线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

1、若A,B为n阶方阵，则 A?B?A?B. ????????( ) 3、n元非齐次线性方程组Ax?b有解的充分必要条件R(A)?n.?( ) 4、A为正交矩阵的充分必要条件AT?A?1.??????????( ) 5、设A是n阶方阵，且A?0，则矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合. ??????????????????????( ) 二、填空题：(每空2分，共20分)

1、A,B为 3 阶方阵，如果 |A|?3,|B|?2，那么 |2AB?1|? . 2、行列式中元素aij的余子式和代数余子式Mij,Aij的关系是 . 3、在5阶行列式中，项a13a32a24a41a55所带的正负号是 .

2、可逆方阵A的转置矩阵AT必可逆. ???????????( )

?6???4、已知A??201?,B??5???2???则AB? .

?5?2??1A? . ?5、若A??，则??21????1010?8???6、设矩阵?01?1013?是4元非齐次线性方程组Ax?b的增广矩阵,则

?00012???Ax?b的通解为 . 7、R?A?B? R?A??R?B?.

8、若A*是A的伴随矩阵，则AA*? .

1??11??9、设A??012?，则当t 时，A的行向量组线性无关.

?00t?5???10、方阵A的特征值为?，方阵B?A2?4A?3E，则B的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)

1

1041121、已知4阶行列式D??21?21?1621，求2A11?A21?A31?3A41. 21?101???2、设矩阵A和B满足AB?E?A2?B，其中A??020?，求矩阵B.

?101????x1?x2?x3?x4?0??x?x?2x?x?0?1234四、(10分) 求齐次线性方程组? 的基础解系和它的通解.

?3x1?x2?2x3?5x4?0??2x1?2x2?4x3?2x4?0五、(10分) 设三元非齐次线性方程组Ax?b的增广矩阵为

?1?1??2??1???(1??)?， ?0??1?2?00(1??)(2??)(1??)(1??)??讨论当?取何值时，Ax?b无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.

?3??1??7???2?????????224?2????????六、(10分) 判断向量组A:a1???,a2???,a3???,a4??的线性相关性，?12?66??????????1??3???4???1?????????如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量. 七、综合计算：（本题14分）

222已知二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x3

（1）求二次型所对应的矩阵A，并写出二次型的矩阵表示； （2）求A的特征值与全部特征向量；

（3）求正交变换X?PY化二次型为标准形, 并写出标准形； （4）判断该二次型的正定性。 八、证明题：(每小题5分，共10分)

1、已知向量a1,a2,a3线性无关，证明 b1?2a1?3a2,b2?a2?4a3,b3?5a3?a1线性无关.

2

2、某矿产公司所属的三个采矿厂a1,a2,a3，在2011年所生产的四种矿石

b1,b2,b3,b4,b5的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：

矿石产量 工厂 b1 100 80 30 2 b2 20 20 60 3 b3 30 20 10 6 b4 50 70 60 5 b5 20 30 50 4 a1 a2 a3 各矿石单价 （1）做矩阵A3?5表示2011年工厂ai产矿石bj的数量(i?1,2,3;j?1,2,3,4,5)； （2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.

模拟试题二

一、 判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分） （ ） 1、设A,B为n阶方阵，则A?B?A?B；

（ ） 2、可逆矩阵A总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E； （ ） 3、设矩阵A的秩为r，则A中所有r?1阶子式必不是零； （ ） 4、 若x??1,x??2是非齐次线性方程组Ax?b的解，则x??1??2 也是该方程组的解.

（ ） 5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。 二、 填空题（每小题2分，共16分）

1、排列7623451的逆序数是 ；

122、设四阶行列式D4?342341341241，则A14?2A24?3A34?4A44? ， 23其中Aij为元素aij的代数余子式；

3

3、设A、B均为5阶矩阵，A?1,B?2，则?BA?1? ； 24、3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，其中?1?(2,5,1,3)T，?2?(10,1,5,10)T

?3?(4,1,?1,1)T，则?? ；

?k???2??1?????5、已知向量组A:?1??，向量当k 时，b可由A,??b??2?2?1??1??，??????线性表示，且表示法唯一；

?1?123?6、设齐次线性方程组AX?0的系数矩阵通过初等行变换化为?010?2?，则

????0000??此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 ； 7、设向量??(1,?2,?1)T，?=??2,?,2?T正交，则?? ；

8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。

三、计算题（每小题8分，共16分）

??1?4??10???1、设矩阵A??,B??1??21??，求矩阵AB和BA。 1?????2??6??11?1??，B??3?，C??6? 2、已知矩阵A???211?????????0??111??6?????求矩阵方程AX?B?C。

四、 计算题（每小题8分，共16分）

?1??k??2??????， 1、已知向量组?1??0,??k?2,??k?2??2??3???0??1?k???2???????（1）k取何值时，该向量组线性相关； （2） k取何值时，该向量组线性无关， 说明理由。

2222、已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3，

(1) 写出此二次型对应的矩阵A;

4

(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。 五、 计算题（每小题10分，共20分）

?1?2?1?2??241、设矩阵A=?2?10??333?02??6?6?.

23??34??求：（1）矩阵A秩；（2）矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。．

?x1?x2?x3?x4?2?2、求非齐次线性方程组?2x1?3x2?x3?x4?1所对应的齐次线性方程组的基础解

?x?2x?2x?534?1系和此方程组的通解。

?131??

六、（12分）设矩阵A??0?11???002???(1) 求矩阵A的特征值和全部的特征向量；

(2) 求可逆矩阵P，使得P?1AP??（其中?是对角矩阵），并写出对角矩阵?。 七、（5分）证明题

设方阵A满足A2?A?E?O，证明：A可逆并求它的逆矩阵。

八、（5分）应用题

假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：

1商店2 苹果橘子梨 人员1人员2 商店苹果?0.100.15?人员1?5??橘子?0.150.20? ?人员2?4梨??0.100.10??103?城镇1?1000500? ?20001000? 55?城镇2???设第一个矩阵为A，第二个矩阵为B，而第 三个矩阵为C。

（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？

模拟试题三

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

5

1、A,B为n阶方阵则 AB?BA （ ）

2、设A为m?n(m?n)矩阵，则Ax?b有无穷多解。 （ ） 3、向量组A1是向量组A的一部分，向量组A1线性无关，则向量组A一定线性相关； （ ） 4、设?1,?2是方阵A的特征值，则?1??2也是方阵A的特征值。

（ ） 5、4个3维向量一定线性相关。 （ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)

1、已知A为3阶方阵，且A??2，则?2A? ；

2、六阶行列式中某项a15a21a36a42a53a64带有的符号为 ； 3、设A为n阶方阵，满足A2?A?E，则A?1? ； 4、设?1,?2是n元非齐次线性方程组Ax?b的两个解，且A的秩R(A)?n?1，则的通解Ax?bx? ；

5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为

-11??102?，则k? 时方程组无解， B=?01-300??2??000（1-k)k1?k??当k? 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基

础解系中有 个向量。

6、二次型f??2x2?4xy?6y2?4z2?4xz的秩为 ，正定性为 （请选正定、负定、不定之一）。

7、方阵A的特征值为?，方阵B?A2?2A?3E，则B的特征值为 。 三、计算：(每小题8分，共16分)

10?11121、已知4阶行列式D??2101?1121，求2A11?A21?A31?2A41 216

?111???2、已知A??121?，试判断A是否可逆。若可逆，求A?1，若不可逆，求A的

?113???伴随矩阵A*

四、计算：(每小题10分，共20分)

?2x1?x2?x3?x4?0??x?x?2x?x?0?12341、求齐次线性方程组? 的基础解系和它的通解。

?4x1?2x2?2x3?2x4?0??2x1?2x2?4x3?3x4?0?x?y?z?0?2、已知线性方程组 ??2x?3y?3z?2有解，求a，并求全部解；

?2x?y?z?a??1??2???2??0??????????0??1???1???1?,??,??五、 (10分)判断向量组?1???,?2?? 34??????1?202?????????1??0??1??1?????????的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。

六、综合计算：（本题14分）

222二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2

（1）求二次型所对应的矩阵A，并写出二次型的矩阵表示 （2）求A的特征值与全部特征向量；

（3）求正交矩阵P，使P?1AP为对角形矩阵。 （4）求正交变换X?PY化二次型为标准形 （5）写出标准形

七、证明题：(每小题5分，共10分)

1、设?0是非齐次线性方程组Ax?b的一个解，?1,?2,?3是对应的齐次线性方程组

Ax?0的一个基础解系，证明： ?0,?1,?2,?3线性无关；

2、某石油公司所属的三个炼油厂a1,a2,a3，在2010年所生产的四种油品b1,b2,b3,b4 的数量（单位：吨）及各种油品的单位价格（元/吨）如下表：

7

油品产量 工厂 b1 5 7 6 100 b2 2 3 2 150 b3 3 1 1 130 b4 4 5 3 110 a1 a2 a3 各油品单价 （1）做矩阵A3?4表示2010年工厂ai产油品bj的数量(i?1,2,3;j?1,2,3,4) （2）计算三个工厂在2010年的生产总值。

模拟试题四

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

1、设A,B均为n阶方阵,则若A或B可逆,则AB必可逆. （ ）

2、已知A,B是n阶方阵，k为整数，则(AB)k?AkBk. （ ）

3、已知向量组?1,?2,?3,?4的秩为3，则?1,?2,?3,?4中至少有三个向量线性无关. （ ）

4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价. （ ） 5、设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，p1,p2是对应的特征向量，则p1与p2正交. （ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)

1、4阶行列式det(aij)中含a13,a21的带正号的项为 . 2、A,B为 3 阶方阵，如果A?2,B?3，那么3AB?1? .

3、m个n维向量构成的向量组a1,a2,?,am线性相关的充分必要条件是矩阵

A?(a1,a2,?,am)的秩R(A) 于向量个数m.

4、若n元非齐次线性方程组Am?nx?b有解且R(A)?r，则当 时，方程组有无穷多解.

8

4395、行列式D?571中元素a21?5的代数余子式A21? .

354?2?1??1A? . ?6、已知A?? 则,??73???11111，则A21?A22?A23?A24的值为 ，其1?11?1111?11117、已知4阶行列式D?中Aij为D的第i行第j列元素的代数余子式.

4??10??8、矩阵A??02?1?对应的二次型是 .

?4?13???302??3??9、矩阵A???1?430?的列向量组的秩为 .

?1?56?2???10、已知??2是A特征值，且A可逆，则 是A?1的特征值. 三、计算：(每小题8分，共16分)

?100??100?????1、已知矩阵A??001?，B??020?，求（1）A2； （2）A2012?2BT?010??003????????1.

?23?2、设矩阵A和B满足关系式AB?E?A2?B，其中A???45??，求矩阵B.

???x1?x2?x3?4x4?3x5?0??x1?x2?3x3?2x4?x5?0四、(10分) 求齐次线性方程组?的一个基础解系和它

2x?x?3x?5x?5x?02345?1??3x1?x2?5x3?6x4?7x5?0的通解.

9

?1??0??1??1??6????????????13?12?12??????????a2???，a3???，a4???，a5??五、(10分)设有5个向量a1???，，

2310?21???????????0??14??0??4??2???????????求此向量组中的一个最大线性无关组，并用它表示其余的向量． 六、 (10分) 设非齐次线性方程组AX?b的增广矩阵为

?1??0B=?0??0?02?11??1?300?，

001?k1?k??2?00(1?k)k1?k?讨论它的解的情况，何时无解，何时有无穷多个解，并说明理由；有无穷多个解

时求出该方程组的通解. 七、（本题14分）设二次型

222f(x1,x2,x3)?XTAX?x1?x2?6x3?4x1x2?6x1x3?6x2x3，

（1）求二次型的矩阵A；

（2）求矩阵A的特征值及全部特征向量； （3）判断矩阵A是否可以对角化； （4）判断它是否为正定二次型. 八、综合题：(每小题5分，共10分)

1、证明题：设b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,证明向量组

b1,b2,b3,b4线性相关.

2、应用题：已知某公司生产两种产品B,C，对每美元价值的产品B，公司需耗费0.45美元材料，0.25美元劳动，0.15美元管理费用，对每美元价值的产品C，公司需耗费0.40美元材料，0.30美元劳动，0.15美元管理费用。设公司希望生产x1美元产品B和x2美元产品C，试给出描述两种产品的“单位美元产出成本”向量和该公司花费的各部分成本（材料，劳动，管理费用）的向量。

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