例说数学选择题的特点和解法

例说数学选择题的特点和解法

惠来粤东中学 吴春城

数学选择题是一种比较全面、科学和公平的测试形式，如何解答选择题，已经成为数学教学的一个重要课题。

数学选择题一般是单项选择题，由一定的条件和若干个结论组成，这些结论叫选择支，其中只有一个选择支是正确的，下面结合自己平时的教学实践,谈谈选择题的特点和解法。

一、选择题的题型特点

1、选择题的编拟一般都是针对受试者在掌握某个数学知识的某些环节上的常见错误，或者在掌握概念上有些容易模糊或不牢固的地方而设计选择支，选择支从某个角度提供了解题的信息或思路，同时也提供了干扰答案。解答时必须充分利用这些暗示信息，同时有效地排除干扰答案。

例1 已知x≤1，则函数y＝－2x2＋8x－1的最大值是（ ）。 A．7 B．5 C．－5 D．－13

分析：本题将函数进行配方后，得y＝－2(x?2)2＋7,这时如果选择A,那么选择支便成为“陷阱”，因为题设中x不能等于2。根据题设，当x＝1时，函数有最大值5，故应选B。由此看来，选择支起提示作用还是干扰思路，有赖于对题目的正确分析。

2、由于选择题不需要写出解题过程，因此解题方法必须快速、灵活。

例2 已知0＜a＜1，－1＜b＜0,则下列四个数中最大的数是

1

（ ）。

A.a+b B. a-b C. a+b2 D. a2+b

分析: 乍看这些字母问题似乎不知如何下手，其实用符合条件的“特殊值”代入各选择支计算，则可轻松获解。

不妨设a=0.5,b=-0.5,代入计算，便可发现应选B。 二、 选择题的解题方法 1、用直接法求解

从题目的条件出发，通过分析、推理和运算，得出正确的结论，从而确定有正确结论的那个选择支是正确的，对于大多数选择题都可以用这种方法。

例3 使实系数一元二次方程2kx2＋(8k＋1)x＋8k=0有两个不相等的实数根的k的取值范围是（ ）。

A.k＜-1111且k≠0 B. k＞- C. k≥- D. k＞-且k≠0 16161616分析：所给一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是：k≠0且△＞0，即k≠0且（8k+1)2－4×2k×8k＞0,解得k＞-故应选D。 2、用验证法求解

有些选择题选择支的答案比较具体，也可以将各个选择支逐一代入题中进行验证，然后肯定正确的选择支。

例4 梯形的上下底分别为3和9，两腰分别为4和6，一条平行于底的直线分梯形成周长相等的两部分，那么这条直线将腰分成两线段之比为（ ）。

2

1且k≠0。 16

A.4:3 B.3:2 C.4:1 D.3:1

分析:若A对，则梯形一腰被分成×6和×6，另一腰被分成

3747473737473747×4和×4，但×4＋×6＋3≠×4＋×6＋9，所以A不是本题的解。

同法可验证B不是本题的解，C是本题的解。 例5 方程7x?3＋x?1=2的根是（ ）。 A.3 B.2 C.1 D.0

分析：此题若用直接法解方程，则需进行两次平方，再解一元二次方程，计算量比较大，如果用验证法，将备选答案逐一代入方程进行计算，即可得出正确的答案。

当x=3时，方程左边=18-2=22≠右边，所以x=3不是方程的根；当x=2时，方程左边=11＋1≠右边，所以x=2不是方程的根；当x=1时，方程左边=2+0=右边，所以x=1是方程的根。

故应选D。 3、用特例法求解

有些选择题可以用符合条件的某些特殊值代替有关字母，或者用符合条件的某个特殊图形代替有关的一般图形进行具体的演算和推理，从而判断各个选择支的正确或错误。

我们知道，要证明一个命题正确，必须证明对所有情况下命题都成立才行；而要否定一个命题只要找到一个反例，即找到一个不能满足这个命题的例子就够了。特例法解选择题就是根据这个道理。我们通过找特例来判断错误的选择支就能肯定正确的选择支。当然，有些

3

选择题的各个选择支是相互独立的，有时举出一个反例就能同时起到肯定或否定选择支的作用。

例6 若一个凸多边形的对角线都相等，那么这个凸多边形一定是（ ）。

A. 四边形 B.五边形 C.四边形或五边形 D.是各边都相等的多边形或各内角都相等的多边形

分析:通过找符合题目条件即对角线都相等的特殊凸多边形来确定各选择支的正误。

例如正五边形是对角线都相等的多边形，但不是四边形，因此可以证明A不对；正方形是对角线相等的多边形，但不是五边形，因此可以证明B不对；等腰梯形的对角线也相等，然而它的各边不都相等，各角也不都相等，因此可以证明D不对。

故应选C。

例7 当a、b是两个不相等的正数时，下列三个代数式 甲：（a+）（b+） 乙：（ab+1ab)2 丙：（中，值最大的一个是（ ）。

A.必是甲 B.必是乙 C.必是丙 D. 不确定

这是一道数学竞赛题，如果用一般的代数运算是相当费力的，但是用特例法，即可轻易解决。

分析：取a=1,b=2,这时

甲=（1+）（2+）=5；乙=（2?12)2=4；丙=（得甲最大。

4

1a1ba?b2+)22a?b1112121?22225?)=4 21?236

取a=3,b=2,这时 甲=（3+（

1125111）（2+）==8；乙=（6?)2=8；丙=3233663?22241?)=8得丙最大。 23?2100通过这两次取值可以看出甲、乙和丙哪个式子的值最大与a和b 的取值有关。

故应选D。

例8 若梯形的两条对角线互相垂直，中位线长是8，则该等腰 梯形的面积为（ ）。

A．16 B.32 C.64 D.51

分析:可把梯形特殊化为正方形,易知正方形边长为8,则其面积 为64。

故应选C。 4、用排除法求解

通过排除错误的选择支来最后确定正确的选择支，上面讲的特例法实际上也是排除法，所不同的是，特例法是通过特例进行排除，而排除法不一定通过特例，有时也可通过推理、判断来排除。

例9 有一两位数，其十位上的数字比个位上的数字小2，已知这个两位数大于10且小于30，则这个两位数为（ ）。

A.13 B.24 C.13或24 D.31或42

分析：因为这个两位数大于10且小于30，则迅速排除D，然后验证13与24 均符合题意。

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故应选C。

例10 一元二次方程x2+123456789x+987654321=0根的情况是（ ）。

A. 没有实数根 B.有整数根 C.两根的倒数和小于-1 D.以上 结论都不对

分析:由△＞0可排除A；设方程有二整数根x1和x2，则

x1+x2=-123456789，x1x2=987654321。由x1x2=987654321是奇数，得x1和x2都是奇数，此时x1+x2应为偶数，而-123456789是奇数，所以

方程没有整数根，可排除B；设方程两个根分别为x1和x2，则

12345678911x1?x2==-＞-1，可排除C。 ?987654321x1x2x1x2故应选D。

以上是选择题常用的几种解法，但是许多选择题并不限于一种解法，而是可以采用多种解法，而且有时几种方法混合使用，例如可以先用排除法或特例法淘汰几个选择支，然后再集中精力对剩下的选择支用直接法或验证法进行肯定和否定。

综上所述,数学选择题的解法是相当灵活的。只有经常进行这方面的训练，解题技巧才能熟练掌握。

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故应选C。

例10 一元二次方程x2+123456789x+987654321=0根的情况是（ ）。

A. 没有实数根 B.有整数根 C.两根的倒数和小于-1 D.以上 结论都不对

分析:由△＞0可排除A；设方程有二整数根x1和x2，则

x1+x2=-123456789，x1x2=987654321。由x1x2=987654321是奇数，得x1和x2都是奇数，此时x1+x2应为偶数，而-123456789是奇数，所以

方程没有整数根，可排除B；设方程两个根分别为x1和x2，则

12345678911x1?x2==-＞-1，可排除C。 ?987654321x1x2x1x2故应选D。

以上是选择题常用的几种解法，但是许多选择题并不限于一种解法，而是可以采用多种解法，而且有时几种方法混合使用，例如可以先用排除法或特例法淘汰几个选择支，然后再集中精力对剩下的选择支用直接法或验证法进行肯定和否定。

综上所述,数学选择题的解法是相当灵活的。只有经常进行这方面的训练，解题技巧才能熟练掌握。

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