第二部分 圆锥曲线（一）---椭圆
知识点一：1、平面内与两个定点F）的点的1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2轨迹称为椭圆．即：|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。 注意：若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2； 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 标准方程 x2y2?2?1 (a?b?0) 2aby2x2?2?1 (a?b?0) 2ab图形 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 性质 轴长 离心率 F1(?c,0)，F2(c,0) F1(0,?c)，F2(0,c) F1F2?2c x?a，y?b 关于x轴、y轴和原点对称 F1F2?2c x?b，y?a (?a,0)，(0,?b) 长轴长=2a，短轴长=2b (0,?a)，(?b,0) e?c(0?e?1) a准线方程 焦半径 a2x?? ca2y?? cPF1?a?ex0，PF2?a?ex0 PF1?a?ey0，PF2?a?ey0 x2y2y2x2注意：椭圆2?2?1，2?2?1(a?b?0)的相同点：形状、大小都相同；参数间
ababce?(0?e?1)，a2?b2?c2；不同点：两种椭圆的位置不同；的关系都有(a?b?0)和
a它们的焦点坐标也不相同。
知识点二：椭圆的标准方程
x2y2222 1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0)，其中c?a?b
ab
y2x22222．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0)，其中c?a?b；
ab注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有(a?b?0)和c2?a2?b2； 3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(?c,0)； 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,?c) 知识点三：椭圆的简单几何性质
x2y2椭圆：2?2?1(a?b?0)的简单几何性质
abx2y2（1）对称性：对于椭圆标准方程2?2?1(a?b?0)：说明：
ab把x换成?x、或把y换成?y、或把x、y同时换成?x、?y、
x2y2原方程都不变，所以椭圆2?2?1是以x轴、y轴为对称轴
ab的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线x??a和y??b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x?a，y?b。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
x2y2 ②椭圆2?2?1(a?b?0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
abA1(?a,0)，A2(a,0)，B1(0,?b)，B2(0,b)
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A2?2a,B1B2?2b。a和
b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e?2cc?。 2aa②因为(a?c?0)，所以e的取值范围是(0?e?1)。e越接近1，则c就越接近a，从而因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，b?a2?c2越小，
这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a?b时，c?0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x?y?a。注意：
22x2y2椭圆2?2?1的图像中线段的几何特征（如下图）：
ab
（1）(PF1（2）(BF1（3）A1F1?PF2?2a)；
PF1PM1?PF2PM2?e；(PM1?PM22a2?)；
c?BF2?a)；(OF1?OF2?c)；A1B?A2B?a2?b2；
?A2F2?a?c；A1F2?A2F1?a?c；a?c?PF1?a?c；
规律方法：
1．如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义
椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：
(a?b?0)，(a?c?0)，且(a2?b2?c2)。
可借助右图理解记忆：
显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
22 4．方程Ax?By?C(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件
x2By2Ax2By222??1，??1，即方程Ax?By?C可化为
CCCCABCC所以只有A、B、C同号，且A?B时，方程表示椭圆。当?时，椭圆的焦点在x轴上；
ABCC当?时，椭圆的焦点在y轴上。 AB5．求椭圆标准方程的常用方法：
2 ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
x2y2共焦点，则c相同。与椭圆2?2?1(a?b?0)共焦点的椭圆方程可设为
abx2y22??1(m??b)，此类问题常用待定系数法求解。 22a?mb?m7．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及
1余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式S?PF1F2?PF1?PF2?sin?F1PF2相
2
结合的方法进行计算解题。 将有关线段PFPF2、F1F2，有关角?F1PF2 (?F1PF2??F1BF2)结合起来，建1、立PF1?PF2、PF1?PF2之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e?c(0?e?1)，因为abc2?a2?b2，a?c?0，用a、b表示为e?1?()2(0?e?1)。
abb显然：当越小时，e(0?e?1)越大，椭圆形状越扁；当越大，e(0?e?1)越
aa小，椭圆形状越趋近于圆。 （二）椭圆练习题
一、选择题
1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 ( )
x2y2??1(A)
2520x2y2(B)??12025x2y2(C)??12045x2y2(D)??1
80852、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( ) (A)
11333 (B) (C) (D)或 22232x2y2??1中,F1、F2为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点F1,则?ABF23、椭圆63的面积为 ( ) （A）3 （B）
33 （C）43 （D）4 2x2y2?4、方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ( )
25-m16?m(A)-16 999 (C) (C) (D) 或 6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 ( ) (A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D) 3倍 2 7、椭圆ax2＋by2＋ab=0(a (A)(0，±a?b) (B)(±a?b，0) (C)(0，±b?a) (D)(±b?a，0) 8、椭圆x2+4y2=1的离心率为 ( ) (A) 32(B)22(C)52(D)2 9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= ( ) (A) 1133 (B) (C) (D) 3223x2y2x2y2??1(m<9)一定有 ( ) ??1与曲线10、曲线 25?m9?m259(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)相同的准线 二、填空题 11.(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6的椭圆的方程为________； (2)对称轴是坐标轴,离心率等于 3，且过点(2，0)的椭圆的方程是_______ 212.(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是__________； (2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是__________ x2y2?2=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_____轴上，坐标是_____ 13.已知椭圆 2aa1x2y2??1的离率为，则m= 14.已知椭圆 2m4三、解答题 x2y215、求椭圆2?2?1(a?b?0)的内接矩形面积的最大值 ab 16．已知圆x2?y2＝１，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹. 17．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是- 5. 5 (1)求椭圆的标准方程； （2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N 165，求直线l的方程. 两点，且MN?94，求顶点A的轨迹方程.? 918. （本小题满分15分）已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库椭圆知识点总结及经典习题练习在线全文阅读。
相关推荐：