流体力学参考答案 李玉柱(汇总)

2-18 液体比重计如2．6．2节图2—21所示。试依据浮力原理椎证关系式(2—34)。 2-19 设直径为众的球体淹没在静水中，球体密度与水体密度相同，球体处子静止态。若要将球体刚刚提出水面，所作的功为多少?提示：高度为H的球缺的体积

V??H(d2?H3。)

22-20 长10 m、半径1.5m的木质半圆柱体浮于水面上，平面朗上，最低点的淹没深度为0.9 m。求半圆柱体木质材料的密度。

2-21 2．6．2节中图2—23所示混凝土沉箱。(1)什高度由5 m增加到6 m，确定沉箱的稳定性；(2)若高度由5 m增加到6 m，但底部厚度增加到0.4 m，试求吃水深度，且检验沉箱的稳定性。

第三章 流体运动学

3-1 已知某流体质点做匀速直线运动，开始时刻位于点A(3，2，1)，经过10秒钟后运动到点B(4，4，4)。试求该流体质点的轨迹方程。

解：x?3?t10,y?2?t5,z?1?3t10

3-2 已知流体质点的轨迹方程为

?x?1?0.01t5??5?y?2?0.01t ?z?3??试求点A(10，11，3)处的加速度α值。

解：由x?1?0.01t5?10，y?2?0.01t5?11解得t?15.2

a??u?t??x?t22i??y?t22j??z?t22k?380ti?380tj

把t?15.2代入上式得a?0.206

3-3 已知不可压缩流体平面流动的流速场为??u?xt?2y?v?xt?yt2，其中，流速、位置坐标和时

间单位分别为m/s、m和s。求当t＝l s时点A(1，2)处液体质点的加速度。

解：根据加速度的定义可知：

a?DuDt??u?xux??u?yuy??u?zuz??u?t

当t＝l s时点A(1，2) 处液体质点的加速度为：

ax?DuDtDvDt??u?x?v?xu??u?y?v?yv??u?t?v?t?t(xt?2y)?2(xt?yt)?x?3m/s

2ay??u?v??t(xt?2y)?t(xt?yt)?2xt?y?6m/s

223-4

?u?1?y已知不可压缩流体平面流动的流速分量为??v?t。求(1) t＝0时，过(0，0)点的

迹线方程；(2) t＝1时，过(0，0)点的流线方程。

解：(1) 将u?1?y, v?t带入迹线微分方程

dx1?y?dxu?dyv?dt得

dyt2?dt

?c1

解这个微分方程得迹线的参数方程： y?t2将t?0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：c1?0。 将y?

t

2

2

代入dx?(1?y)dt得：dx?(1?t3t22)dt

所以：x?t?6?c2，将t?0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：c2?0。

2?t?y??2联立方程?，消去t 3?x?t?t?6?得迹线方程为：

29y?343y?2y?x?022

?dyuy(2) 将u?1?y, v?t带入流线微分方程

dxux得

dx1?yy2?dyt

t被看成常数，则积分上式得xt?y?y22?c，c=0

t=1时过（0,0）点的流线为xt?y?2?0

3-5 试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性

方程(连续性方程的极坐标形式可参考题3—7)。

解：根据连续方程得定义，对于不可压缩流体??const， 在直角坐标系中当??u??ux?x??uy?y??uz?z?0时，满足连续方程

?u??ky??u?v?w(1)?v?kx,因???0，满足

?x?y?z?w?C??u?kx??u?v?w(2)?v??ky,因???0，满足

?x?y?z?w?C??y?u?22?x?y?x??u?v?w2xy?2xy(3) ?v?2,因?????0，满足 2222222x?y?x?y?z(x?y)(x?y)??w?0???u?ay(4)?,

v?w?0?因

?u?x??v?y??w?z?0，满足

(5) ??u?4?v?w?0, 因

?u?x?u?x?v?yurr???v?y??w?z?0，满足

(6)

?u?1, ?v?2?因

???w?z?0，满足

1?uθr????uz?z?在圆柱坐标系中当(7) ??ur?k/r?uθ?0??ur?r????0时，满足连续方程 1kk??2?0?0，满足 rrr,因

urr?ur?r1?uθr???uz?z?ur?0u?u1?uθ?uz1??0?0??0?0?0，满足 (8) ?,因r?r?r?rr???zr?uθ?k/r(9)??u?4x?v?C, 因

?u?x??v?y??w?z?4?0，不满足

(10)

?u?4xy??v?0，因

?u?x??v?y??w?z?4y?0，不满足

其中，k、α和C均为常数，式(7)和(8)中k?0

3-6 已知圆管过流断面上的流速分布为u?umax[1??rr0?]，umax为管轴处最大流速，r0为圆管半径，r为某点到管轴的距离。试求断面平均流速V与umax之间的关系。

2?udA解：断面平均速度V?A??r002?umax(r?rr320)dr?2?umax(r0222?r04204r)?umax2A?r02?r0

3-7 利用图中所示微元体证明不可压缩流体平面流动的连续性微分方程的极坐标形式为

?ur?r?urr?1?u?r???0

解：取扇形微元六面体，体积dV?rdrd?dz，中心点M密度为?(r,?,z,t)，速度为

u?u(r,?,z,t)，r向的净出质量dmr为

dmr?dmr2?dmr1?[(???(??dr?r2??r)(ur??urdr?r2)(r?dr2r)?(?????dr?r2)(ur??urdr?r2)(r?dr2)]d?dzdt

?urr?(?ur))rdrd?dzdt?(?ur?(?ur)?r)dVdt

类似有

dmθ?dmθ2?dmθ1

?[(????d?)(uθ??uθ??d?)?(????d???2)(uθ??uθd???2)]drdzdt??21?(?uθ)?dVdt r??

dmz?dmz2?dmz1

?[(?? ??z??dz?z2)(uz??uz?zdz)?(????dz?z2)(uz??uzdz?z2)]dr?rd?dt

?(?uz)dVdt

?dm?dzm，控制体内的质量减少量dmV可表示为若流出质量dm?dmrθdmV????t(?dV)?td????tVd。按质量守恒定律不难得出td

?urr??(?ur)?r?1?(?uθ)r????(?uz)?z????t?0

不可压缩流体平面流动??const ，uz?0，则有

urr??ur?r?1?uθr???0

3-8 送风管的断面面积为50×50 cm2，通过a、b、c、d四个送风口向室内输送空气，

如图示。已知送风口断面面积均为20×20 cm2，气体平均流速为5m/s，试求通过送风管过流断面1—1、2—2和3—3的流速和流量。

解：由于a、b、c、d四个送风口完全相同，则Qa?Qb?Qc?Qd?流断面1-1、2-2、3-3的流量分别为：

14Q0

高 等 学 校 教 学 用 书

流体力学

习题参考答案

主讲：张明辉

高等教育出版社

李玉柱，苑明顺编.流体力学与流体机械, 北京：高等教育出版社，2008.1（2009重印）

《流体力学》

第一章 绪论

1-1 空气的密度??1.165kg/m3，动力粘度??1.87?10?5Pa?s，求它的运动粘度?。 解：由v???得，v????1.87?10Pa?s1.165kg/m3?5?1.61?10m/s

?521-2 水的密度??992.2kg/m3，运动粘度v?0.661?10?6m2/s，求它的动力粘度?。 解：由v???得，?????992.2kg/m3?0.661?10?6m2/s?6.56?10?4Pa?s

1-3 一平板在油面上作水平运动，如图所示。已知平板运动速度V＝lm/s，板与固定边界的距离δ＝5mm，油的粘度??0.1Pa?s，求作用在平板单位面积上的粘滞阻力。

解：假设板间流体中的速度分布是线性的，则板间流体的速度梯度为

dudy?V??1m/s5?10m?3?200s?1

由牛顿内摩擦定律???dudy，可得作用在平板单位面积上的粘滞阻力为

dudy????0.1Pa?s?200s-1?20Pa

1-4 有一底面积为40cm×60cm矩形木板，质量为5kg，以0.9m/s的速度沿着与水平面成30?倾角的斜面匀速下滑，木板与斜面之间的油层厚度为1mm，求油的动力粘度。

解：建立如下坐标系，沿斜面向下方向为x轴的正方向，y轴垂直于平板表面向下。

设油膜内速度为线性分布，则油膜内的速度梯度为：

?u?y?0.9m/s1?10m?3?13?0.9?10，s

由牛顿内摩擦定律知，木板下表面处流体所受的切应力为：

????u?y3?0.9?10?，Pa

木板受到的切应力大小与?相等，方向相反，则匀速下滑时其受力平衡方程为：

0.9?10??0.4?0.6?5?9.8sin303?

从而可得油的动力粘度：??0.1134Pa?s

1-5 上下两个平行的圆盘，直径均为d，间隙厚度为δ，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩M的表达式。

题1-5图

解：圆盘不同半径处线速度rω不同，垂直于圆盘方向的速度梯度不同，摩擦力也不同，但在微小圆环上可视为常量。在半径r处，取增量径向dr，微圆环面积dA，则微面积dA上的摩擦力dF为

dF??dAdudz??2?rdrr?

?

由dF可求dA上的摩擦矩dT

dM?rdF?2????rdr3

积分上式则有

dM??20dT??2????rdr?3??d?32?4

1-6 有一自重为9N的圆柱体，直径d＝149.5mm，高度h＝150mm，在一内径D＝150mm的圆管中以V＝46mm/s的速度均匀下滑，求圆柱体和管壁间隙中油液的动力粘度。

题1-6图

解：假设油膜中的速度分布是线性的，则油膜内的速度梯度为

dudy?V??46mm/s0.25mm?184s?1

由牛顿切应力定律可得圆柱体表面处流体所受的切应力为

???dudy?184?Pa

圆柱体受到的切应力与?大小相等，指向运动反方向，圆柱体受到的总的摩擦力为?dh?，由于摩擦力与重力相平衡，故

?dh??G 即 ??0.149?50?.15??18 4由此可得圆柱体和管壁间隙中油液的动力粘度为

??0.694Pa?s

1-7 转轴直径d＝0.36m，轴承长度l＝1m，轴与轴承间的缝隙宽δ＝0.23mm，充满动力粘度??0.73Pa?s的油，若轴的转速n＝200 r/min，求克服油的粘滞阻力所需的功率。

题1-7图

解：由于间隙???d/2，速度分布近乎线性分布，按牛顿内摩擦定律，速度梯度

dudr?u0??r??，其中??2n?60?20.94

r??2??r?L2则摩擦力F为：F??Au0????2?rL???

则摩擦矩T为：T?Fr?则摩擦功率P为：

P?T??2??r?L3?

2??r?L32??2?3.14?0.73?0.18?20.94?10.23?10?332?5.102?10W

4克服油的粘滞阻力所需的功率为5.102kW

1-8 图示一采暖设备，为了防止水温升高时体积膨胀将水管及暖气片胀裂，特在系统顶部设置了一个膨胀水箱，使水有自由膨胀的余地，若系统内的水的总体积为10m3，加热前后温差为50℃，水的体膨胀系数为4.5×10-4K-1，求膨胀水箱的容积。

题1-8图

解：由膨胀系数定义?V?为：

dV??VVdT?4.5?10?4dV/VdT，可得当加热前后温差达到50℃时，水的体积膨胀量

?10?50?0.225?m3?

膨胀水箱的容积为V?10?0.225?10.225?m3?

1-9 水在常温下，由5个大气压增加到10个大气压强时，密度改变了多少？ 解：由于体积压缩系数?P??d?dVVdp?1d??dp2

???Pdp?5.38?10?10m/N?5?98000 Pa=0.026%

1-10 在实验室中如果采用两根内径为l cm的玻璃管作测压管，一根装有水，一根装有水银，实验室的室温为20℃，问两根测压管的管中液面由于毛细管作用而引起的上升和下降高度各为多少？

解：水上升的高度为

h1?4?cos??gd?4?0.0728?cos0?998.2?9.8?0.01?2.98?10?3m?2.98mm

水银下降的高度为

h2?4?cos??gd?4?0.465?cos14013550?9.8?0.01???1.05?10?3m??1.05mm

第二章 流体静力学

2-1 将盛有液体的U形小玻璃管装在作水平加速运动的汽车上(如图示)，已知L＝30 cm，h＝5cm，试求汽车的加速度a。

解：将坐标原点放在U形玻璃管底部的中心。Z轴垂直向上，x轴与加速度的方向一致，则玻璃管装在作水平运动的汽车上时，单位质量液体的质量力和液体的加速度分量分别为

gx?0,gy?0,gz??gax?a,ay?0,az?0

代入压力全微分公式得dp???(adx?gdz)

因为自由液面是等压面，即dp?0，所以自由液面的微分式为adx??gdz 积分的：z??agx?c，斜率为?ag，即ag?hL

g6解得a?ghL??1.63m/s2

2-2 一封闭水箱如图示，金属测压计测得的压强值为p＝4.9kPa(相对压强)，测压计中心比A点高z＝0.5m，而A点在液面以下h＝1.5m。求液面的绝对压强和相对压强。

解：由p0??gh?p??gz得相对压强为

p0?p??g(z?h)?4.9?10?1000?9.8?1??4.9kPa3

绝对压强pabs?p0?pa?(?4.9?98)kPa=93.1kPa

2-3 在装满水的锥台形容器盖上，加一力F＝4kN。容器的尺寸如图示，D＝2m，d＝l m，h＝2m。试求(1)A、B、A’、B’各点的相对压强；(2)容器底面上的总压力。

解：(1)p0?FA?F?D2?5.06kPa4,由p?p0??gh得：

pA?pB?p0?5.06kPapA'?pB'?p0??gh?5.06kPa+1000?9.8?2Pa?24.7kPa(2) 容器底面上的总压力为P?pA'A?24.7kPa??D24?77.6kN

2-4 一封闭容器水面的绝对压强p0＝85kPa，中间玻璃管两端开口，当既无空气通过玻璃管进入容器、又无水进人玻璃管时，试求玻璃管应该伸入水面下的深度h。

解：取玻璃管的下口端面为等压面，则p0??gh?pa

h?pa?p0?g?(98?85)?101000?9.83?1.33m

2-5 量测容器中A点压强的真空计如2.3.3节图2-9所示，已知z＝l m，h＝2m，当地大气压强pa＝98kPa(绝对压强)，求A点的绝对压强、相对压强及真空度。

解：根据液体静力学基本方程p?p0??gh，由pabs??gz?pa得到绝对压强

pabs?pa??gz?(98000?9.8?1000?1)Pa?88200Pa=88.2kPa

相对压强p?pabs?pa?(88200?98000)Pa??9800Pa=?9.8kPa 真空度hV?pa?pabsg??88200?980009.8?1000m?1m

2-6 如图所示密闭容器，上层为空气，中层为密度为?0?834kg/m3的原油，下层为密度为?G?1250kg/m3的甘油，测压管中的甘油表面高程为9.14m，求压力表G的读数。

解：取原油与甘油的接触面为等压面，则pG??0gh1??Ggh2 即：pG?834?9.8?(7.62?3.66)?1250?9.8?(9.14?3.66) 解得：pG?34.76kPa

2-7 给出图中所示AB面上的压强分布图。

2-8 输水管道试压时，压力表M读数为10at，管道直径d＝lm。求作用在图示管端法兰堵头上的静水总压力。

解：

P??ghCA?(?gd2?pM)??d42?(1000?9.8?0.5?10?98000)?3.14?14?7.70?10N

5

2-9 图示矩形闸门，高a＝3m，宽b＝2m，闸门顶在水下的淹没深度h＝1m。试求(1)作用在闸门上的静水总压力；(2)静水总压力的作用位置。

解：(1)闸门的面积A＝ab＝3×2m＝6m2, 闸门形心的淹没深度为

hC?h?a2?(1?332)m=2.5m

由表2—2查得，惯性矩 IxC?于是，可算得总压力

ba312?2?312?4.5m

4P?pCA?g?hCA?9.8?1000?2.5?6N=147000N?147kN

(2)总压力的作用点D的淹没深度

yD?yC?IxCyCA?hC?4.5???2.5?hCA?2.5?6IxC??m?2.8m ?2-10 图示一铅直矩形自动泄水闸门，门高h＝3m。(1)要求水面超过闸门顶H＝1m时泄水闸门能自动打开。试求闸门轴O—O的位置放在距闸门底的距离。(2)如果将闸门轴放在形心C处，H不断增大时，闸门是否能自动打开?

解：(1) 总压力的作用点D的淹没深度

yD?yC?IxCyCA?H?h2?h26(2H?h)

总压力的作用点D距闸门底的距离为

l??H?h??yD22??hhhh33??H?h???H?????? ?26(2H?h)?26(2H?h)22?2H?3?? 水面超过闸门顶H＝1m时泄水闸门能自动打开，即总压力的作用点D位于闸门轴O

—O上，此时闸门轴O—O的位置放在距闸门底的距离为

l?32?32?2H?3?32?1.2m

(2) 当H增大时，l随之增大，但始终有l?C处，H不断增大时，闸门是不能自动打开。

?32?2H?3??32，所以将闸门轴放在形心

2-11 图示一容器，上部为油，下部为水。已知入h1＝1m，h2＝2m，油的密度

??800kg/m。求作用于容器侧壁AB单位宽度上的作用力及其作用位置。

3解：建立坐标系O-xy，原点在O点，Ox垂直于闸门斜向下，Oy沿闸门斜向下，AB单位宽度上的作用力为：

1P??Ag?hdA?12sin??sin?30?ogysin?dy?2??wg2sin??sin?1[?og??wg?ysin??1?]dysin???og??og1sin?o

2o?800?9.81?2sin60?800?9.81?sin60?1000?9.81?2sin60o?45264N总作用力的作用位置为：

yD?1P?AypdA31?1sin?2????gysin?dy?P?0?sin?1sin??[?ogy??wgy?ysin??1?]dy???og4?og26?wg4?wg1?（???)2222P3sin?sin?3sin?sin???1452643?sin6010627645264?2.35m(800?9.82o

2o?4?800?9.8sin602o?26?1000?9.83?sin60?4?1000?9.8sin602o)即合力作用点D沿侧壁距离B点：3/sin60o?2.35?1.114(m)

2-12 绘制图中AB曲面上的水平方向压力棱柱及铅垂方向的压力体图。

2-13 图示一圆柱，转轴O的摩擦力可忽略不计，其右半部在静水作用下受到浮力PZ圆柱在该浮力作用下能否形成转动力矩?为什么?

解：

2-14 一扇形闸门如图所示，圆心角??45?，半径r＝4.24m，闸门所挡水深H＝3m。求闸门每米宽所承受的静水压力及其方向。

2-15 一圆柱形滚动闸门如图所示，直径D＝1.2m，重量G＝500 kN，宽B＝16m，滚动斜面与水平面成70°角。试求(1)圆柱形闸门上的静水总压力P及其作用方向；(2)闸门启动时，拉动闸门所需的拉力T。

2-16 水泵吸水阀的圆球式底阀如图示，因球直径D＝l 50mm，装于直径d＝100mm的阀座上。圆球材料的密度ρ0＝8510 kg/m3，已知Hl＝4m，H2＝2m，问吸水管内液面上的真空度应为多大才能将阀门吸起?

题2-15图 题2-16图

2-17 设有一充满液体的铅垂圆管段长度为ΔL，内径为D，如图所示。液体的密度为ρ0。若已知压强水头p/gρ比ΔL大几百倍，则这段圆管所受的静水压强可认为是均匀分布。设管壁材料的允许拉应力为σ，，试求管壁所需厚度δ。

Q1?1?Qb?Qc?Qd?34Q0，

Q2?2??Qc?Qd?12Q0，

Q3?3?Qd?14Q0

由A1v?4A2v，得Q0?4A2v?4?0.04m2?5m/s=0.8m3/s 断面1-1，流量Q1?1?341214Q0?0.6m/s3，流速v1?1?Q1?1A1Q1?1A1Q1?1A1?2.4m/s

断面2-2，流量Q1?1?Q0?0.4m/s3，流速v1?1??1.8m/s

断面3-3，流量Q1?1?Q0?0.2m/s3，流速v1?1??0.6m/s

3-9 图示蒸气分流叉管。已知干管分叉前的直径d0＝50mm，流速V0＝25m/s，蒸气密度?0?2.62kg/m3。分叉后的直径d1＝45mm，蒸气密度?0?2.24kg/m3。支管直径d2＝40mm，蒸气密度?0?2.3kg/m3。为了保证分叉后两管的流量相等，试求两管末端的断面平均流速V1和V2。（应该算质量流量而不是体积流量）

解：取控制体，由质量守恒公式Q??Au?const得

?0A0v0??1A1v1??2A2v2，即

?0?d042v0?2?1?d142v1?2?2?d24v2

2v2

由于分叉后两管的流量相等得，

?1?d14v1??2?d24两式联立解得：v1?18.05m/s,v2?22.25m/s

3-10 求下列流动的线变形速率、角变形速率(k为常数)。

?u??ky ?v?kx??y?u?22?x?y??x?v?22?x?y??u?x(1) (2) (3)

?u?2y??v?2x

解：(1) 线变形速率?xx??0,?yy??v?y?0，

角变形速率?xy?1??v?u?????0 2??x?y?(2) 线变形速率?xx??u?x?2xy?x2?y2?2,?yy?2?v?y??2xy?x22?y22?2，

22角变形速率?xy1??v?u?y?xy?xy?x???????22222222??x?y?2?x2?y2?2?x?y?x?y???u?x?0,?yy?2

(3) 线变形速率?xx??v?y?0，

角变形速率?xy?1??v?u?????2 2??x?y?3-11已知u?x2y?y2,v?x2?y2x，试求此流场中在x＝l，y＝2点处的线变形速率、角变形速率和涡量。

解：由ux?x2y?y2，v?x2?y2x，x?1，y?2，得 线变速率为：?xx??u?x?2xy?4，?yy??v?y??2xy??4

角变速率为：?xy??u?x1??v?u?11322??(2x?y?x?2y)?(2?4?1?4)???2??x?y?222

涡量为： ?z???v?y?2x?y?x?2y?2?4?1?4??7

223-12 试判别题3-5所列流动中、哪些是有旋流动，哪些是无旋流动。 解：在直角坐标系中当Ω??动，否则为有旋流动。

在极坐标系中当?z?（1）Ω（2）Ω（3）Ω（4）Ω（5）Ω（6）Ω?2kk?????11?1?vr((rv?)?)?02r?rr????w??y???v?u??v???u?w?i??j?????k?0时，为无旋流???z??x???z??x?y?时，为无旋流动。

，k?0时为无旋流动。

0，为无旋流动。 0，为无旋流动。 ?a，为有旋流动。 0，为无旋流动。 0，为无旋流动。

（7）?z?0，为无旋流动。 （8）?z?0，为无旋流动。

（9）

?u?x??v?y?4?C?0，不满足连续方程。

（10）

?u?x??v?y?4y，不满足连续方程。

3-13 对于例3—6中柱状强迫涡，(1)计算任一封闭流线的速度环量；(2)算出半径r和r+dr两圆周线的速度环量差dГ；(3)利用式(3—40)和dГ求出涡量ΩZ。

解：(1) 任一封闭流线为半径r的圆周线，则速度环量为

????C(udx?vdy)???v?u???A??x??y?dxdy?????A2?0dxdy?2??0r2

(2) 半径r和r+dr两圆周线的速度环量差dГ为

d??2??0?r?dr??2??0r?4??0rdr22

(3) 式(3—40)为????C(udx?vdy)???v?u???A??x??y?dxdy?????A?Zdxdy

3-14 求流场的当地加速度ar、a?。(1) ur?0，u??Cr (2) ur?0，u??C/r。其中，C为常数。

解：在圆柱坐标系中a?DuDt??u?t?ur?u?r?u?1?ur???uz?u?z?u?t,当地加速度a?

3-15 针对下列各情形，分别写出3.4.1节图3—15中速度ud的分解式： (1)矩形abdc在dt＝1.0时段内绕过O点的z向轴逆时针旋转?4；

(2)矩形abdc在dt＝1.0时段内变成平行四边形，ab边绕过O点的z向轴逆时针转动?8，ac边绕过O点的z向轴顺时针转动?8，但对角线倾角和各边边长都保持不变。

解：在三维流场，速度的分解式为：

ud?u??zdy??ydz??xxdx??xydy??xzdz

vd?v??xdz??zdx??yydy??yzdz??yxdx wd?w??ydx??xdy??zzdz??zxdx??zydy

?4dt??4rad/s(1) 矩形abdc在xy平面内只有旋转运动，旋转角速度为?z?ud???zdy

，vd??zdx

1d?+d?2dt?(2) 矩形abdc在xy平面内角变形运动，?xy??yx?ud??xydy，vd??yxdx?8rad/s

3-16流向沿水平方向的剪切流的流速u??y,v?w?0，在t＝0时刻流场中有一长为

?x?2，宽为?y?1的矩形，长度沿x向。(1)求角变形速率和角速率；(2)绘图表示在t＝0.125

和t＝0.25时刻矩形受到剪切变形后的形状。

解：(1)角变速率为：?xy?1??v?u?1???(0??)?rad/s??2??x?y?22,

?yz?1??w?v?11??w?u?1,??(0?0)?0?????zx???(0?0)?0 2??y?z?22??x?z?21?u?w1?w?v?)?0， (?)?0，?y?(2?z?x2?y?z角速率为：?x??z?1?v?u1?(?)?(0??)??rad/s 2?x?y22第四章 流体动力学基础

4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为

uumax?B/2?y?????B/2?1/7,y?0

总流

?

1解：v?1?AAudA??B2B20?B?y?77?2?umaxdy?umax ?B?8?2?因为??1.0?3A?A??u???dA ?u?u?v所以 ?v?B??1.0?3A?1??B??7?y32?8??u?v?2??d?1.0???1dy?1.05 ?BA??A???B?B27??v????2???4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度?0?0.03m，平均流速V0＝8m/s，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求(1)在倾斜角??45?处的平均流速V；(2)该处的水股厚度?。

解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：V=

8sin45?=11.31m/s

（2）水股厚度由流量守恒可得：?0V0D0??VD,由于缝狭长，所以两处厚度近似相等，所以???0V0V?0.03?811.31?0.021m

4-3 如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V2=20m/s，管径d1＝0.1m，管嘴出口直径d2＝0.05m，压力表断面至出口断面高差H＝5m，两断面间的水头损失为

0.5(V1/2g)。试求此时压力表的读数。

2

解：由伯努利方程知：

V122g?p1g??z1?V222g?p2g??z2?hw'，

所以

p1?p2?(V2?V12g22?z2?z1?hw)g?'，

由流量守恒可得1处流速为5m/s，所以上式结果为：2.48Pa

4-4 水轮机的圆锥形尾水管如图示。已知A—A断面的直径dA=0.6m，流速VA＝6m／s，B—B断面的直径dB＝0.9m，由A到B水头损失hW?0.15(VA2/2g)。求(1)当z＝5m时A—A断面处的真空度；(2)当A—A断面处的允许真空度为5m水柱高度时，A—A断面的最高位置zmax。

解：（1）由伯努利方程

VA22g?pAg??zA?VB22g?pBg??zB?hw

'可得

pAg??pBg??(VA?VB2g22?zA?zB?hw)，

'由流量守恒可得B处流速为2.67m/s,，所以A-A断面处真空度为6.42m。

（2）由伯努利方程

VA22g?pAg??zA?VB22g?pBg??zB?hw'

可得：

pA?g?pB?g?VB22g?VA22g?zA?zB?hw'

?3.80m4-5 水箱中的水从一扩散短管流到大气中，如图示。若直径d1=100 mm，该处绝对压强

pabs?0.5at，而直径d2=l50mm，求作用水头H(水头损失可以忽略不计)。

解：根据连续方程：

?4d1V1?2?42d2V22

Pabs?V12 根据伯努利方程：

因为：V=0,P2=Pa 所以，可得：

V1V2=Pa?g?V2g?H??g2g?P2?g?V222g

94，V2?4.96m/s?H?V222g?1.23m.

4-6 一大水箱中的水通过一铅垂管与收缩管嘴流人大气中，如图。直管直径d4=100 mm，管嘴出口直径dB=50 mm，若不计水头损失，求直管中A点的相对压强pA。

解：根据连续方程：

?4dAVA?2?4dBVB2

根据伯努利方程：H?VAVB14VA22g?PA2g?h?VB22g

可得：

?，VB?2gH?13.28m/s，VA?3.32 m/s，?PA?4.44mH2O

4-7 离心式通风机用集流器C从大气中吸入空气，如图示。在直径d=200 mm的圆截面管道部分接一根玻璃管，管的下端插入水槽中。若玻璃管中的水面升高H=150 mm，求每秒钟所吸取的空气量Q。空气的密度??1.29kg/m3。

解：设通风机内的压强为P P??水gH?aP

根据伯努利方程：

V2V22g?P?空气g?V122g

?2g???水H?空气?V122g?0

?V1?47.7m/s ?Q?AV1?1.5m/s3

4-8 水平管路的过水流量Q=2.5L/s，如图示。管路收缩段由直径d1＝50 mm收缩成d2=25

mm。相对压强p1=0.1 at，两断面间水头损失可忽略不计。问收缩断面上的水管能将容器内的水吸出多大的高度h?

解：根据连续方程：Q?A1V1=A2V2?2.5L/s 可得：V1?1.273m/s，V2?4V1?5.09m/s

对截面1和截面2列伯努利方程：可求得：P2=-2352Pa。

由P2??gh，所以h=0.24m。

P1?g?V122g?P2?g?V222g

4-9 图示一矩形断面渠道，宽度B=2.7 m。河床某处有一高度0.3m的铅直升坎，升坎上、下游段均为平底。若升坎前的水深为1.8 m，过升坎后水面降低0.12 m，水头损失Hw为尾渠(即图中出口段)流速水头的一半，试求渠道所通过的流量Q。

解：对升坎前后的截面列伯努利方程：

V22V122g?H?V222g?h?hw

其中：hw?2g?12

根据连续方程：BHV1=BhV2

其中：H=1.8m，h?1.68m

?V1?0.77V2

所以解得：V2=1.6m/s,V1?1.23m/s

Q=BHV1?5.98m/s

34-10 图示抽水机功率为P=14.7 kW，效率为??75%，将密度?0?900kg/m3的油从油库送入密闭油箱。已知管道直径d=150 mm，油的流量Q=0.14m3/s，抽水机进口B处真空表指示为-3 m水柱高，假定自抽水机至油箱的水头损失为h=2.3 m油柱高，问此时油箱内A点的压强为多少?

解：根据连续方程Q=?d2V ?V?7.92m/s

41对A截面和B截面列伯努利方程：

VA22g?PA?0g?H?h?VB22g?PB?0g?p?0.75?gQ

所以可得：PA?11610Pa

4-11 如图所示虹吸管，由河道A向渠道B引水，已知管径d=100 mm，虹吸管断面中心点2高出河道水位z=2 m，点1至点2的水头损失为hW1-2?10(V2/2g)，点2至点3的水头损失hW2-3?2(V2/2g)，V表示管道的断面平均流速。若点2的真空度限制在hv=7 m以内，试问(1)虹吸管的最大流量有无限制?如有，应为多大?(2)出水口到河道水面的高差h有无限制?如有，应为多大?

VA2解：

（1）对截面1—1和截面2—2列伯努利方程：

V22g?PA?g?V22g?P2?g?Z+hw1?2

其中：VA?0??Q?1422g?10V2g2?2?7，V?3m/s

dV?23.5L/s

（2）对A截面和B截面列伯努利方程：

VA22g?PA?g?h?VB22g?PA?g?hw1?2?hw2?3

其中：VA?0，VB?0 ?h?hw1?2?hw2?3??h?5.51m6V22g

4-12 图示分流叉管，断面1—l处的过流断面积Al=0.1 m2，高程z1=75m，流速Vl＝3 m/s，压强p1＝98 kPa；断面2—2处A2＝0.05 m2，z1=72 m；断面3—3处A1=0.08 m2， z1＝60 m，p3＝196 kPa；断面1—1至2—2和3—3的水头损失分别为hwl-2=3 m和hwl-3=5 m。试求(1)断面2—2和3—3处的流速V2和V3；(2)断面2—2处的压强p2。

解：（1）对断面1—1和断面2—2列伯努利方程：

?V3?3m/s

V122g?P1?g?z1?V322g?P3?g?z3?hw1?3

根据A1V1?A2V2?A3V3

得：V2?1.2m/s

（2）对断面1—1和断面2—2列伯努利方程：

5V122g?P1?g?z1?V222g?P2?g?z2?hw1?2

?P2?1.018?10Pa

4-13 定性绘制图示管道的总水头线和测管水头线。

4-14 试证明均匀流的任意流束在两断面之间的水头损失等于两断面的测管水头差。 证明：对两断面列伯努利方程：

?V1?V2

V122g?P1?g?z1?V222g?P2?g?z2?hw1?2

hw1?2?V122g?P1?g?（V222g?P2?g)?HP1?HP2

4-15 当海拔高程z的变幅较大时，大气可近似成理想气体，状态方程为pa(z)??aRT，其中R为气体常数。试推求pa(z)和?a(z)随z变化的函数关系。

解：

4-16 锅炉排烟风道如图所示。已知烟气密度为?s?0.8kg/m3，空气密度为?a?1.2kg/m3，烟囱高H=30 m，烟囱出口烟气的流速为10m/s。(1)若自锅炉至烟囱出口的压强损失为产

pw=200 Pa，求风机的全压。(2)若不安装风机，而是完全依靠烟囱的抽吸作用排烟，压强损失应减小到多大?

解：

4-17 管道泄水针阀全开，位置如图所示。已知管道直径d1=350 mm，出口直径d2=150 mm，流速V2=30 m/s，测得针阀拉杆受力F=490 N，若不计能量损失，试求连接管道出口段的螺栓所受到的水平作用力。

解：根据伯努利方程：

4-18 嵌入支座内的一段输水管，其直径由d1=1.5m变化到d2=l m，如图示。当支座前的压强pl=4 at(相对压强)，流量为Q=1.8m3/s时，试确定渐变段支座所受的轴向力R(不计水头损失)。

解：根据伯努利方程：根据连续方程：

?42V122g?P1?g2?V222g?P2?g

d1V1??4d2V2?Q

?V1?1.02m/s，V2?2.29m/s

根据动量定理：?Q(V2?V1)?P1?4d1?P22?4d2?R2

得：R?3.84?105N 方向水平向右。

4-19 斜冲击射流的水平面俯视如图所示，水自喷嘴射向一与其交角成60。的光滑平板上(不计摩擦阻力)。若喷嘴出口直径d=25 mm，喷射流量Q=33.4L/s，试求射流沿平板向两侧的分流流量Q1和Q2以及射流对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计，喷嘴轴线沿水平方向。

解：以平板法线方向为x轴方向，向右为正，根据动量定理得：

?R??mvsin60???Qvsin6000

即：R??Qvsin600

因为：Q??4dv2

?v?68m/s

所以，R?1967N

射流对平板的作用力R'??R?1967N,方向沿x轴负向。 列y方向的动量定理：

?Q1v1??Q2v2??Qvcos60?0

?因为v1?v2

所以Q1?Q2?12Q

又因为Q1?Q2?Q 所以，Q1?34Q?25.05L/s，Q2?14Q?8.35L/s

4-20 一平板垂直于自由水射流的轴线放置(如图示)，截去射流流量的一部分Ql，并引起剩余部分Q2偏转一角度θ。已知射流流量Q=36L/s，射流流速V=30 m/s，且Ql＝12L/s，试求射流对平板的作用力R以及射流偏转角θ(不计摩擦力和重力)。

解：以平板法线方向为x轴方向，向右为正，根据动量定理得：Fy?m2v2sin??m1v1?0

即：Q1v1?Q2v2sin?，又因为Q2?Q?Q1?24L/s

所以：v1?2v2sin?

?v1?v2?v

???300

?Fx?m2v2cos??mv

Fx?mv?m2v2cos???(Qv?Q2v2cos?) ?456.5N射流对平板的作用力：F=456.5N，方向水平向右。

4-21 水流通过图示圆截面收缩弯管。若已知弯管直径dA=250 mm，dB=200 mm，流量Q=0.12m3/s。断面A—A的相对压强多pA=1.8 at，管道中心线均在同一水平面上。求固定此弯管所需的力Fx与Fy(可不计水头损失)。

解：取水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向。

根据连续方程：

?4dAvA?2?4dBvB?Q2

PB根据伯努利方程：

VA22g?PA?g?VB22g??g

所以：vA?2.4m/s，vB?3.8m/s,PB?1.76at 在水平方向根据动量定理得：

Fx?PA?4dA?PB2?4dBcos60?mvBcos60?mvA2??

所以：Fx=6023.23N

在竖直方向根据动量定理得：

Fy?PB?4dBsin60?mvBsin602??

所以：Fy=4382.8N

所以，固定此弯管所需要的力为：Fx=6023.23N，方向水平向左；Fy=4382.8N，方向水平向

下。

4-22 试求出题4—5图中所示短管出流的容器支座受到的水平作用力。 解：根据动量定理：

Fx?P1?4d1?P22?4d2?m(v2?v1)??Q(v2?v1)

2Fx=426.2N

所以：支座受到的水平作用力Fx=426.2N，方向水平向左。

4-23 浅水中一艘喷水船以水泵作为动力装置向右方航行，如图示。若水泵的流量Q=80 L/s，船前吸水的相对速度wl=0.5m/s，船尾出水的相对速度w2=12m/s。试求喷水船的推进力R。

解：根据动量定理：

R?mw2?mw1??Q(w2?w1)?920N

4-24 图示一水平放置的具有对称臂的洒水器，旋臂半径R=0.25m，喷嘴直径d=l0 mm，喷嘴倾角α=45。，若总流量Q=0.56L/s，求(1)不计摩擦时的最大旋转角速度ω；(2) ω=5 rad/s时为克服摩擦应施加多大的扭矩M及所作功率P。

解：

z0?V22g?hw?3Vg2

?V?9.038m/s

h?V22g?4.166m

6-8 在混凝土重力坝坝体内设置一泄水管如图所示，管长l?4m，管轴处的水头

H?6m，现需通过流量Q?10m3/s，若流量系数??0.82，试确定所需管径d，并求管中

收缩断面处的真空度。

解：真空度：PV?0.75H?4.5m

流量Q??A2gH,所以：d?1.191m

选取d?1.20m

6-8 为测定某阀门的局部损失系数?，在阀门上、下游装设三根测压管，如图所示，

已知水管直径d?50mm，长度l12?1m，l23?2m，实测高程

6-9 ?1?1.50m，?2?1.25m，?3?0.4m，流速V?3m/s。求阀门的?值。

解：

对第一根测压管和第二根测验管处列伯努利方程：

?1??2??1l12V2d2g

??1?0.028

对第二根测压管和第三根测验管处列伯努利方程：

?2??3??1???0.762

l23V2d2g??V22g

6-10 两水池用虹吸管相连接（如图示），上、下游水池的水位差H?2m,虹吸管各段的长度l1?3m，l2?5m,l3?4m，直径d?200mm，管顶比上游水位高出h?1m，沿程损失系数??0.026，底阀?1?10，弯头?2?1.5，出口?3?1.0。求（1）通过虹吸管的流量；（2）管中压强最低点的位置及其真空度。

解：（1）对上、下游过流断面列伯努利方程：

H?hw?(?l1?l2?l3)d??1?2?2??3)V22g

?V?1.59m/s?Q?

3?4dV?0.05m/s

2（2）压强最低点位于第2弯头下游侧

?P2?(?l1?l2??1?2?2)V2d?2.933mH2O2g?h

6-11 一跨越河道的钢筋混凝土倒虹吸管如图示。已知，通过流量Q?3m3/s，上、下游水位差z?3m，倒虹吸管全长l?50m，其中经过两个??30?的折角拐弯，每个拐弯的局部损失系数?1?0.2，沿程损失系数??0.024。现已选定倒虹吸管采用正方形断面，试求其变长b。

解：

对上、下游过流断面列伯努利方程：

z?hw?(?Q?bVd?4AP?lb4b22ld?2?1)V22g

?b(Q/b)2g224b?z?(??2?1)整理后，得未知量b的5次方程

b?0.06b?0.18?0

5 6-12 某管道自油塔输油到大气中，已知管道全长l?5000m，管径d?200mm，沿程损失系数??0.032，局部损失系数可忽略不计，为了保证输油量Q?0.022m3/s，所需油塔自由面与管道出口断面间的高差为多少？

解：h??Q?lV2d2g

?4dV2

?h?20.02m 6-13 设简单管道的淹没出流，局部损失仅包括进口?1?0.5和出口?2?1.0。若沿程损失按直径200mm和新钢管曼宁系数n?0.011~0.012计，按局部损失不大于沿程损失的5%来控制，问管道长度多少倍管径时才能看做是长管？ 解：

沿程损失：hf?SlQ?2n224/3ARV2l?AV?2?nlVR4/322

局部损失：hj?(?1??2)hj?5%hf2g

22即：(?1??2)V22g?1nlV20R4/3

0.071n2?l?10??1??2?Rng24/3?

当n?0.011时：l?587.15m?2935.73d； 当n?0.012时，l?493.06m?2465.23d。

所以，管道长度为管径的2465.23~2935.73倍。

d2,? 6-14 图示管路系统，已知管径d1?150mm100dm?m,320管0m，长ml1?l2?l3?50m，沿程损失系数?1?0.024,?2?0.025,?3?0.023，阀门局部损失系数??0.5，

上、下游水池的水位差H?15m。计算各控制断面的测管水头和总能头，且定量绘出该管

路的总水头线和测管水头。

解：以出口下游为基准面

S?8?g?d25

所以：S1?8?1g?d18?2g?d28?3g?d3252525?8?0.0249.8???0.158?0.0259.8???0.18?0.0239.8???0.2252525?26.14

S2???206.78

S3???5.94

v3?QA3?4Q?d23?31.83Q

H?hf?hj?(S1+S2+S3)lQ??3?Q?0.0354m/s

2v322g?11968.85Q

2v3?1.13m/s;v2?4.51m/s;v1?2m/s

所以：出口下游：HP?0;H0?0

第三段管路入口：HP?0.4m;H0?0.399m 第二段管路入口：HP?12.36m;H0?13.4m 第一段管路入口：HP?14.7m;H0?15m

6-15 一水泵向图中串联管路的B、C、D点供水，管道轴线水平，D点的最小服务水头

hc?10m00。已

,知分

d31?流量

qB?15L/s,qC?10L/s,qD?5L/s;管径

d1?2dm?m250ml1?5m00m,,l2?4010m0l,3?030m0mm；管长。若此管路比阻

按S1?9.03s2/m6,S2?41.85s2/m6,S3?365.30s2/m6计算，试求水泵出口A点的压强水头。

解：作用水头是三段管道沿程损失之和

Q3?qD?5L/s;Q2?qC?qD?15L/sQ1?Q2?qB?30L/s

H?hf1?hf2?hf3?S1l1Q1?S2l2Q2?S3l3Q3222222

?9.03?500?0.03?41.85?400?0.015?365.3?300?0.005?10.57m所以，水泵出口A点的压强水头Ha?H?he?20.57m

6-16 两水池的水位差H?6m，用一组管道按图中所示方式连接，管道的BC段长

3000m、直径600mm，C点后分叉成两段各长3000m、直径300mm的并联管，各在D点和E点进入下游水池。设管道的沿程损失系数??0.04，问总流量多大？

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