大学物理课后习题总结

8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．?

解: 如题8-2图示

Tcos??mg??2q?Tsin??F?1e2?4π?0(2lsin?)?解得 q?2lsin?4??0mgtan?

8-6 长l=15.0cm?的直导线AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m-1?的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强．? 解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

1dEP??dx24π?0(a?x)EP??dEP??4π?0l?2l?2dx(a?x)2??4π?0[1a?l2?1a?l2]

??lπ?0(4a?l)222用l?15cm，??5.0?10?9C?m?1,a?12.5cm代入得

EP?6.74?10N?C1?1

方向水平向右 ?dx22(2)同理? dEQ?有y分量， ∵dEQy?14π?0x?d2 方向如题8-6图所示由于对称性?dEQxl??0，即EQ只

?dx222d22224π?0x?dx?d EQy??dEQy?l?1d2?4π?2l?2l?2dx3

(x?d2)222?2π?0?ll?4d222以??5.0?10?9C?cm, l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向

?58-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×108cm ,12cm 各点的场强．

C·m-3求距球心5cm，

??解: 高斯定理?E?dS?s?q,E4πr?0?2??q

?0当r?5cm时，?q?0,E?0

r?8cm时，?q?p4π33(r ?r内)

3?∴ E?4π324π?0r?r3?r内2??3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外．

r?12cm时,?q??4π3 (r外?r内）33?∴ E?4π324π?0r?r3外?r内3?4?4.10?10 N?C?1

沿半径向外.

8-11 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强． ??解: 高斯定理?E?dS?s?q

?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl

??则?E?dS?E2πrl

S对(1) r?R1 ?q?0,E?0(2) R1?r?R2 ?q?l? ∴E??2π?0r 沿径

向向外(3) r?R2 ?q?0∴E?0

8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．?

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?

?则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

题8-17图

?E?2?dEy????2?Rd?4π?0R2cos???4π?0R［sin(??2)?sin?2］???2π?0R

(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0

U1??A?dx4π?0xB??2R?dx4π?0x?R??4π?0ln2 同理CD产生 U2??4π?0ln2

半圆环产生U3?πR?4π?0R?4?0 ∴UO?U1?U2?U3??2π?0ln2??4?0

8-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：?

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；?

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；? *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．?

解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势

U???R2??E?dr???qdr4π?0r2R2?q4π?0R

(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：U?q4π?0R2?q4π?0R2?0

(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

U?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'4π?0R2?0 得q??R1R2Aq外球壳上电势

8-27 在半径为

R1的金属球之外包有一层外半径为

R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常

数为?r，金属球带电Q．试求：

(1)电介质内、外的场强；(2)电介质层内、外的电势；(3)金属球的电势． ??解: 利用有介质时的高斯定理?D?dS?S?q(1)介质内(R1?r?R2)场强

???????QrQrQrQr;介质外(r?R2)场强D? D?,E内?,E外?33334πr4π?0?rr4πr4π?0r (2)介质外(r?R2)电势U???r??E外?dr?Q4π?0r

介质内(R1?r?R2)电势 U???r??E内?dr???r??E外?dr?q4π?0?r(1r?1R2)?Q4π?0R2?Q4π?0?r(1r??r?1R2)

(3)金属球的电势

U??R2R1??E内?dr???R2??E外?dr??R2Qdr4π?0?rr2R???Qdr4π?0r2R2?Q4π?0?r(1R1??r?1R2)

9-6 已知磁感应强度B?2.0Wb·m-2?的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量． 解： 如题9-6图所示

??(1)通过abcd面积S1的磁通是?1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量?2?B?S2?0 (3)通过aefd面积S3的磁通量

?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5???45?0.24Wb (或曰?0.24Wb)

???CD9-7 如题9-7图所示，AB、为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半

径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

??产生 B1?0 AB CD

产生B2??0I12R，方向垂直向里

CD

段产生 B3??0I4?R2(sin90?sin60)????0I2?R(1?32)，方向?向里

∴B0?B1?B2?B3??0I2?R(1?32??6)，方向?向里．

9-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．?

题9-8图

解：如题9-8图所示,BA方向垂直纸面向里

BA???0I12?(0.1?0.05)??0I22??0.05?1.2?10?4T

?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

则

?0I2?(r?0.1)??I22?r?0解得r?0.1 m

9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别 为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小 解： ???B?dl??0?I

L

(1)r?a B2?r??0IrR22B?22?0Ir2?R2(2) a?r?b B2?r??0IB??0I(c?r)2?r(c?b)2222?0I2?r

(3)b?r?c B2?r???0I(4)r?c B2?r?0

r?bc?b22??0I B?

B?0

题9-16图

?B9-19 在磁感应强度为的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电

流为I，如题9-19图所示．求其所受的安培力．? 解：在曲线上取dl ?则 Fab??∴ Fab?????????aIdl?B ∵ dl与B夹角?dl，B??2不变，B是均匀的．

???bb???Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B 方向⊥ab向上，大小Fab?BIab

baa?

题9-20图

9-20 如题9-20图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电

EF都与AB平行．流I2=10 A，AB与线圈共面，且CD，已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0

cm，求：?

(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力；?(2)矩形线圈所受合力和合力矩．?

??I?4 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小FCD?I2b01?8.0?10 N

2?d?同理FFE方向垂直FE向右，大小FFE?I2b?FCF方向垂直CF向上，大小为FCF?d?a?0I12?(d?a)dr??8.0?10?0I1I22??5 N

??0I1I22?rdlnd?ad?9.2?10?5 N

??5FED方向垂直ED向下，大小为FED?FCF?9.2?10?N

(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为F?7.2?10?4N

???合力矩M?Pm?B

???∵ 线圈与导线共面∴ Pm//B M?0．

?????

?10-1 一半径r=10cm?的圆形回路放在B=0.8T的均匀磁场中．回路平面与B垂直．当回

dr路半径以恒定速率dt=80cm·s-1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 回路磁通 ?m?BS?Bπr2 感应电动势大小

??d?mdt?ddt(Bπr)?B2πr2drdt?0.40 V

10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流I=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b=0.06m，宽a=0.04m，线圈以速度v=0.03m·s-1?垂直于直线平移远离．求：

d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．

题10-7图

解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势．

??A??IDA产生电动势 ?1??(v?B)?dl?vBb?vb0

D2?dBC产生电动势 ?2???CB???(v?B)?dl??vb?0I2π(a?d)(1d?1

∴回路中总感应电动势 ???1??2?方向沿顺时针．

?0Ibv2πd?a)?1.6?10?8

V

6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求 (1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度

?；(4)分子间的平均距离e；(5)

平均速率v；(6)方均根速率v；(7)分子的平均动能ε． 解：(1)由气体状态方程p?nkT得n?MmolN00.0326.02?10232pkT?0.1?1.013?101.38?10265?23?300?2.45?1024m?3

(2)氧分子的质量m???5.32?10 kg

(3)由气体状态方程pV?MMmolRT

得??MmolpRT?0.032?0.1?1.013?108.31?300135?0.13 kg?m?3

(4)分子间的平均距离可近似计算e?n?132.45?1024?7.42?10?9 m

(5)平均速率v?1.60RTMmol?1.608.31?3000.032?446.58 m?s?1

(6) 方均根速率v2?1.7352RTMmol52?482.87m?s?1

(7) 分子的平均动能??kT??1.38?10?23?300?1.04?10?20J

6-21 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量

E??i2RT

32?8.31?300?3739.5J 22?8.31?300?2493J

平动动能 t?3 Et?转动动能 r?2 Er?内能i?5 Ei?52?8.31?300?6232.5 J

6-23 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)．

pkT1.38?101.38?1023?3解：由气体状态方程p?nkT得n???300?3.33?1017 m?3

由平均自由程公式 ??12?dn2 ??12??9?10?20?3.33?1017?7.5 m

7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变；(2)压力保持不变．

解：(1)等体过程由热力学第一定律得Q??E

Q??E?32?8.31?(350?300)?623.25 J对外作功 A?0

(2)等压过程

Q??CP(T2?T1)??Q?吸热

i?22R(T2?T1)

J

52?8.31?(350?300)?1038.75

?E??CV(T2?T1)?E?32?8.31?(350?300)?623.25内能增加

J

对外作功 A?Q??E?1038.75?623.5?415.5J

7-13 0.01 m3氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功．

解：(1)等温压缩 T由

?300K

p1V1?p2V2V2?p1V1p2?

求得体积

110?0.01?1?10?3

对外作功

m

3A?VRTlnV2V1?p1Vln5p1p2

?1?1.013?10?0.01?ln0.01

3??4.67?10J

5CV?R2(2)绝热压缩

??

75

由绝热方程

p1V1?p2V2???V2?(1p1V1p2?)1/?

V2?(?(110p1V1p21)1/??(p1p2)V1

?3?)4?0.01?1.93?10m

Tp1由绝热方程1T2?????1?T2??p2?? 得

0.4T1p2p1???1??1?3001.4?(10)T2?579K

热力学第一定律

Q??E?A，Q?0 MMmolA??所以

CV(T2?T1)

pV?MMmolRT，

5A??p1V15RT12R(T2?T1)

3A??1.013?10?0.001300?52?(579?300)??23.5?10 J

7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率；

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少?

??1?解：(1)卡诺热机效率

T2T1

1000

(2)低温热源温度不变时，若

??1?300?70%??1?

300T1?80%

要求 1K，高温热源温度需提高500(3)高温热源温度不变时，若

T?1500K

?8000

要求 T2?200K，低温热源温度需降低100K

??1?T27-20 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?

(2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机

e?Q2A静?T2T1?T2

7℃→27℃时，需作功

A1?T1?T2T2T1?T2T2Q2?300?280280300?100100?1000?71.4 J

?173℃→27℃时，需作功

A2?Q2??1000?2000J

(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．

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