东北三省三校2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

东北三省三校2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题含答案;

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学;

2018年高三第一次联合模拟考试;

理科数学试卷;; 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小;题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.;; 1.复数A.1 22i的模为( ); 1?i B.2 2 C.2 D.2

2.已知集合A?xy?9?x2，B??xx?a?，若AA.???,?3?

B.???,?3?

??B?A，则实数a的取值范围是( )

C.???,0?

D.?3,???

3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A.1 4 B.

1 2

1C. 3 D.

2 3???1?5???a??( );; 4.已知sin??a??，则cos??3?3?6?1A. 3

1B.?

3 C.22 3 D.?2 35.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点??2,4?，则它的离心率为( ) A.5 22

5 B.2 C.3 D.5 ?1?6.?x?2???1?展开式中的常数项是( )

?x?A.12 B.?12 C.8 D.?8

7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是;;( )

A.3 2 B.

9 2 C.1 D.3

8.已知函数f?x??3sin?x?cos?x???0?的图象的相邻两条对称轴之间的距离是

?，则该2函数的一个单调增区间为( );; ?????5?????2????2??A.??,? B.??,? C.?,? D.??,? ?36??1212??63??33?9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m?8521，n?6105，则输出m的值为( )

A.148 B.37 C.333 D.0

10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的侧面积为43，则该半球的体积为( )

A.4? 3 B.

2? 3 C.82? 3 D.42? 3111.已知抛物线C:y2?2x，直线l:y??x?b与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径

2的圆与x轴相切，则b的值是( ) 1A.?

5

2B.?

5

4C.?

5

8D.?

512.在△ABC，∠C?90°，AB?2BC?4，M,N是边AB上的两个动点，且MN?1，则CM?CN的取值范围为( )

?11??15?A.?,9? B.?5,9? C.?,9? ?4??4?二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

?11?D.?,5? ?4?13.在△ABC中，AB?2，AC?7，∠ABC?2?，则BC?______________. 3?x?1?0y?14.若x,y满足约束条件?x?y?0，则的最大值为______________.

x?1?x?y?4?0?15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：

①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；

③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科. 可以判断乙教的学科是______________.

116.已知函数f?x??xlnx?x2，x0是函数f?x?的极值点，给出以下几个命题：

211①0?x0?；②x0?；③f?x0??x0?0；④f?x0??x0?0；

ee其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

217.已知正项数列?an?满足：4Sn?an?2an?3，其中Sn为数列?an?的前n项和.

(1)求数列?an?的通项公式； (2)设bn?1，求数列?bn?的前n项和Tn. 2an?118.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每

台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间??20,?10?，需求量为100台；最低气温位于区间??25,?20?，需求量为200台；最低气温位于区间??35,?25?，需求量为300台。公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表： 最低气温(℃) 天数 ??35,?30? 11 ??30,?25? 25 ??25,?20? 36 ??20,?15? 16 ??15,?10? 2 以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率. (1) 求11月份这种电暖气每日需求量X(单位：台)的分布列；

(2) 若公司销售部以每日销售利润Y(单位：元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订

购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？

19.如图，四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，且PA?PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF?2FE.直线PE与平面ABCD所成的角为

?. 4

(1)证明：PE?平面MNF；

(2)设AB?AD，求二面角B?MF?N的余弦值.

x2y220.已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?过抛物线M:x2?4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的

ab左、右焦点，且F1F?F1F2?6. (1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值. 21.已知函数f?x??ex，g?x??lnx，h?x??kx?b.

(1)当b?0时，若对任意x??0,???均有f?x??h?x??g?x?成立，求实数k的取值范围； (2)设直线h?x?与曲线f?x?和曲线g?x?相切，切点分别为A?x1,f?x1??，B?x2,g?x2??，其中x1?0.

①求证：x2?e；

②当x?x2时，关于x的不等式a?x1?1??xlnx?x?0恒成立，求实数a的取值范围. 22.已知曲线C1的极坐标方程为：??4cos?，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建1?x?3?t?2?立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：?(t为参数)，点A?3,0?.

3?y?t??2(1)求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程； (2)设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求AP?AQ的值. 23.已知不等式2x?5?2x?1?ax?1. (1)当a?1时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集为R，求a的范围.

2018年三省三校一模考试（数学理科）答案

一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题： 13.1 14.

3 15.C 16. ①③ 2三．解答题：

17. （本题满分12分）

2解：（Ⅰ）令n?1，得4a1?a1?2a1?3，且an?0，解得a1?3.

2222当n?2时，4Sn?4Sn?1?an?an?1?2an?2an?1，即4an?an?an?1?2an?2an?1，

整理得(an?an?1)(an?an?1?2)?0，Qan?0，?an?an?1?2， 所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 故an?3?(n?1)?2?2n?1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn?111111???(?)， 22an?14n?4n4n(n?1)4nn?1?1111n?)?(1?)?. nn?14n?14n?41111?Tn?b1?b2+L?bn?(1????4223

18．（本题满分12分）

解：（1）由已知X的可能取值为100,200,300 X的分布列为

X P 100 0.2 200 0.4 300 0.4 （2） 由已知

①当订购200台时，

E(Y)?[200?100?50?(200?100)]?0.2?200?200?0.8?35000(元) ② 当订购250台时，

E(Y)?[200?100?50?(250?100)]?0.2?[200?200?50?(250?200)]?0.4

+[200?250]?0.4?37500（元）

综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。

19．（本题满分12分）

.解：（Ⅰ）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP?AD. 因为平面PAD?平面ABCD，所以OP?平面ABCD，?PEO??4，OP?OE.

方法一：因为MN//BC，OE//AB，所以MN?OE，所以MN?PE.

又EF?112EFEQ2PE?OE，EQ?OE，所以??，所以?EFQ∽?EOP，

244EOEP4所以?EFQ??EOP??2，所以PE?FQ.且MNFQ?Q，所以PE?平面MNF.

方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q,连接FQ，则OP?AD. 因为平面PAD?平面ABCD，所以OP?平面AC，?PEO??4，OP?OE.

又因为MN//BC，OE//AB，所以MN?OE，所以MN?PE.

以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O?xyz.

?nm??3mm?,?， 设AB?m，AD?n，则P?0,0,m?，E?0,m,0?，M?,,0?，F?0,2244?????nmm?于是PE??0,m,?m?,MF???,,?.

?244?所以PE?MF?0，所以PE?MF，且MNMF?M，所以PE?平面MNF

（Ⅱ）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP?AD. 因为平面PAD?平面AC，所以OP?平面AC，

?PEO??4，OP?OE.

以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系O?xyz.

设AB?AD?m，则P?0,0,m?，E?0,m,0?，

?m??mm??3mm?B?,m,0?，M?,,0?，F?0,,?，

22244??????m???mmm?于是PE??0,m,?m?，BM??0,?,0?，BF???,?,?.

2???244???n1?BM?0设平面BMF的一个法向量为n1??x,y,z?，则?，

??n1?BF?0?m?y?0??2从而?，令x?1,得n1??1,0,2?.

??mx?my?mz?0?44?2而平面NMF的一个法向量为n2?PE??0,m,?m?. 所以cos?n1,n2??n1?n2?2m10=?? n1n255?2m20．（本题满分12分）

.解: （Ⅰ）F(0,1),?b?1，又FF?F1F12 ?6，?2c2?6,c?3.又a2?b2?c2,?a?2，

x2?椭圆C的标准方程为?y2?1.

422x0x0x0x0?(x?x0)，即y?x?， （Ⅱ）设直线l与抛物线相切于点P(x0,y0)，则l:y?42242?x0x0y?x??14?24223联立直线与椭圆?2，消去y，整理得(1?x0)x?x0x?x0?4?0.

4?x?y2?1??424由??16(x0?1)?x0?0，得0?x0?8?45.

234x0x0?16设A(x1,y1),B(x2,y2)，则：x1?x2?. ,xx?12221?x04(1?x0)22x0x0|x1?x2|?1?(x1?x2)2?4x1x2?则|AB|?1?442244?x016(x0?1)?x0? 221?x0

原点O到直线l的距离d?

2241x016(x0?1)?x011?故?OAB面积S?d?|AB|?281?x0822442[16(x0?1)?x0?]x01?x0??1， 221?x01?x02x02x?420.

244当且仅当16(1?x0，即x0?4?26取等号， )?x0?x02故?OAB面积的最大值为1. 21．（本题满分12分） 解（Ⅰ）:当b?0时：h(x)?kx

由f(x)?h(x)?g(x)知：ex?kx?lnx

exlnx?k?依题意：对x?(0,??)恒成立 xxexex(x?1)/(x?0),?m(x)?设m(x)? xx2当x?(0,1)时m/(x)?0；当x?(1，+?)时m/(x)?0，?[m(x)]min?m(1)?e 设n(x)?lnx1?lnx(x?0),?n/(x)? xx21 e当x?(0,e)时n/(x)?0；当x?(e，+?)时n/(x)?0，?[n(x)]max?n(e)?故：实数k的取值范围是[，e] （Ⅱ）由已知：fx'1e?x??ex，g'?x??x

xxx1①：由y?e1?e1?1?x1?得：h?x??e1??x1?1??e1 由y?lnx2?11?x?x2?得：h?x??x?lnx2?1 x2x21?x1e??x2 故?

?ex1?x?1??1?lnx12?Qx1?0，?ex1?x1?1??0，?lnx2?1，故：x2?e

②：由①知：x2?e?x1，e1?x1?1??x1?1且x2?e?1

x由a?x1?1??xlnx?x?0得：a?x1?1??x?xlnx，?x?x2? 设G?x??x?xlnx?x?x2?

G'?x??1?lnx?1??lnx?0

?G?x?在??x2,???为减函数，???G?x???max?G?x2??x2?x2lnx2

由a?x1?1??x2?x2lnx2得：

a?x1?1??x2?1?lnx2? ? a?x1?1???x1?1?

又x1?0 ?a?1 22.解：（本小题满分10分）

（Ⅰ）Q??4cos?

??2?4?cos?

Q?2?x2?y2??cos??x,?sin??y ?x2?y2?4x

?C1的直角坐标方程为:x2?y2?4x 1?x?3?t,?2?Q??y??3(x?3) ?y?3t,??2?C2的普通方程为y??3(x?3) 1?x?3?t,?2?代入x2?y2?4x （Ⅱ）将??y?3t,?2?得：(3?12321t)?t?4(3?t) 242?t2?3t?9?12?2t ?t2?t?3?0

?t1?t2?1,t1?t2??3

由t的几何意义可得：AP?AQ?t1t2?t1?t2?3 23．（本小题满分10分）

（Ⅰ）当a?1时：不等式为:2x?5?2x?1?x?1

155??1??x?????x??x?或?2或?222等价于：:?

????2x?5?2x?1?x?1?2x?5?2x?1?x?12x?5?2x?1?x?1???1155或??x?或x? 2222解得：:x??（-?,+?) 所以：不等式的解集为:

???4x?4??（Ⅱ）设函数f(x)?2x?5?2x?1=?6???4x?4?设函数g(x)?ax?1过定点（0，-1） 画出（fx),g(x)的图像，

x???1215?x? 225x?2（?1，6） 2（5，6） 2（0，-1） 由数形结合得a的范围是[?4,

14) 52018年三省三校一模考试（数学理科）答案 一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题： 13.1 14.

3 15.C 16. ①③ 2三．解答题：

17. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）令n?1，得4a1?a12?2a1?3，且an?0，解得a1?3. ……1分

2222当n?2时，4Sn?4Sn?1?an?an?1?2an?2an?1，即4an?an?an?1?2an?2an?1，

整理得(an?an?1)(an?an?1?2)?0，Qan?0，?an?an?1?2， ……4分

所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 故

an?3?(n?1)?2?2n?1. …….6

分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn?分

111111???(?)， ……92an?14n2?4n4n(n?1)4nn?1?Tn?b1?b2+L?bn?1111(1????4223?1111n?)?(1?)?. ……12分 nn?14n?14n?4

18．（本题满分12分）

解：（1）由已知X的可能取值为100,200,300 X的分布列为 X P 100 0.2 200 0.4 300 0.4 …….4分

（2） 由已知

①当订购200台时，

E(Y)?[200?100?50?(200?100)]?0.2?200?200?0.8?35000(元) …….7分

② 当订购250台时，

E(Y)?[200?100?50?(250?100)]?0.2?[200?200?50?(250?200)]?0.4 +[200?250]?0.4?37500（元）

…….11分

综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。

…….12分

19．（本题满分12分）

.解：（Ⅰ）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP?AD. 因为平面PAD?平面ABCD，所以OP?平面ABCD，?PEO??4，OP?OE.

方法一：因为MN//BC，OE//AB，所以MN?OE，所以MN?PE. 又EF?112EFEQ2PE?OE，EQ?OE，所以??，所以?EFQ∽?EOP，

244EOEP4所以?EFQ??EOP??2，所以PE?FQ.且MNFQ?Q，所以PE?平面MNF.

方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q,连接FQ，则OP?AD.

因为平面PAD?平面ABCD，所以OP?平面AC，?PEO??4，OP?OE.

又因为MN//BC，OE//AB，所以MN?OE，所以MN?PE.

以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O?xyz.

?nm??3mm?,?， 设AB?m，AD?n，则P?0,0,m?，E?0,m,0?，M?,,0?，F?0,2244?????nmm?于是PE??0,m,?m?,MF???,,?.

?244?所以PE?MF?0，所以PE?MF，且MNMF?M，所以PE?平面MNF ……6

分.

（Ⅱ）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP?AD. 因为平面PAD?平面AC，所以OP?平面AC，

?PEO??4，OP?OE.

以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系O?xyz.

设AB?AD?m，则P?0,0,m?，E?0,m,0?，

?m??mm??3mm?B?,m,0?，M?,,0?，F?0,,?，

22244??????m???mmm?于是PE??0,m,?m?，BM??0,?,0?，BF???,?,?. ……8

2???244?分.

??n1?BM?0设平面BMF的一个法向量为n1??x,y,z?，则?，

??n1?BF?0?m?y?0??2从而?，令x?1,得n1??1,0,2?.

??mx?my?mz?0?44?2而平面NMF的一个法向量为n2?PE??0,m,?m?. ……10

分. 所以cos?n1,n2??分.

20．（本题满分12分）

n1?n2?2m10=?? ……12n1n255?2m.解: （Ⅰ）F(0,1),?b?1，又FF?F1F12 ?6，?2c2?6,c?3.又a2?b2?c2,?a?2，

x2? 椭圆C的标准方程为?y2?1. ……3

4分

22x0x0x0x0?(x?x0)，即y?x?， （Ⅱ）设直线l与抛物线相切于点P(x0,y0)，则l:y?42242?x0x0y?x??14?24223联立直线与椭圆?2，消去y，整理得(1?x0)x?x0x?x0?4?0.

4?x?y2?1??424由??16(x0?1)?x0?0，得0?x0?8?45.

234x0x0?16设A(x1,y1),B(x2,y2)，则：x1?x2?. ……6分 ,xx?12221?x04(1?x0)则

22x0x0|AB|?1?|x1?x2|?1?(x1?x2)2?4x1x2?442244?x016(x0?1)?x0? ……8221?x0分

原点O到直线l的距离d?分

2241x016(x0?1)?x011?故?OAB面积S?d?|AB|?281?x0822442[16(x0?1)?x0?]x01?x0??1， 221?x01?x02x02x?420. ……9

244当且仅当16(1?x0，即x0?4?26取等号， )?x0?x02故?OAB面积的最大值为1. ……12分

21．（本题满分12分） 解（Ⅰ）:当b?0时：h(x)?kx

x由f(x)?h(x)?g(x)知：e?kx?lnx

exlnx依题意：?k?对x?(0,??)恒成立 ……1分

xx

exex(x?1)/(x?0),?m(x)?设m(x)? xx2当x?(0,1)时m/(x)?0；当x?(1，+?)时m/(x)?0，?[m(x)]min?m(1)?e ……3分 设n(x)?

当x?(0,e)时n/(x)?0；当x?(e，+?)时n/(x)?0，?[n(x)]max?n(e)?

故：实数k的取值范围是[，e] ……6分 （Ⅱ）由已知：fx'lnx1?lnx(x?0),?n/(x)? ……5分 2xx1 e1e?x??ex，g'?x??x1 xxx①：由y?e1?e1?1?x1?得：h?x??e1??x1?1??e1 由y?lnx2?11?x?x2?得：h?x??x?lnx2?1 x2x21?x1e??x2 故? ……8分

?ex1?x?1??1?lnx12?

Qx1?0，?ex1?x1?1??0，?lnx2?1，故：x2?e ……9分

②：由①知：x2?e?x1，e1?x1?1??x1?1且x2?e?1

x 由a?x1?1??xlnx?x?0得：a?x1?1??x?xlnx，?x?x2? 设G?x??x?xlnx?x?x2? G?x??1?lnx?1??lnx?0

' ?G?x?在??x2,???为减函数，???G?x???max?G?x2??x2?x2lnx2

……11分

由a?x1?1??x2?x2lnx2得：

a?x1?1??x2?1?lnx2? ? a?x1?1???x1?1?

又x1?0 ?a?1 ……12分 22.解：（本小题满分10分）

（Ⅰ）Q??4cos?

??2?4?cos?

Q?2?x2?y2??cos??x,?sin??y ?x2?y2?4x

?C21的直角坐标方程为:x?y2?4x ……3分

?Q??x?3?1?2t,?y??3(x?3) ???y?32t,?C2的普通方程为y??3(x?3) ……5分

??（Ⅱ）将?x?3?1?2t,3代入x2?y2?4x ???y?2t,得：(3?12t)2?34t2?4(3?12t) ?t2?3t?9?12?2t ?t2?t?3?0

?t1?t2?1,t1?t2??3 ……8分

由t的几何意义可得：AP?AQ?t1t2?t1?t2?3 ……10分

23．（本小题满分10分）

（Ⅰ）当a?1时：不等式为:2x?5?2x?1?x?1 等

价

于

：

???x??1?或??1?x5?5?2?2?2或??x?2??2x?5?2x?1?x?1???2x?5?2x?1?x?1? ……3分?2x?5?2x?1?x?1

:

解得：:x??1155或??x?或x? 2222（-?,+?) ……5分 所以：不等式的解集为:

???4x?4??（Ⅱ）设函数f(x)?2x?5?2x?1=?6x???1215?x? ?22???4x?4x?52

设函数g(x)?ax?1过定点（0，-1）

画出（fx),g(x)的图像， （?1 2，6） （52，6） （0，-1）

由数形结合得a的范围是[?4,145)

……7分 ……8分 分

……10

解得：:x??1155或??x?或x? 2222（-?,+?) ……5分 所以：不等式的解集为:

???4x?4??（Ⅱ）设函数f(x)?2x?5?2x?1=?6x???1215?x? ?22???4x?4x?52

设函数g(x)?ax?1过定点（0，-1）

画出（fx),g(x)的图像， （?1 2，6） （52，6） （0，-1）

由数形结合得a的范围是[?4,145)

……7分 ……8分 分

……10

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