14?(?0.02)?0.005．

11．求函数z?x2y3在点(2,－1)处的全微分．

解 zx(2,?1)?2xy3|(2,?1)??4，zy(2,?1)?3x2y2|(2,?1)?12

dz??4dx?12dy

12．求下列函数的全微分： （1）z?x2?y2； （2）z?excosy；

y（3）z?ex； （4）z?(xy)y； （5）u?xyz； （6）u?(xy)z． 解（1）zxx??yx2?y2，zyx2?y2

dz?xdx?ydyx2?y2x2?y2

（2）dz??zzxx?xdx???ydy?ecosydx?esinydy

ydz??zdx??zyyexdy?x?ydy?ex(?y)dx?ex1yy（3）x2xdy??exdx?1x2x

（4）lnz?yln(xy)，

1?zz?y?ln(xy)?yxzxy，

??y?(xy)y[ln(xy)?1]

dz??zdy?y2?xdx??z?y(xy)y?1dx?(xy)y[ln(xy)?1]dy

（5）du??u?u?uyz?1yzyz?xdx??ydy??zdz?yzxdx?zxlnxdy?yxlnxdz

（6）du??udx??udy??udz?yz(xy)z?1dx?xz(xy)z?1dy?(xy)z?x?y?zln(xy)dz13．计算ln(31.03?40.98?1)的近似值． 解 设f(x,y)?ln(3x?4y?1)，取x?1,y?1,?x?0.03,?y??0.02

12

13则 zx(1,1)?33x4?21?134x?y?1(1,1)，zy(1,1)?43y4?3?y?1(1,1)14，

x? dz?13?0.03?14?(?0.02)?0.005．

故 f(1.03,0.98)?f(1,1)?dz?0.005．

8.3 多元复合函数求导法则

一、主要内容回顾 （１）若函数u??(x,y),v??(x,y)在点(x,y)处对x及对y的偏导数存在，z?f(u,v)在对应点(u,v)对u及对v有连续的偏导数，则复合函数 复 z?f[?(x,y),?(x,y)]在点(x,y)处对x及对y的偏导数存在，且有公式 合 ?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????； ． 函 ?y?u?y?v?y?x?u?x?v?x数 （２）对z?f(u,v,w),u??(x,y),v??(x,y),w?w(x,y)亦有 的 ?z?z?u?z?v?z?w?z?z?u?z?v?z?w??????； ． 偏 ?y?u?y?v?y?w?y?x?u?x?v?x?w?x导 （３）对z?f(u,x,y),u?u(x,y)有 数 ?f?u?f?f?u?f?z?z????； ． ?x?u?x?x?y?u?y?y全 导 数 设z?f(u,v),u??(t),v??(t)，则复合函数z?f[(?(t),?(t)]是t的一元函数，且 dzdt??zdu?udt??zdv?vdt，称为z关于t的全导数． （１）设函数F(x,y)在P0(x0,y0)的某邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0)?0 Fy(x0,y0)?0，则方程F(x,y)?0在点P0(x0,y0)的某邻域内可惟一确定一个具有隐 函 数 的 偏 导 数 连续导数的函数y?f(x)，满足y0?f(x0)，且dydx??FxFy． （２）设函数F(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)的某邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0,z0)?0,Fz(x0,y0,z0)?0,则方程F(x,y,z)?0在P0(x0,y0,z0)的某邻域内可惟一确定一个具有连续偏导数的函数z?f(x,y)，满足z0?f(x0,y0)，且 ?z?xFxFz??；?z?y??FyFz． 二、基本考试题型及配套例题

13

题型I 计算题

（1）设u?sin(xy?3z)，其中z?z(x,y)由方程yz2?xz3?1确定，求

?u?x．

（2）设z?z(x,y)是由方程z3?3xyz?a3确定，求

?2z?x?y．

1(xy)?yf(x?y)，其中f具有二阶连续导数，求

?2（3）设z?xfz．

?x2解 （1）方程yz2?xz3?1两边对x求导，2yz?z?x?z3?3xz2?z?x?0,

得

?z??z3x．

2yz?3xz2故

?u?f?z?x??f?x??z?x?ycos(xy?3z)?3cos(xy?3z)z32yz?3xz2

?cos(xy?3z)(y?3z32yz?3xz2)

（2） 设F(x,y,z)?z3?3xyz?a3，

则Fx?3yz，Fy?3xz，Fy?3z2?3xy，

?zy???Fx?yzxF，

?zzxy?z2?y??FF?xz．

zxy?z22?z?2zyz(z?y?zy)(xy?z)?yz(x?2z?y)225?x?y???y(xy?z2)??(xy?z2)2?xyz?z(xy?z2)3．

（3）

?z?x??1f(xy)?1x2xf?(xy)y?yf?(x?y)，

?2zy?x2???x(?z?x)?2x3f(xy)?1x2f?(xy)y?x2f?(xy)?yxf??(xy)y?yf??(x?y)

?2f(xy)?2yy2x3x2f?(xy)?xf??(xy)?yf??(x?y)．

题型II 证明题 设z?xy?xF(u)，而u?yx,F(u)为可导函数，证明x?z?x?y?z?y?z?xy

证

?zy?x?y?F(u)?xF?(u)(??x)?y?F(uy2)?xF(u)，

?z1?y?x?xF?(u)x?x?F?(u)，

所以 x?z?x?y?z?x(y?F(u)?y?yxF?(u))?y(x?F?(u))?2xy?F(u)?z?xy． 14

三、习题选解（习题8－3 ） 1． 求下列函数的偏导数：

（1）z?u2v?uv2，其中u?xcosy,v?xsiny； （2）z?arcsin(x?y?u)，其中u?sin(xy)； （3）z?f(u,v)，其中u?xy,v?x?y；

（4）z?f(x2?y2,exy)． 解（1）

?z?z?v22?x??z?u?u?x??v?x?(2uv?v)cosy?(u?2uv)siny ?3x2sinycosy(cosy?siny)．

?z?z?u?z?v22?y??u?y??v?y?(2uv?v)(?xsiny)?(u?2uv)xsiny

?x3[cos3y?sin3y?sin2y(siny?cosy)]．（２）

?z??f?u??f?x?u?x?1?xycos(xy)?11?(x?y?u)21?(x?y?u)2 ?ycos(xy)?1．

1?[x?y?sin(xy)]2?zf?uf?y???u?y???y?1xcos(xy)?11?(x?y?u)21?(x?y?u)2

?xcos(xy)?1．

1?[x?y?sin(xy)]2 （3）

?z?f?u?f?v?fy?fy?f?x??u?x??v?x??u?2xy?v?2xy?u??f?v．

?zf?uf?vxx?f?x???u?y???v?y??f?u??f??f2xy?v2xy?u??v．

（4）设u?x2?y2,v?exy，则

?z?f?u?f?vfxy?f?x??u?x??v?x?2x??u?ye?v， ?z?f?u?f?v?f?y??u?y??v?y??2y?f?u?xexy?v．

2． 求下列函数的全导数：

（1）z?eu?2v，其中u?sint,,v?t2；

15

（2）z?arcsin(u?v)，其中u?3t,v?4t3； （3）z?arctan(xy)，其中y?ex． 解 （1）dz??fdufdv2v?udt???vdt?eu?cost?2eu?2v3t2?esint?2t3(cost?6t2)．

（2）dz??fdu?udt??fdv?vdt?1?3?1?12t2?3?12t2．

1?(u?v)21?(u?v)21?(3t?4t4)2（3）dz??fdy?fxx?ydx??x?1?(xy)2e?y1?(xy)2?(x?1)ex1?(xex)2．

3． 设z?f(u,v),u?x?3y,3x?y，证明?z22?z2?z

2v?2(?u)?(?z?v)?(?x)?(?y)2．证

?z?z?v3?x??z?u?u?x??v?x??z1?u2??z?v2， ?z?z?u?z?v?z?x?(?3?u?x??v?x??u2)??z1?v2，

(?z?z12?z?x)2?(?z2?(?z1??z32?y)?u2?v2)?[?z?u(?32)??v2]2?(?z?u)?(?v)2．

4．u?f(r,?),r?x2?y2,??arctany．证明?u22x(x)?(?u?y)?(?u?r)2?1r(?u??)2．

?2y证

?u?ux2?x??r??u?xx?u?u，

x2?y2??1?(y?2x2?y2?r?yx2?y2??x)1?u?x??uy?ux?r??y?u?x?ux2?y2??1?(yx2?y2?rx2?y2??，

x)2(?u2?u2?u?y?u2?ux?u?x)?(?y)?(xx2?y2?r)?(yx2?y2??x2?y2?r?x2?y2??)2

?(?u21uu?r)?x2?y2(???)2?(?u2?r)?1r2(???)2．

5．求由下列方程确定的函数y(x)的导数

dydx：

（1）x2?2xy?y2?a2； （2）xy?yx． 解（1）设F(x,y)?x2?2xy?y2?a2， 则 Fx?2x?2y,Fy?2x?2y，

16

从而

dydx??FxFy?x?yy?x．

（2）设

dydx??FxFy?x?yy?xF(x,y)?xy?y，

x则 Fx?yxy?1?yxlny,Fy?xylnx?xyx?1， 故

dydx??FxFy??yxxyy?1?yxlnyx?1．

lnx?xy6．求由下列方程确定的函数z?z(x,y)的偏导数： （1）

xa22?yb22?zc22?1； （2）cosx?cosy?cosz?1． xa22222解（1）设F(x,y,z)?则 Fx??z?x?yb22?zcc22?1，

2xa2,Fy?FxFz2yb2,Fz?22z2，

FyFzcybz222从而

????cxaz2,?z?y????．

（2）设F(x,y,z)?cos2x?cos2y?cosz?1，

则Fx??2cosxsinx??sin2x, 同理 Fy??sin2y,Fz??sin2z，

?z?xFxFzsin2xsin2z?z?yFyFzsin2ysin2z从而

????,????．

8.4 偏导数的几何应用

一、主要内容回顾 （１）设?的参数方程为x?x(t),y?y(t)，z?z(t)，其中x(t),y(t),z(t)都是t的空间 可导函数，当t?t0时，x0?x(t0),y0?y(t0)，z0?z(t0)对应曲线?上的定点曲线 的 切线 及法 平面 M0(x0,y0,z0)，x?(t0),y?(t0),z?(t0)不全为零，则?在M0的切向量为 {x?(t0),y?(t0),z?(t0)}， 17

切线方程为 x?x0x?(t0)?y?y0y?(t0)?z?z0z?(t0)． 法平面方程为 x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0． （２）若?的方程为y?y(x)，z?z(x)，y(x),z(x)都是x的可导函数，则在M0(x0,y0,z0)的切向量为{1,y?(x0),z?(x0)}， 切线方程为： x?x01?y?y0y?(x0)?z?z0z?(x0)． 法平面方程为： (x?x0)?y?(x0)(y?y0)?z?(x0)(z?z0)?0． （１）隐式方程情形：设曲面?的方程为F(x,y,z)?0，M0(x0,y0,z0)为?上的一点，F(x,y,z)在M0的偏导数连续且不全为零，则?在M0的法向量为{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}， 切平面方程为： Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0 法线方程为： 空间 曲面 的切 平面 及 法线 x?x0Fx(x0,y0,z0)?y?y0Fy(x0,y0,z0)?z?z0Fz(x0,y0,z0) （２）显式方程情形：设曲面?的方程为z?f(x,y)，M0(x0,y0,z0)为?上的一点，z?f(x,y)在(x0,y0)处有连续偏导数，则?在M0的法向量为 {?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1} 切平面方程为： fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0 法线方程为： x?x0fx(x0,y0)?y?y0fy(x0,y0)?z?z0?1 二、基本考试题型及配套例题 题型I 计算题 （1）求空间曲线x?14t,y?413t,z?312t2上相应于t?1处的切线及法平面方程．

18

（2）求曲面ez?z?xy?3在(2,1,0)处的切平面及法线方程． 解 （1）x??t3,y??t2,z??t，切向量为{1,1,1}，切点为(1114,3,2)，

x?14y?1切线方程为

?3z?1211?1．

法平面方程为 x?1?y?1?z?1432?0，即x?y?z?1312．

（2） 设F(x,y,z)?ez?z?xy?3，则Fx?y,Fy?x,Fzz?e?1， 法向量为 {1,2,0}，

切平面方程为 (x?2)?2(y?1)?0，即x?2y?4?0． 法线方程为

x?2y?1．

1?2?z0三、习题选解（习题8－4）

1．求下列各曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：

（1）x?t?sint,y?1?cost,z?4sint?2，在t?2时；

（2）x?acost,y?asint,z?bt，在t??2时；

（3）x?t1?t,y?1?t2t,z?t，在t?1时．

解（1）

dxdydt?1?cost,dt?sint,dzdt?2cost2，

切点坐标为(?2?1,1,22)，切线的方向向量为s?{1,1,2}，

x??

2?1切线方程为y?1z?221?1?．

2法平面方程为 x??2?1?y?1?2(z?22)?0，

即x?y?2z??2?4?0．

（2）

dxdt??asint,dy?acost,dzdtdt?b，

切点坐标为(0,a,?b2)，切向量为s?{?a,0,b}，

切线方程为

xy?az??b?a?0?2b．

法平面方程为 ?ax?b(z??b2)?0，即 ax?bz??2b2?0．

19

（3）

dx1dt?(1?t)2,dydt??1,dz?2tt2dt，

切点坐标为(12,2,1)，切线的方向向量为s?{14,?1,2}，

x?1切线方程为

2?y?2z?11?1?2．

4法平面方程为

114(x?2)?(y?2)?2(z?1)?0即2x?8y?16z?1?0．

2．求下列各曲面在指定点处的切平面与法线方程： （1）3x2?y2?z2?27在点(3,1,1)处； （2）x2?xy?8x?z?5?0在点(2,?1,3)处； （3）z?x2?y2?1在点(2,1,4)处． 解（1）设F(x,y,z)?3x2?y2?z2?27，

则Fx?6x,Fy?2y,Fz??2z，在(3,1,1)处，n?{18,2,?2}， 切平面方程为 18(x?3)?2(y?1)?2(z?1)?0，即 9x?y?z?27?0． 法线方程为

x?3y?1?19?1?z?1．

（２） 设F(x,y,z)?x2?xy?8x?z?5， 则 Fx?2x?y?8,Fy??x,Fz?1 在(2,?3,1)处，n?{?1,?2,1}．

切平面方程为 ?(x?2)?2(y?3)?z?1?0，即 x?2y?z?5?0． 法线方程为

x?23z?1?1?y??2?1．

（3）zx?2x,zy?2y，则n?{4,2.?1}．

切平面方程为 4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0，即 4x?2y?z?6?0 法线方程为

x?21?44?y?2?z?1．

3． 在曲线y?x2,z?x3上求出使该点的切线平行于平面x?2y?z?4的点． 解

dydx?2x,dzdx?3x2，设在参数为x处的点的切线的方向向量与平面的法线向量垂直，则1?1?2?2x?3x2?0，解得x??1,x??13，

20

V?xyz?xya2?x2?y2，

?xa2Vx?ya2?x2?y2?xy?0?y2，

?x2Vx?xa2?x2?y2?xya2?y?x2?0?y2，

解联立方程得驻点(即边长均为

2a3a3,a3)，此时z?a3．

的立方体体积最大．

4．从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．

解 设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为l2?x2，此时周长为

s?x?l2?xx2?l， 得x?l2s??1?l2?02，即为等腰直角三角形时周长最大．

?x5．制作一个容积为V的无盖圆柱形容器，容器的高和底半径各为多少时，所用材料最省？

解 设容器的高为h，底半径为r，则V??r2h，

A??r2?2?rh??r2?2Vr，

VVA??2?r?2Vr2?0得r?3?，此时h?r?3?．

当高和底半径相等时，所用材料最少．

6．有一宽为24cm的长方形铁板，把它的两边折起来，做成一个断面为等腰梯形的水槽，问折起来的各面的宽及其倾斜角为多少时，才能使水槽断面积最大？

解 设折起来的边长为x，倾角为?，则梯形的下底长为24?2x，上底长为24?2x?2xcos?，高为xsin?，断面面积为

A?12(24?2x?2xcos??24?2x)xsin??24xsin??2xsin??xsin?cos?22，

(0?x?12,0?????Ax?24sin??4xsin??2xsin?cos??0令?222??Ay?24xcos??2xcos??x(cos??sin?2)

2?)?0

解之得???3,x?8．

依题意知面积的最大值一定存在，又函数在定义区域内只有一个驻点，所以当

26

???3,x?8时断面面积最大．

复习题八

3．计算下列各题： 2（1）设z?ln(x?y2)，求

?z2,?z?x2?x?y．

（2）设zx?yz，求dz．

（3）已知f(x?y,x?y)?x2?y2，求

?f(x,y)?f(x,y)?x??y． （4）设z?f(x2?y2,y)，其中f有一阶偏导数，求

?zx?x,?z?y．

（5）设z?u2v?uv2，u?xcosy,v?xsiny，求

?z??x,z?y．

（6）求曲面ez?z?ln(x?y)?1在点(?1,2,0)处的切平面方程． 22解（1）

?z?z?x?1x?y2；

?z?x2??1(x?y2)2；

?x?y??2y(x?y2)2．

（2）设F(x,y,z)?zx?yz，

则

?Fz?x?zxlnz,?F?y??zyz?1,?Fx?1?z?xz?ylny，

?zxlnzz?1dz??z?xdx??ydy??zxzx?1?yzlnydx?zyxzx?1?yzlnydy．（3）令u?x?y,v?x?y，则f(u,v)?uv，

?f?u?v,?f?v?u，

?ff?u???v?u?v， 从而

?f?f?x??y?x?y．（4）设u?x2?y2,v?yx，

?z?u?f?v?fy?f?x??f?u?x??v?x?2x?u?x2?v，

?z?f?u?f?v?f1?f?x??u?y??v?y?2y?u?x?v．

（5）

?z??z?u??z?v22?x?u?x?v?x?(2uv?v)cosy?(u?2uv)siny

?3x2sinycosy(cosy?siny)，

27

?z?y??z?u?u?y3??z?v?v?y3?(2uv?v)(?xsiny)?(u?2uv)xsiny322

?x[cosy?siny?sin2y(siny?cosy)]．

（6）设F(x,y,z)?ez?z?ln(x?y)?1，

Fx?1x?y,Fy?1x?y,Fz?ez?1，

Fx(?1,2,0)?1,Fy(?1,2,0)?1,Fz(?1,2,0)?0，

切平面方程为 (x?1)?(y?2)?0，即x?y?1?0．

4．应用题：

（2）已知矩形的周长为2P，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，求所得圆柱体体积为最大的矩形．

解 （2）设矩形的一边为x，则另一边为p?x，绕p?x边旋转构成的圆柱体积为

V??x(p?x)．

2V??2?px?3?x?0，x?22p3，

，且绕短边旋转时所得体积最大．

即矩形的边长分别为

2p3，

p3本章测试题

一、判断题

1． 若函数f(x,y)在(x0,y0)处的两个偏导数都存在，则f(x,y)在(x0,y0)处连续． 2． 若limf(x,y)?A，则limf(x,y)?A．

x?0y?kx2x?0y?03． 若

,?x?y?y?x?z?z2在区域D内连续，则

?z?x?y2??z?y?x2．

二、填空题

1． 函数z?ln(4?x2?y2)?1x?y?1122的定义域是________．

2． limysin(xy)x?_______,lim(1?xy)x?0y?0y?________．

x?0y?23． 设z?xy，则zx(1,0)?_______,zy(1,0)?_______,dz?________．

三、求z?ln(x?y2)的各二阶偏导数．

四、在曲面z?xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0，并写出该法线

28

方程．

五、在平面xOy上求一点，使它到x?0,y?0,x?2y?16?0三直线的距离的平方和最小．

测试题答案

一、错，错，对．

二、1. 1?x2?y2?4； 2. 4，1； 3. 0, 0，yx三、解

?z?x22y?1dx?xylnxdy．

?z?x?1x?y12,?z?y?z?y22?2yx?y2，

2

??(x?y)2y22，

?2(x?y)?2y?2y(x?y)22?2x?2y(x?y)222，

?z?x?y2??(x?y)?y,?1122??z?y?x2．

四、解 所以

y1?z?x?x3?z?y?x，法线的方向向量为n={y,x,?1},它与已知平面的法向量平行，

?，解之得x??3,y??1,z?xy?3．

所求点的坐标为(-3,-1,3)， 法线方程为

x?31?y?13?z?312．

五、解设所求点的坐标为(x,y)，它到三直线的距离的平方和为z， 则 z?x?y?22(x?2y?16)5，

8?x???5??y?16?5?令

2(x???z?2x????x?4(x??z??2y????y2y?16)52y?16)581655)?0 ，解之得

?0．

(816,)55是惟一驻点，(,即为所求．

29

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