平面向量的概念

平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： 加法 求两个向量和的运算 a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 求a与b的相反向减法 量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 (1)|λa|＝|λ||a|； 求实数λ与向量a的积的运算 (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb a－b＝a＋(－b) 定义 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作0 a非零向量a的单位向量为± |a|数乘 时，λa＝0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ )

(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.( × ) →1→→

(4)△ABC中，D是BC中点，则AD＝(AC＋AB)．( √ )

2

→→

(5)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ )

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D

解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

→→→2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于( ) →→A．2OA－OB 2→1→C.OA－OB 33答案 A

→→→→→→

解析 由2AC＋CB＝0得2OC－2OA＋OB－OC＝0， →→→故OC＝2OA－OB.

→→→→→

3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0，AP＝λPD，则实数λ的值为________． 答案 －2

→→→→→

解析 如图所示，由AP＝λPD，且PA＋BP＋CP＝0，则P是以AB、AC为

→→B．－OA＋2OB 1→2→D．－OA＋OB

33

→→

邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP＝－2PD，则λ＝－2.

→→→→→

4．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝____________.(用a，b表示) 11

答案 －a＋b

44

→→→3→3

解析 由AN＝3NC得AN＝AC＝(a＋b)，

441→→→→

AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM

21311a＋b?＝－a＋b. ＝(a＋b)－??2?444

题型一 平面向量的概念 例1 给出下列命题：

→→

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是________． 答案 ②③

解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． →→→→→→

②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，

又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD→→→→→→→→

为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.故“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c， ∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.

思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动

混为一谈．

aa

(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．

|a||a|

下列命题中，正确的是________．(填序号)

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； →→

③向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线； ④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；

⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 答案 ⑤

解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b＝0，则a与c不一定平行；

⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 题型二 平面向量的线性运算

例2 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三→

等分点，那么EF等于( ) 1→1→A.AB－AD 231→1→C.AB＋DA 32

1→1→

B.AB＋AD 421→2→D.AB－AD 23

→→→→→

(2)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于( ) 21A.b＋c 3321C.b－c 33

答案 (1)D (2)A

→→→

解析 (1)在△CEF中，有EF＝EC＋CF. →1→

因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.

2→2→

因为点F为BC的一个三等分点，所以CF＝CB.

3→1→2→1→2→所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA

2323

52

B.c－b 3312D.b＋c 33

1→2→

＝AB－AD，故选D. 23→→(2)∵BD＝2DC，

→→→→→→∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)， →→→∴3AD＝2AC＋AB， →2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333

思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．

(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．

→→→ (1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于( )

A．0 →

C.AD

→B.BE →D.CF

1

(2)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，

22→→→

BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

31

答案 (1)D (2)

2

解析 (1)如图，∵在正六边形ABCDEF中， →→→→CD＝AF，BF＝CE，

→→→→→→→→→→→∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF＝CF.

1→→→→1→2→1→2→→

(2)由题意，得DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋

232362→12

AC，则λ1＝－，λ2＝， 3631即λ1＋λ2＝. 2

题型三 共线定理的应用

例3 设两个非零向量a与b不共线，

→→→

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→

(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，

→→→

∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) →

＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. →→

∴AB、BD共线，又∵它们有公共点B， ∴A、B、D三点共线． (2)解 ∵ka＋b和a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.

思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a、b不共线．

如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，

→

则AD等于( ) 2→1→A.AB－AC 332→1→C.AB＋AC 33

1→2→

B.AB＋AC 331→2→D.AB－AC 33

→

|AB|→→→

(2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－4OB＋3OC＝0，则等于( )

→|BC|A．3 B．4 C．5 D．6 答案 (1)C (2)A

→→→

解析 (1)由平面向量的三角形法则，得AD＝AB＋BD. 又因为点D是BC边上靠近B的三等分点， →→1→→1→→所以AD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)

332→1→

＝AB＋AC. 33

→

|AB|→→→→→→→→→

(2)OA－4OB＋3OC＝0?OA－OB－3(OB－OC)＝0?BA＝3CB，所以＝3.

→|BC|

方程思想在平面向量的线性运算中的应用

→1→→1→

典例：(12分)如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC

42→→→

相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示向量OM.

思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．

→→

(2)既然OM能用a、b表示，那我们不妨设出OM＝ma＋nb. (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答

→

解 设OM＝ma＋nb，

→→→

则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. 1→→→1→→

AD＝OD－OA＝OB－OA＝－a＋b.[3分]

22→→

又∵A、M、D三点共线，∴AM与AD共线． →→

∴存在实数t，使得AM＝tAD， 1

－a＋b?.[5分] 即(m－1)a＋nb＝t?2??1

∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.

2

m－1＝－t，??∴?消去t得，m－1＝－2n， t

n＝，??2即m＋2n＝1.① [7分]

11→→→

m－?a＋nb， 又∵CM＝OM－OC＝ma＋nb－a＝?4?4?11→→→

CB＝OB－OC＝b－a＝－a＋b.

44又∵C、M、B三点共线， →→

∴CM与CB共线．[10分] →→

∴存在实数t1，使得CM＝t1CB， 11

m－?a＋nb＝t1?－a＋b?， ∴?4???4?11??m－4＝－4t1，∴? ??n＝t1.消去t1得，4m＋n＝1.②

13→13

由①②得m＝，n＝，∴OM＝a＋b.[12分]

7777

温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．

方法与技巧

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

→→→→→

3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，OA，OB不共线，满足OP＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则P，A，B共线?x＋y＝1. 失误与防范

1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

A组 专项基础训练 (时间：45分钟)

1．下列说法正确的个数是( )

①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； ②零向量没有方向； ③向量的模一定是正数； ④非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 答案 A

解析 ①错误，只有速度和位移是向量；②错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；③错误，|0|＝0；④显然错误．

2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b等于( ) A．(5,7) C．(3,7) 答案 A

解析 2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．

→→→

3．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是( )

A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案 B

→→

解析 ∵BC＝a＋b，CD＝a－2b， →→→

∴BD＝BC＋CD＝2a－b.

→→

又∵A，B，D三点共线，∴AB，BD共线． →→设AB＝λBD， ∴2a＋pb＝λ(2a－b)，

∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.

→→→

4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋OC＝0，则△ABC的内角A等于( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案 B

B．(5,9) D．(3,9)

→→→

解析 由OA＋OB＋OC＝0，知点O为△ABC的重心， 又O为△ABC外接圆的圆心， ∴△ABC为等边三角形，A＝60°.

→5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→→

＝λAB＋μBC，则λ＋μ等于( ) 112

A．1 B. C. D. 233答案 D

→→→→1→

解析 ∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，

3→→1→→1→1→∴2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.

326112

故λ＋μ＝＋＝. 2636．下列命题：

①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一方向相同； →→→

②三角形ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；

→→→

③若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点； ④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中假命题的序号为________． 答案 ①③④

解析 ①若a与b长度相等，方向相反，则a＋b＝0；③A，B，C三点可能在一条直线上；④|a|＋|b|≥|a＋b|.

→→→

7．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________． 1答案 2

解析 设D为AC的中点，连接OD， →→→则OA＋OC＝2OD. →→→又OA＋OC＝－2OB，

→→

所以OD＝－OB，即O为BD的中点， 1

从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为. 2

→→→1→→

8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.

3

2答案 3

→→→

解析 由图知CD＝CA＋AD，① →→→

CD＝CB＋BD，② →→

且AD＋2BD＝0.

→→→

①＋②×2得：3CD＝CA＋2CB， 2→1→2→

∴CD＝CA＋CB，∴λ＝. 333

9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？ 解 ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，

要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，

??2λ＋2μ＝2k，

即?得λ＝－2μ. ?－3λ＋3μ＝－9k，?

故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线． →2→10.如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE＝AD，

3→→

AB＝a，AC＝b.

→→→→→

(1)用a、b表示向量AD，AE，AF，BE，BF； (2)求证：B，E，F三点共线． →1→

(1)解 延长AD到G，使AD＝AG，

2连接BG，CG，得到?ABGC， →

所以AG＝a＋b， →1→1

AD＝AG＝(a＋b)，

22→2→1

AE＝AD＝(a＋b)，

33→1→1AF＝AC＝b，

22

1→→→1

BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)．

331→→→1

BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．

22

→2→

(2)证明 由(1)可知BE＝BF，

3

→→

又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．

B组 专项能力提升 (时间：25分钟)

→→→

11．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则( ) A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 答案 B

→→→解析 因为2OP＝2OA＋BA， →→所以2AP＝BA，

所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.

12.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，→→→

AB＝a，AC＝b，则AD等于( ) 1

A．a－b

21

C．a＋b

2答案 D

解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点， →1→1

得CD∥AB且CD＝AB＝a，

221→→→

所以AD＝AC＋CD＝b＋a.

2

→→→

13．设G为△ABC的重心，且sin A·GA＋sin B·GB＋sin C·GC＝0，则B的大小为( ) A．45° C．30° 答案 B

→→→→→→→解析 ∵G是△ABC的重心，∴GA＋GB＋GC＝0，GA＝－(GB＋GC)，将其代入sin A·GA＋→→→→sin B·GB＋sin C·GC＝0，得(sin B－sin A)GB＋(sin C－sin A)GC＝0. →→

又GB，GC不共线，

∴sin B－sin A＝0，sin C－sin A＝0，

B．60° D．15° 1

B.a－b 21

D.a＋b 2

则sin B＝sin A＝sin C. 根据正弦定理知b＝a＝c，

∴三角形ABC是等边三角形，则角B＝60°.故选B.

14.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直→→→→

线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________． 答案 2

→1→→

解析 ∵O是BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)．

2→→→→→m→n→又∵AB＝mAM，AC＝nAN，∴AO＝AM＋AN.

22mn

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.

22

→→→

15．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明 (1)若m＋n＝1，

→→→→→→则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)， →→→→∴OP－OB＝m(OA－OB)， →→→→

即BP＝mBA，∴BP与BA共线．

→→

又∵BP与BA有公共点B，则A，P，B三点共线． →→

(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP＝λBA， →→→→∴OP－OB＝λ(OA－OB)． →→→又OP＝mOA＋nOB.

→→→→

故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， →→

即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.

→→

∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，

?m－λ＝0，?∴?∴m＋n＝1. ?n＋λ－1＝0，?

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