2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷Word版含答案

2018年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷

一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合M={0,2,4}, N={1,2,3}, P={0,3}, 则(M?N)?P= （ ） A.{0,1,2,3,4} B.{0,3} C.{0,4} D.{0} 2.函数y=lg(x+1) 的定义域是（ ）

A.(??,??) B. (0,??) C. (?1,??) D. [?1,??)

1?i3.设i 为虚数单位,则复数i= （ ）

A. 1+i B.1-i C. -1+i D. -1-i 4.命题甲：球的半径为1cm;命题乙:球的体积为4?cm3

3,则甲是乙的（ ）

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知直线l过点A(1,2),且与直线y?12x?1垂直,则直线l 的方程是（ ） A. y=2x B. y=-2x+4 C. y?12x?3152 D. y?2x?2

6.顶点在原点，准线为x=-2的抛物线的标准方程是（ ）

A.y2?8x B. y2??8x C. x2?8y D. x2??8y

7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),则AB?BC?（ ）

A. 5 B. 4 C. 13?2 D. 13?2 8.已知角?的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P

?5,?2?,下列等式不正确的是（

）A. sin???2255 B. sin(???)? C. cos?? D. tan??? 33239.下列等式恒成立的是（ ）

2?1x23A. (x?0) B. (3)?x3x?3x2

C.log3(x2?1)?log32?log3(x2?3) D. log310.已知数列{an}满足a11??x x3?1,且an?1?an?2,则{an}的前n项之和Sn=（ ）

nn?12A. n?1 B. n2 C. 2?1 D. 2

x?311.已知实数x, y, z满足 y?x,则z=2x+y的最大值为（ ）

x?y?2A. 3 B. 5 C. 9 D. 10

12.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ）

A.(x?2)2?(y?5)2?32 B. (x?2)?(y?5)?18 C. (x?2)2?(y?5)2?32 D. (x?2)?(y?5)?18 13.下列不等式一定成立的是（ ）

A.x?222211?2 (x?0) B. x2?2?1 (x?R) xx?122C. x?1?2x (x?R) D. x?5x?6?0 (x?R)

14.已知f (x)是定义在R上的偶函数,且当x?(??,0]时, f(x)?x2?sinx,则当x?[0,??]时,

f(x)?（ ）

2222A. x?sinx B. ?x?sinx C. x?sinx D. ?x?sinx

15.已知样本x1,x2,x3,x4,x5的平均数为4, 方差为3, 则x1?6,x2?6,x3?6,x4?6,x5?6的平均数和方差分别为（ ）

A. 4和3 B. 4和9 C. 10和3 D. 10和9 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

516.已知x >0, 且,x,15成等比数列,则x= 317. 函数

f(x)?sinxcos(x?1)?sin(x?1)cosx的最小正周期是

18.从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字,将它们组成一个两位数,该两位数小于20的概率是 19.中心在坐标原点的椭圆,其离心率为

1,两个焦点F1 和F2在x轴上,P为该椭圆上的任意一点,若| PF1 2|+|PF2|=4,则椭圆的标准方程是

三、 解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明，证明过程和验算步骤） 20.?ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知（1）证明: ?ABC为等腰三角形； （2）若a=2, c=3,求sin C的值.

ab? cosAcosB21.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA?AB, PA?AD,AC?CD,?ABC?60o, PA=AB=BC=2. E是PC的中点.

（1）证明: PA?CD； （2）求三棱锥P-ABC的体积； （3）证明: AE?平面PCD.

2018年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷（答案解析）

1、B 解析：?M?N??0,1,2,3,4? ?(M?N)?P??0,3?. 2、C 解析：?对数函数要求真数大于0 ?x?1?0?x??1.

1?i(1?i)ii?1????i?1??1?i. ii?i?143424、C 解析：充分性：若R?1cm，则V??R?cm；同样利用此公式可证必要性.

333、D 解析:

5、B 解析：?两直线垂直?k1k2??1 ?直线l的斜率为k??2. 根据点斜式方程y?y0?k(x?x0)可得y?2??2(x?1)，整理得y??2x?4. 6、A 解析：由准线方程x??2可知焦点在x轴上 ??p??2?p?4 2由y2?2px可得y2?8x.

7、A 解析：?AB?(3,?2),BC?(1,?1) ?AB?BC?(4,?3)

?AB?BC?42?(?3)2?5.

8、D 解析：?r?x2?y2?(5)2?(?2)2?3,sin??yxy,cos??,tan?? rrx?A,B,C正确，D错误tan??y?225. ???x559、D 解析：A.

13x?x(x?0)；B.(3x)2?32x；C.log2(x2?1)?log22?log22(x2?1).

?1310、B 解析：由已知可得?an?为首项为1，公差为2的等差数列

?Sn?na1?n(n?1)n(n?1)d?n??2?n2. 2211、C 解析：如图，画出可行域，当直线y??2x?z平移经过点A时在y轴上的截距z取得最大值，由

?x?3?x?3得?A(3,3) ?zmax?2?3?3?9. ???y?x?y?312、D 解析：圆的标准方程为（x?a)?(y?b)?r， 其中圆心为C(222?1?58?21,)?(2,5)，半径为r?(?1?5)2?(8?2)2?32 222（x?2)2?(y?5)2?18. ?所求圆的标准方程为

13、B 解析：A选项：错在x可以小于0； B选项：x?211122?x?1??1?2(x?1)??1?1 x2?1x2?1x2?11，即x?0时等号成立） x2?12（当且仅当x?1?222C选项：?x?1?2x?(x?1)?0 ?x?1?2x

D选项：设y?x?5x?6可知二次函数与x轴有两个交点，其值可以小于0.

14、A 解析：?f(x)是定义在R上的偶函数，且当x?(??,0]时, f(x)?x?sinx 当x??0,???时，?x????,0? ?f(?x)?(?x)?sin(?x)?x?sinx?f(x)

2222?当x??0,???时，f(x)?x2?sinx.

15、C 解析：平均数加6，方差不变.

216、5 解析：?,x,15成等比数列 ?x?535?15?25 又?x?0 ?x?5. 317、? 解析：?f(x)?sinxcos(x?1)?cosxsin(x?1)?sin(x?x?1)?sin(2x?1)

?函数f(x)的最小正周期为T?2???2???. 218、

1 解析：所有可能的基本事件有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43共12个，其431?. 124中小于20的两位数有12，13，14共3个，由古典概型计算公式可得该两位数小于20的概率为P?x2y2x2y2??1 解析：根据焦点在x轴上可设椭圆标准方程为2?2?1 19、43ab离心率e?c1?，长轴长2a?PF1?PF2?4 a2?a?2,c?1,b?a2?c2?22?12?3

x2y2??1. ?所求椭圆的标准方程为43ab? cosAcosBsinAsinB?由正弦定理得，，即tanA?tanB cosAcosB20、解：（1）证明：?又?A,B?(0,?) ?A?B ??ABC为等腰三角形. （2）由（1）知A?B ?a?b?2

222根据余弦定理，得 c?a?b?2abcosC

222即3?2?2?2?2?2cosC?cosC??1 8又?C?(0,?) ?sinC?1?cosC?1?()?218263. 821、解：（1）证明：?PA?AB，PA?AD，AB?AD?A，AB,AD?平面ABCD

?PA?平面ABCD 又 ?CD?平面ABCD ?PA?CD

（2）由（1）知PA?平面ABCD

1111123（3）证明：?VP?ABC?S?ABC?AP??AB?BCsin?ABC?PA???2?2?sin60??2?332323?PA?CD，AC?CD，PA?AC?A，PA,AC?平面PAC ?CD?平面PAC 又?AE?平面PAC ?CD?AE

?AB?BC?2,?ABC?60? ??ABC为等边三角形，且AC?2

?PA?AC?2 又?E为PC的中点 ?AE?PC

又?AE?CD，PC?CD?C，PC,CD?平面PCD

?AE?平面PCD.

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