高中数学~数列专题复习

高中数学 数列专题复习

考点1：数列的有关概念 1．在数列{an}中，a1?2， 解：A．

1an?1?an?ln(1?)，则an?

n

111) a2?a1?ln(1?)，a3?a2?ln(1?)，…，an?an?1?ln(1?2n?11234?an?a1?ln()()()123(n)?2?lnn n?12．已知an?n?(n?N)，则数列?an?的最大项是 2n?156an?

可以看成

解：数列可以看成一种特殊的函数即

f(X)?X(X?N?)2X?156n?(n?N)2n?156通过求函数的最大值可知第12项和第13项最大．

n3．在数列{a}中，an?1?22?33?(n?N?)，(n?N?)，在数列{bn}中，?nn，bn?cos(an?)，

则b2008?b2009?_________．

nn解：a的奇偶性为：奇，奇，偶，偶，奇，奇，偶，偶，…，从而b分别为：

1，1，?1，?1，1，1，…，周期为?1，?1，

24，所以，b11??a1?aa?a3242008?b2009?1?(?1)?2．

4．已知数列{an}的通项公式为an＝n?1，设Tn?解：

Tn??1an?a2n?，求Tn．

1an?an?2＝

4＝2（1－1）．

n?1n?3(n?1)(n?3)?1＝2[（12an?an?2

11??a1?a3a2?a4－1）＋（1－1）＋（1－1）＋……＋（143546n－

1）＋（1－1）]＝2（1n?2n?1n?32＋1－

31－1） n?2n?3考点2：等差数列

1．（2010辽宁文数）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3?3，S6?24，则

a9?

．

解析：填15．

3?2?S?3a?d?31??a1??1?32,解得，?a9?a1?8d?15. ??6?5d?2??S?6a?d?2461?2?n2．在等差数列{a}中，若a1，则?a?a?a?a?120a?a11的值为 468101293 16 ．

解：利用等差数列的性质得：a4?a6?a8?a10?a12?5a8?120 ，a8?24，a9?1a11=

312a8?d?(a8?3d)?a8?16

333．在等差数列{an}中，a2,则a5?a6?a9?a12?a13? a16是方程x2?6x?1?0的两根， ．

解：a2?a6=2a9=6，?a9=3，?a5?a6?a9?a12?a13?5a9=15

4．等差数列{an}共有2n?1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________． 解：依题意,中间项为an?1,于是有??(n?1)an?1?319

?nan?1?290解得an?1?29．1分析：本题

主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为a1和q处理，也可利用等比数列的定义进行求解．设公比为q，由题知，??a1?32?a1?a1q?a1q?21得q?2或q??3?0（舍去)，∴a3?a4?a5?84

an?an2?bn，n?N*,其中a,b为常数，

5．在数列{an}在中，an?4n?5，a1?a2?2则ab? ．

解：∵an?4n?5,∴a1?3,从而Sn22n(?35?4n?)22?2n2?n22．∴a=2，b??1，则ab??1

2n6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且Aa7b7Bn?7n?45，n?3= ．

?解：解法1：“若2m?p?q,m,p,q?N，则am?解法2：可设

ap?aq2”解析：a7b7，则

=

(a1?a13)?13A172?13?(b1?b13)?13B1322

An?k(n7?n4，5Bn?kn(n?3)an?An??A?(1k41nn?3，8 )

bn?k(2n?2)，则

a7b7=k(14?7?38)?17

k(2?7?2)27．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S4?10,S5?15，则a4的最大值为___________．

解：∵等差数列?an?的前n项和为Sn，且S4?10,S5?15 ∴

4?3?S?4a?d?101??42??S?5a?5?4d?1551??2 即

?2a1?3d?5??a1?2d?3 ∴

5?3d5?3d?a?a?3d??3d??4122??a4?a1?3d??a1?2d??d?3?d? ∴

5?3d?a4?3?d，5?3d?6?2d，d?1∴a4?3?d?3?1?4 2 故a4的最大值为4．

8．（2010湖北卷理）已知函数

f(a2?a4?a6?a8?a)?4, 10f(x)?2x,等差数列{ax}的公差为2．若

则log2[f(a1)?f(a2)f(a3)??f(a10)]?

．

解：依题意a2?a4?a6?a8?a10?2，所以a1?a3?a5?a7?a9?2?5?2??8

∴f(a1)?f(a2)?f(a3)??f(a10)?2a1?a2??a10?2?6?log2[f(a1)?f(a2)?f(a3)??f(a10)]??6

考点3：等比数列

1．（2010福建数）在等比数列?an?中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an? ．

【解析】由题意知a1?4a1?16a1?21，解得a1?1，所以通项an?4n-1． 2．（2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________ 解析：在点(ak,ak2)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),当y?0时，解得x?ak，

2所以ak?1?ak,a1?a3?a5?16?4?1?21．

23．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1?3，前三项和为21，则

a3?a4?a5?

解：84

4． 已知等比数列?an?的各项都为正数，它的前三项依次为1，a?1，2a?5则数列?an?的通项公式是an= ．解：a=3．

n?1n5． 三个数a,b,c成等比数列，且a?b?c?m(m?0)，则b的取值范围是 ． 解：[?m,0)?(0,m]． 解：设a?b,c?bq，则有b?b?bq?m,3qq1mb?0,??q?1?．

qbm当q?0时，m?1?q?1?3，而b?0，当q?0时，m?1?q?1??1，即m??1，?0?b?；

bq3bqb而m?0，?b?0，则?m?b?0，故b?[?m,0)?(0,m]

3考点4：等差数列与等比数列综合应用

1．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等

差数列，则q的值为 ．

a1(1?qn)a1(1?qn)a1(1?qn?1)a1(1?qn?2)解：Sn?，2Sn?Sn?1?Sn?2，则有2?， ??1?q1?q1?q1?q，q?1时，2Sn?2n?Sn?1?Sn?2?(n?1)?(n?2)?2n?3 ?q2?q?2?0，?q??2．

2．在△ABC中，tanA是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，

tanB是以

1为第33项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形

是 ．

解：锐角三角形．由题意得4??4?4tanA?tanA?2?0，9?1tan3B?tanB?3?0

3故tanC??tan(A?B)??tanA?tanB?1?0, ?ABC是锐角三角形．

1?tanAtanBn3．对于数列{a}，定义数列{?a}满足：

n?an?an?1?an，（n?N?），定义数列{?2an}满足：

1?2an??an?1??an，（n?N?），若数列{?2an}中各项均为1，且a21?a2008?0，

则a?__________．

解：由数列{?a}中各项均为1，知数列{?a}是首项为?a，公差为1的等

2nn1差数列，所以，an1?a1???ak?a1?(n?1)?a1?(n?1)(n?2)．这说明，an是关于n的

2k?1n?1二次函数，且二次项系数为1，由a2a1?20070．

1，得?a?0a?(n?21)(n?2008)，从而212008n24．在数列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n． （Ⅰ）设bn?an2n?1．证明：数列?bn?是等差数列； （Ⅱ）求数列?an?的

前n项和Sn．

解：（1）an?1?2an?2n，ann?1?2an?1， bn?1?bn?1， 2n?1则bn为等差数列，b1?1， bn?n，an?n2n?1．

（2）Sn?1?20?2?21?3?22???(n?1)?2n?2?n?2n?1

2Sn?1?21?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n 两式相减，得

Sn?n?2n?1?20?21?22???2n?1?n?2n?2n?1

5．等差数列{an}的各项均为正数，a1?3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列,

b1?1，且b2S2?64, b3S3?960．

(1)求an与bn； (2)求和：1S1?1?S2?1Sn．

解、（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，

an?3?(n?1)d，bn?q?6n?1

?S3b3?(9?3d)q2?960依题意有?①

?S2b2?(6?d)q?64d??d?2??5(舍去) 解得?或,??40?q?8???q?3故an?3?2(n?1)?2n?1,bn?8n?1

（2）Sn?3?5?∴1??(2n?1)?n(n?2)

?1 n(n?2)S1?1?S2?1111????Sn1?32?43?5?111111(1??????23243511111132n?3?)?(1???)??nn?222n?1n?242(n?1)(n?2)

An、Bn,

6．已知直线

22?与圆C:x?y?2a?n?2(n?N)交于不同点:y?x?2nnnn其中数列{an}满足：a1?1,an?1?14AnBn2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn?n(an?2),求数列{bn}的前n项和Sn．

3解:（1）圆心到直线的距离d??an?1?(n，

1AnBn)2?2an?2,则an?1?2?2(an?2) 2?易得an?3?2n?1?2nbn?(an?2)?n?2n?1,3（2）Sn?1?20?2?21?3?22?????n?2n?1

2Sn?1?21?2?22?3?23?????n?2n相减得Sn?(n?1)2n?1

其中数列{an}满足：a1?1,an?1?14AnBn2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn?n(an?2),求数列{bn}的前n项和Sn．

3解:（1）圆心到直线的距离d??an?1?(n，

1AnBn)2?2an?2,则an?1?2?2(an?2) 2?易得an?3?2n?1?2nbn?(an?2)?n?2n?1,3（2）Sn?1?20?2?21?3?22?????n?2n?1

2Sn?1?21?2?22?3?23?????n?2n相减得Sn?(n?1)2n?1

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