第一讲：函数的极限与连续

第一章、函数、极限和连续（约20%）

一、函数

（一）．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。

1、函数的概念：

设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x?D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。已知函数

f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域。

2、定义域的求法原则

（1）分母不为零 （2）x，x?0 （3）lnx,x?0 （4）arcsinx,arccosx,?1?x?1

（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1、 求的定义域：（1）y?4?x2?ln?x2?1?

（2） y?1+x?ln?4?x??（3）y?【提升】

1 x?3x2?4?1 x?1例2、 当0?x?1是函数f(x)的定义域，求f(sin2x)的定义域。 例3、当0?x?4是函数f(x?2x?4)的定义域，求f(x)的定义域。

3、表达式、函数值

例4、下列各对函数中，两个函数相等的是 ———————————（ ） A．y?2xln(1?x)ln(1?x)2y?lnx与 B．与g?2lnx g?2xx2C．y?1?sinx与g?cosx D．y?x(x?1)与g?x?x?1 例5、（1）设f()?x?1?x(x?0)，则f(x)=______________

（2）设f(e)?x?1，则f(x) =______________

1

x1x2（3）若y??【提升】

?sinx2?x?1?2?x?00?x?2，则y()=______________

?2例6（1）已知f(x)?e，f(g(x))?1?x，且g(x)?0，求g(x)和定义域 （2）已知f(x)?sinx，f(g(x))?1?x，求g(x)和定义域 4、简单的分段函数图像

2x2?1,x?0?（1） sgnx??0,x?0，（符号函数）

??1,x?0?（2）取整函数 例如 y??x?

（二）．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 1.有界性

设f为定义在Ｄ上的函数．若存在正数Ｍ，使得对每一个x?D有|f(x)|?M，称f为Ｄ上的有界函数．

（１）几何意义：f为Ｄ上的有界函数，则f的图象完全落在y?M和y??M之间； （２）f在Ｄ上有界?f在Ｄ上既有上界又有下界；例子：y?sinx,y?cosx； 例１．函数f(x)?sinx在(??,??)内有界。 例２．函数f(x)?2．函数的单调性

定义 设f为定义在Ｄ上的函数，?x1,x2?D,x1?x2,

（１）若f(x1)?f(x2)，则称f为Ｄ上的增函数；若f(x1)?f(x2)，则称f为Ｄ上的严格增函数．

（２）若f(x1)?f(x2)，则称f为Ｄ上的减函数；若f(x1)?f(x2)，则称f为Ｄ上的严格减函数．

例３．讨论函数y?f(x)?2x?1的单调性。 例４．证明：f(x)?21为(0,1)内无界。 xx在(0,??)上是单调增加的。

注：１）单调性与所讨论的区间有关．在定义域的某些部分，f可能单调，也可能不

2

单调．所以要会求出给定函数的单调区间；

２）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分．更准确地

讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点．这一特征保证了它必有反函数． 3．函数的奇偶性

定义. 设Ｄ为对称于原点的数集，f为定义在Ｄ上的函数．若对每一个x?D有 （１）f(?x)??f(x)，则称f为Ｄ上的奇函数； （２）f(?x)?f(x)，则称f为Ｄ上的偶函数．

注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y轴对称；

（２）奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)?x,x?[0,1]没有必要讨论奇偶性．

??奇函数:y=sinx??（３）从奇偶性角度对函数分类：?； 偶函数:y=sgnx?非奇非偶函数:y=sinx+cosx??既奇又偶函数:y?0?（４）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右

边即可．

例5．讨论函数y?f(x)?x?2x的奇偶性。 例6．讨论函数y?f(x)?loga(x?42x2?1)的奇偶性。

例7．设f(x)是定义在(?l,l)上的任意函数，试证 （1）f(x)?f(?x)是偶函数；

（2）f(x)?f(?x)是奇函数。

4．函数的周期性

1、定义：设f为定义在数集Ｄ上的函数，若存在??0，使得对一切x?D有

f(x??)?f(x)，则称f为周期函数，?称为f的一个周期．

2、几点说明：

（1）若?是f的周期，则n?(n?N?)也是f的周期，所以周期若存在，则不唯一．如

y?sinx,??2?,4?,?．因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所

3

有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”．（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，

如：１）y?x?1，不是周期函数；

２）y?C（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期．

【综合】、设函数f(x)的定义域是全体实数，则函数f(x)?f(?x)是———（ ） A．单调减函数 B．偶函数 C．有界函数 D．周期函数

（三）．理解函数y =?(x)与其反函数y =?(x)之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。

1、设函数y?f(x),x?D．满足：对于值域f(D)中的每一个值y，Ｄ中有且只有一个值x，使得f(x)?y，则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为f的反函数，记作f注释

a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是Ｄ与

?1-1

:f(D)?D,(y|?x)或x?f?1(y),y?f(D).

f(D)之间的一个一一映射，称f?1为映射f的逆映射，它把f(D)?D；

b) 函数f与f?1互为反函数，并有:f?1?1(f(x))?x,x?D, f(f?1(x))?y,y?f(D).

c) 在反函数的表示x?f(y),y?f(D)中，是以y为自变量，x为因变量. 若按习惯做

?1法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数f的反函数f可以改写为

y?f?1(x),x?f(D).

2、求反函数

1?2x例1、（1）y?（2）y??x?1 1?2x（四）．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。

例1、分解复合过程： （1）y?sin（5）y?e

tan1； （2）y?lnx； （3）y?ex1xx； （4）y?cosx；

x32；（6）y?arctanx；（7）y?lnarcsine；（8）y?sin(2x?1)；

4

【提升】：求分断函数的复合函数

?1?x例2、（1）设f(x)???1x?0x?0，求f(f(x))

?x2（2）设f(x)????x

x?0x?0，g(x)???2?x?2?xx?0x?0，求f(g(x))

（五）．掌握基本初等函数的性质及其图像。 （六）．理解初等函数的概念。 （1）幂函数 y?x?a?R?

a它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在x??0,???内总有定义。当a?N或a?1，n?N时，定2n?1义域为R。常见的幂函数的图形如图1-1所示。

（2）指数函数 y?a?a?0，a?1?

x它的定义域为???，???，值域为?0，???。指数函数的图形如图1-2所示．

（3）对数函数 y?logax?a?0，a?1?

图1-2

定义域为?0，???，值域为???，???。对数函数

y?logax是指数函数y?ax的反函数。其图形见图1-3。

在工程中，常以无理数e＝2.718 281 828?作为指数函数和对数函数的底，并且记

ex?expx，logex?lnx，而

后者称为自然对数函数。

（4）三角函数 三角函数有 正弦函数y?sinx、 余弦函数y?cosx、 正切函数y?tanx、

5

图1-3

图1-4

例7求极限lim((x?a)(x?b)?x)

x???1x4：“1”型 （公式lim(1?)?e,lim(1?x)x?e的利用）

x??x?ox?1分析：①判断是否是“1?”型

1②转换成（1+□）的形式

1③则lim[f(x)]xg(x)?lim[（1+□）]?(x)?exlim?(x)x?ea

例8（1）lim(x??x?2ax)?8,求a x?a11?cosxx（2）求lim

x??11sin?cos?1xxlnsin5：无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量 例9求极限limx?arctanx?01 x6：用罗必达法则求极限

注意: ①零因式最好先用等价无穷小替换

②非零因式的极限可以先求出来

f(x)f/(x)0??lim/[1]“”型和“”型 （lim）

xg(x)xg(x)0?[2] “0??” 型

??limx??limf(x)?g(x)=?x?lim?x??g(x)[g(x)]/?lim?ax11/[]f(x)f(x)f(x)[f(x)]?lim?ax11/[]g(x)g(x)/ 其中f(x)→0 , g(x)→∞

注：①如f(x)或g(x)是ln[φ(x)]的形式，则该函数一般在分子

②分母一般较分子简单 [3] “1” 型﹑“0” 型﹑“?” 型

limx?00lim[f(x)]g(x)?limeg(x)?lnf(x)?exxlnf(x)1g(x)limx?e[lnf(x)]/1/[]g(x)?ea

[4] “???” 型

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分析：一般采用通分的方式转化为“小替换求极限 例10 求极限 (1)limex(x???0?”型和“”型，然后利用罗必达法则及等价无穷0?11?) （2）lim(n?n??xx?11e?1x1x1n)(令

1?x) n(3)limxx??0k1?lnx （4）lim(x?e)

x???n1cos2xn?lnnlnn（5）lim() ) （6）lim(2?n??n?lnnx?0sinxx27:不能用罗必达法则求解的“

0?”型和“”型 0?分析：一般采用等价无穷小替换和无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量

x2sin例11求极限limx?0sinx1x

三、连续

（一）．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。会判断分段函数在分段点的连续性。

连续定义：limf(x)?f(x0)?lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)

x?x0x?x0x?x0?sinx?例1、(1)如f(x)??x1?x?(1?x)x?0,讨论f(x)在x?0处的极限是否存在

x?0?sin3x?x?0?1?cosbx(2)已知f(x)?? 如果limf(x)存在,求b

x?0?3?ln(1)x?0?1?2x?x（二）．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判

断间断点的类型。

1、找间断点：（1）初等函数---无定义点；（2）分段函数---分段点 2、类型：

如果单侧极限lim?f(x)及lim?f(x)都存在，则x0称为第一类间断点；

x?x0x?x0如果单侧极限lim?f(x)及lim?f(x)中只少有一个不存在，则称x0为第二类间断点．

x?x0x?x0 12

如果间断点处至少有一个单侧极限为无穷大，则称该间断点为无穷间断点；如果间断点处的左右极限都存在，但不相等，称该间断点为跳跃间断点；如果间断点处的左右极限都存在且相等，那么，只要令该点的函数值为该点的极限值，则函数连续，因此，称该间断点为可去间断点。

x2?111例2、（1）f(x)?；（2）f(x)?sin；（3）f(x)?；

x?1x?1x （4）f(x)?x?2x?1f(x)?； （5）； 2(x?1)(x?4)x?x?2?x2?1,x?0?sinx,x?0?? （6）f(x)??0,x?0；（7）f(x)??x

??x?1,x?0?2,x?0?（三）．理解“一切初等函数在其定义区间上都是连续的”，并会利

用初等函数的连续性求函数的极限。

（四）．掌握闭区间上连续函数的性质：最值定理(有界性定理)，介值定理(零点存在定理)。会运用介值定理推证一些简单命题。

定理1（最值存在定理）：

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一定有最大值M和最小值m（见图1-39）．也就是说，存在?,??[a,b]，使得对一切x?[a,b]，有不等式

f(?)?f(x)?f(?)成立．

定理2（有界性定理）：

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一定有界．即存在常数K?0，使f(x)?K对任一x?[a,b]都成立．

M y y f(b) m O a ? ? bx 图1-39

定理3（零点存在定理）：

? O a ? b x f(a) 图1-40

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0，则在开区间(a,b)内至少存

13

在函数f(x)的一个零点（见图1-40），即至少存在一点?（a???b），使得f(?)?0．

定理4（介值定理）：

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在此区间的端点处取不同函数值

f(a)?A及f(b)?B，

那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少存在一点?（a???b），使得f(?)?C．

例1、（1）求证：五次代数方程x?5x?1?0在区间(1,2)内至少有一个根． （2）证明：三次代数方程x?4x?1?0在开区间(0,1)内至少有一个根．

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2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一、填空题：

sinxx的连续区间是____________________. ?e2x(x?1)1?2．lim.

x???2_________________x(x?x?4)__________1．函数y??1?1(x?1)2e,x?1?2(x?1)??4．当a?_____,b?____时，函数f(x)??a, x?1,在点x=1处连续.

?bx?1, x?1???2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一、填空题：

1．lim2?3?5?__________________。

n??nnnn6x?x2?82．函数f(x)?2的间断点是______________________。

(x?2x?3)(x?5)?1?(1?x?1?x), x?03．若f(x)??x在x?0处连续，则A?________________

??A, x?0二．选择题.

1． 函数f(x)的定义域为?0,1?，则函数f(x?)?f(x?)的定义域是（）

1515?A????14??16??14?,? ?B??,? ?C??,? ?D??0,1? ?55??55??55?2． 当x?0时，与x不是等价无穷小量的是???[ ]

2x ?C?tanx?x3 ?D?sinx?x ?A?sinx?x2 ?B?x?sin三．计算题：

?1x?3x2) 1．计算lim(x??x?62007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一、填空题： 1．函数y?1的定义域是______________________。

lg?x?2?二．选择题：

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??1?x?1?3??x?1?sin??1．设f?x???，则x?1是f?x?的 【 】。 ?x?1?

x?12?3x?2lnx??A?.连续点， ?B?.跳跃间断点， ?C?.无穷间断点， ?D?.振荡间断点。

三．计算题： 3．计算极限lim?x?01?cosx。 x2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一. 选择题

1.函数f?x??x?1cosx是（ ）.

2???A?奇函数 ?B?偶函数 ?C?有界函数 ?D?周期函数

2.设函数f?x??x，则函数在x?0处是（ ）.

?A?可导但不连续 ?B?不连续且不可导 ?C?连续且可导 ?D?连续但不可导

二.填空题: 1.计算lim1x sin?x?0x_________________2三.计算题:

ex?11.计算lim.

x?0x2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一. 选择题

1．函数y?1?x?arccosx?1的定义域是 （ ） 2A．x?1 B．(?3,1) C．[?3,1) D．?3?x?1 2．极限limsin3x等于 （ ）

x?0x1A．0 B． C．3 D．1

3二.填空题:

x2?x?6? ． 1．limx?2x2?4 16

?ex, x?02．设函数f(x)??，在点x?0处连续，则a? ．

?a?x, x?0三.计算题:

ex?e?x1．计算lim．

x?0x一、选择题

1. 下列函数相等的是 （ ）

2010年浙江省专升本《高等数学》试卷

x2A．y? ,y?x B．y?x2 ,y?x

x2C． y?x ,y?(x) D．y?|x| ,y?x2 二、填空题

1. 当x?0时，2x?asinx与x是等价无穷小，则常数a等于 ．

?sin2x?e2ax?1, x?0?2. 设函数f(x)??在(??,??)内连续，则a? ． x? a x?0?三、计算题 1. 求lim(?x?01x1)． xe?12011年浙江省专升本《高等数学》试卷

1?x)的定义域为 （ ） 1?x一、选择题

1. 函数f(x)?arcsin(1?x)?ln(A．[0,1) B．[0,2) C．(?1,1) D．(?1,2] 二、填空题

1. limx[ln(x?2)?lnx]? ．

x????sinx, x?0?2. 设函数f(x)??x在(??,??)内处处连续，则a? ．

??a, x?0 3. 当x?0时，f(x)与1?cosx等价，则limx?0f(x)? ．

xsinx三、计算题

ex?etanx1. 求极限lim。

x?0xtan2x 17

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