2011版义务教育数学课标第三学段教学过程设计与案例评析

阅读材料：

警惕统计的误用 1．家庭收入的调查

背景：某市居民人均月收入800元，红星街道希望了解本地区居民的月收入情况。 街道着手对本地区居民家庭收入状况做调查，按门牌号进行随机抽样，共抽出100户作为调查对象。调查员在上班时间上门进行现场登记居民收入，居民要回答家庭人口数、有收入来源的人数、工作所在单位或公司及月收入的多少。如果某户没有人，或拒绝回答某些问题，就在其邻居中有人在家的户代替该户，如果邻居都没有人在家，则再来调查一次。调查完毕，调查员把数据录入计算机并与街道原有相关数据对照，先进行人工审核，再进行机器编辑审核，检查每个被调查者对问题的回答以及对不同问题回答的一致性。调查结果显示该街道家庭人均月收入是200元。

2．班级平均分

某班级48人参加高考，被第一志愿录取的同学都兴奋地把考试分数报告给老师，数学老师记录下32人的数学高考分数，惊奇地发现他们的平均分竟高达131分！由此估计本班数学高考均分为131分。但是没过多久当所有同学的分数都知道以后，却发现班级均分为124分。

３．民意调查未必反映民意

1936年美国总统竞选，当时美国影响最大的民意测验机构——《文学文摘》（Literary digest）杂志，耗资五十万美元，按全国各地的电话号码簿发出一千万张问卷（调查表），要求被调查者回答：在十一月份的全国大选中，你将投谁的票？该杂志社根据二百万张寄回来的问卷（这个回收比率是相当高的了）汇总的结果，预测共和党总统候选人兰登（Alf .M. Landon）将以压倒多数的票数当选总统，而民主党候选人时任总统罗斯福（Franklin Delano Roosevlt）将遭到惨败。结果，惨败者却是这家预测机构，它所预计的当选票数与实际选举的票数相差20% 。《文学文摘》杂志不得不在第二年宣告停刊。

这主要由于这家机构没有考虑到1936年美国经济萧条，能拥有电话机的多数是富人。投谁的票往往与经济地位有关。所以，他们所抽到的样本不具有代表性。

与此同时，由盖落普（G.H.Gallup）领导的美国舆论研究所等三家民意测验机构，事先根据人口分布的特点设计抽样方案，并派调查员访问调查。只调查了三千个选民，预测罗斯福将当选，结果居然在预料之中。盖落普极风趣地形容自己这次成功的秘诀是：“用两头马可以拉的马车，却用五十头来拉是无用的”。

由此可见，科学地设计抽样方案，可以事半功倍。

复习题

A组 １． 为了了解某地3200户家庭年人均收入，从中抽取100户家庭进行调查，在这项调查中，

总体是 ，个体是 ，样本是 ，样本容量是 。 ２． 为了鉴定某厂生产的微波炉的使用寿命，从中取出10台进行试验，持续使用的时间如

下：（单位：时）。

10020，10050，9990，10020，10080， 10040，10070，10010，10100，10030。

求样本的平均数、方差，并估计该厂生产的微波炉平均持续使用的时间和产品的

个体差异。

３．在青少年睡眠时间调查中，如何确定总体、抽取怎样的样本以及如何实施？如果仅仅在你的班级调查，可以推断多大范围内的青少年睡眠时间情况？ ４．为估计学校上月用于教学的开支，从学校的2389项开支中抽取185项。经分析，这185

项中有160项与教学有关。这160项的总开支为35.42万元。试估计学校上月用于教学的总开支。

５．某地区有5000名学生，随机抽取250名，调查每周收看电视的时间，得如下数据：

每周看电视时间 （时） 人 数 0~2 22 2~4 56 4~6 92 6~8 60 8~10 20 试根据上表数据所反映的信息估计每周看电视时间在6小时以下的学生人数。

６．下表是我国的一些年份的人口出生率，请根据表中数据所提供的信息估计我国2000年

和2002年的人口出生率，并验证自己估计的准确性。

年份 出生率 年份

B组

1. 500克食盐包装上标明净重500?3克，每袋标准净重为500克，允许3克的偏差，即净

重在497~503克之间时，认为该袋食盐符合质量要求。某车间用一台包装机包装这种型号食盐，从中随机抽取所包装的食盐9袋，称得净重（单位：克）为： 497、506、518、504、488、511、510、505、512. 能否认为这批食盐符合包装标明的合格要求？

2. 为了了解全校学生中昨晚收看某个电视节目的学生所占的比例，从当天早晨上课前在操

场锻炼的学生中随机抽取部分学生进行调查。这个调查结果可信吗？ 3. 某大公司为了了解下属商店的平均日销量，随机地抽取部分商店，于星期日去调查这些

商店的销售量。这个调查结果可信吗？ 4. 《少年日报》社对某市1975名中小学生的课外生活情况作了一次调查。调查结果

显示：双休日中，两个半天被上补习班占用的学生占所调查中学生的32%。你们学校的同学周末主要从事什么活动？请你选择适当的方法，和同学合作来完成这项调查任务。

1995 1996 14.47 1997 1998 1999 2000 2001 13.38 出生率 14.76 14.52 13.67 13.18 1989 1990 1991 1992 1993 1994 16.73 16.14 15.49 15.47 15.37 15.13

2011版义务教育数学课标第三学段教学过程设计与案例评析 每部分增加相关案例

一、第三学段教学过程设计的几个注意点 立体育人

准确定位所处学段，不伸腿，不缩腿 多给学生思考的机会

把握文化教育与数学技术二重性功能

育人，不能平面化，不能变成一、二学段的重复，也不能变成高中内容的下放。

史宁中：最关心的是能把基本理念通过各环节贯彻实施下去，要通过各种方式，把一些基本理念变得可操作，如何体现以人为本，如何培养学生创新，如何培养数学思考，如何让学生愿意学习，这些都是基本的事情。教师在教学时，不要直接给学生讲道理，应该更多地让学生利用尝试的方法找到答案，然后让学生进行归纳，这也是培养学生创新思维的重要途径，利用这样的教学方法实现数学教育的理念。要加强对教师的培训，最重要的是要加强校本培训。现在数学教学中存在的一个很大问题，就是强调熟练，其实数学是需要思考的，现在的数学考试一分钟一道题，量太大，这是不对的。我认为在数学评价上应倡导三点：一是做对就好，不要求解题速度；二是重点看学生对公式与概念本身是否理解，而不是会不会做题，现在的教学不会让学生举一反三是最大的问题；三是对于推理，过去我们都是格式化，其实正常把一个思路描述清楚就可以，用写作文式的语言也可以，只要逻辑清楚，符合人的正常思维即可。教师得学会思考问题，面对修订后的课标，要真正理解数学教育价值是什么，这是根本性的问题。 徐利治：（2002.8.28北京师大、人民教育出版社）徐：50年，有体会，参加两次义务教育讨论，西南联大教过中学数学，天津学报顾问。全国使用，责任重大，人人完成义务教育，非常重要，文化教育、数学技术功能二重，非常重要，比物理、化学高，与自然科学、人文科学并列。

意见：教材有三个问题是否有趣、有用、普适性，为科技服务。

米山国藏，70%不从事数学，学与不学不同，温和、文化素质、逻辑思维、客观数学的解决、思考问题，客观公正地处理、思想条理化、追求真理的精神，过去太强调技术，全民的需要，针对绝大多数，文化教育功能，美育应体现出来。简明直观生动有趣。

徐：提高一步对后继学习起作用，有回味的余地，结果与方法很优美甚至赞美都可以赞叹，这种赞美是很自然的，培养兴趣很重要，体会出美一辈子忘不了。所谓欣赏就是审美，简单、谐调、统一、对称、奇异，数学是自然的，把原始思想告诉学生，玄妙的吓人的东西不要，把难的讲容易，化难为易，化易为简，化繁为简，不要烦琐。最简单的是最重要的，创造思维。良工不示人以璞。

李忠：一个中学生，在他工作之后可能再没有遇到过一个几何题目或一个二次方程，但是他从数学课中所学到的思考能力以及推理的能力，却伴随他的终生。 丘成桐2009年6月28日上午9：30——11：30 地点：华东师大本部理科大楼1506会议室 记录人：任升录 内容：（问题皆指中国大陆）

1．丘：中国大陆大学生一届多少人？其中学习数学（数学系）多少人？ 约2万人，今年大学招生6200万

2．丘：农村和城市读大学的比例方面差异大不大？

虽然招生人数在增加，但总的来说还是城市中读大学的比例高。

3．丘：是不是经济方面的原因？

多方面因素，政策、就业，等。例如：今年有约80万应届高中毕业生没有报考，少部分选择出国，另部分认为读书无用，多数来自农村。

4．丘：中学与大学教师薪水怎样？上海，温州，长沙。 各地差异较大，房帖

5．丘：每年数学大学毕业生中做教师的几人？继续读书的几人？ 例：复旦数学系160名毕业生，30名到中学，40人读研。 6．丘：每年数学博士多少人？ 约500个 丘：美国一年1200人，中国这么多人是不是应该更多一点，加上去美国大学读博的不到100人一年，总共也不过600人。

实数综合运算含实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，考核基本要求是：掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法则、性质（交换律、结合律、分配律、互逆性、数0和数1的特性）、运算顺序，明确有关运算性质的推广和运用（不涉及繁难的纸笔计算）。能按照要求写出近似值。同学们学习时，应根据题目特点，熟练运用基础知识、基本概念和基本方法，简化运算，现举例说明。

?1?2011例1计算：?2????3???????1?

?3?0?2解析：注意运算顺序，先乘方开方，再加减。?1的奇次方为?1，a0?1(a?0)，

a?p111?1??p(a?0)，?????9

11a?3?()239答案 原式=2?1?9?1??7 例2化简：x??2x2?3?x3(x?0)

2解析：注意x的范围，负数的绝对值是它的相反数，x?x??x；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，3?x3??3x3??x。 答案 原式=?x?(?x)?(?x)??x

例3 已知实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示， 化简：c?c?a?b?c?a?b

2a b 0 c

解析：此类问题的关键是根据已知条件确定确定绝对值符号内的代数时表示的值的符号，

化去绝对值的符号。由数轴可知a?b?0?c，则c?0，c?b?0，b?c?0，a?b?0，所以

c2?c(c?0)，c?a?c?a(c?a?0)，b?c???b?c?,(b?c?0)，

a?b??(a?b),(a?b?0)。

答案 原式=c?(c?a)???(b?c)????(a?b)?=c

二、数学教学设计要处理好哪些基本关系？

教学是教师指导学生学习课程的真实过程。在教学过程中，有众多因素共同作用，其中最主要的因素是教师、学生、教学目标、教学内容、教学方式和教学环境等；这些因素各自所处的地位和发挥的作用不同，但它们是互相联系、互相制约、互相促进的。数学教学的真实过程如何展现，其中教师对数学以及数学教育的认识和理解，常常起着主导性的作用；而学生作为学习的主体，其智力参与和情感参与程度，则往往具有关键性的作用。对影响教学过程的主要因素进行分析，它们在相互作用中形成了教学内部的一些基本关系问题。例如：“教与学、教师与学生的关系”；“目标与内容、内容与学生的关系”；“结果与过程、智力因素与非智力因素的关系”；“接受学习与探究学习、独立思考与合作交流的关系”等。在教学过程中，如何确定教学目标与教学内容，教师如何施教和学生怎样学习，如何看待结果与过程，如何发挥智力因素与非智力因素的作用，如何合理选择、运用教与学的方式等，反映了教师对数学学习和数学教育在认识上的差异，同时表现出对相关因素之间关系在处理上的倾向。 广大教师在深入认识数学教育意义和数学学习过程的基础上，积极推进数学教学改革，通过对确立并尊重学生主体地位的不断强调，对“加强基础，培养能力，发展智力，提高素质”的教学指导思想的积极贯彻，促进了教学内部基本关系的调整和改善。 数学教学是教师主导与学生主动相统一的活动。当前数学课堂教学改革的核心任务，就是要根本改变学生被动学习的局面和单一接受学习的状况，创建师生互动、和谐协调、活动多样、交流多向的新型课堂，同时加强过程教学，拓宽创造性学习渠道，完善学生的学习方式，促使教学质量和效益全面提高。正确认识和处理相关因素之间的相互关系，把握各方面要求的平衡兼顾，是合理设计教学过程的前提条件，是实现数学课堂教学改革任务的基本保障。 关于“教与学、教师与学生的关系”。在教育发展史上，“教学”曾被解释为“教师教学生学”，“教包含学并保证学、而且要学会”。现代教育赋予“教学”以新的含义，强调教师的教与学生的学相统一，学生在教师指导下进行学习。现代教学的目标任务是促进学生在知识、技能、能力、方法、情意、行为等各方面协调发展，不仅关注以知识的记忆、理解、掌握与应用为标志的外在发展，更加追求以知识的鉴赏力、判断力与批判力为标志的内在发展；不仅要帮助学生“学会”，更加要诱导学生“会学”。因此，现代教学特别关注学习过程，重心落在学生的“学”上。对“教与学”关系的处理，取向于“重学”，明确以“学习活动”为中心，教为学服务。在“教师与学生”的关系处理上，强调学生是学习的主体，他们是具有好奇心、探索兴趣、发展潜能和有个性的人，在教学活动中必须处于能动的、越来越自觉的主体地位；教师的角色是组织者、引导者和合作者，教师应积极“创造适合学生的教学”，以尊重学生的主体地位为前提进行指导，通过对学生学习的引导和启迪发挥主导作用。在数学课堂上，教师与学生应互相尊重、平等交往，从教与学两方面充分发挥各自的积极性和创造性，共同参与数学活动，并在活动过程中分享彼此的思考、见解和知识，交流彼此的情感和观念，实现共同发展。

关于“目标与内容、内容与学生的关系”。数学课程目标以及教学目标，指明了学生学习数学课程的终结性目标以及在达成过程中逐步前进的形成性目标。教学目标对课堂教学具有定向的意义，是进行教学决策的重要依据，教学内容应该服从目标的需要，目标对教学材料的选取和组织有制约作用。在强调教学的素材内容要体现与目标要求一致的同时，还要切实考虑内容对学生的心理特征和能力水平的适切性，重视内容的可接受性。当然，对教学目标的制定，已经指明必须符合学生发展的实际情况，所以内容对于学生的适切性，也就是目标对

内容组织提出的要求。由此可见，在目标、内容、学生之间的关系处理上，主要应把握学生发展的实际情况，从实际出发恰当制定教学目标，根据目标要求选定教学内容，再进一步分析内容对于学生的适切性，从而增强教学设计的可行性和实效性。 关于“结果与过程、智力因素与非智力因素的关系”。现代知识观认为，从知识的存在形式来看，人类的知识有显性知识和隐性知识（或称明确知识和默会知识）两种。显性知识可以用文字、符号、语言等清晰地表示出来，可以通过传授或媒体进行学习；隐性知识的特征是不能用文字、符号、语言进行逻辑的说明，不可用授受的方式进行传递，只有通过亲身的实践和体验、通过个体的摸索和顿悟才能获得。隐性知识在事实上支配着人的认识活动，它是学生知识学习的重要方面。数学中的有关概念、性质、法则、公式、公理、定理等陈述性知识，以及按照一定的程序与步骤进行计算、画图、推理等操作性知识，它们属于显性知识的范畴；还有大量的经验性、方法性、策略性、价值性知识，以及谋划决断、应变机智等，一般都是隐性存在的。在数学教学中，不仅要重视有关显性知识的获得,还应该充分展现知识形成的过程；要适当增加和突出一些活动性内容，引导学生对实际事例进行观察、实验、推理，在活动过程中尽可能去经历、探索、体验。有了过程，学生就有了获取隐性知识的机会，也有了发展情感态度的时空。所以我们不仅要重视“结果”，同时还要重视“过程”，对这两者关系的处理是“结果与过程并重”。还应该看到，学生学习数学离不开观察力、记忆力、思维力、想象力、注意力等智力方面的因素参与，同时不可低估成就动机、求知欲望、学习热情、自尊心、自信心、好胜心、责任感、坚持性、自制性、独立性等非智力因素的作用。在学习活动中，非智力因素的作用表示在动力、引导、维持、调节、强化等方面；有了非智力因素的积极参与，它与智力因素共同发挥作用，才能促进学生的学习走向成功。因此，对“智力因素与非智力因素的关系”的处理，也是两者并重的，不能忽视其中某一个方面。 关于“接受学习与探究学习、独立思考与合作交流的关系”。这里所说的“接受学习”，是指学生通过教师呈现的材料来掌握现成知识的一种学习方式。它以教师主导为取向，但教师不可包办过程或灌输现成结论，所呈现的材料应具有逻辑意义且与学生认知结构中已有的有关知识相联系；学生着重于接受，但不是死记硬背或囫囵吞枣，其接受是有意义的和主动的，包含有能动地获取和积极地建构的要求。所说的“探究学习”，是指学生通过探究和解决问题的活动来获取知识并发展探究性思维的一种学习方式。它以学生自主为取向，但学生的自主性只能随着其主体精神和主体能力的增强而增强，教师不能对学生放任自流而是适时进行必要的指导；学生所探究的问题应有丰富的数学内涵和服务于目标的意义，但难度要适当且可以有不同层次；学生通过“探究学习”要获得知识，而其过程体验更为注重。在数学学习中，“接受学习”有利于学生较快地学习和系统地获得显性知识，而“探究学习”则更有利于学生对有关知识达到探究性理解水平以及对隐性知识进行体验、感悟和应用。对于“独立思考”与“合作交流”，这是从学习组织形式的角度提出的两种学习方式。“独立思考”是学生建构和领会知识所必需的，也是促进学生学会学习、学会思考所必要的；而“合作交流”则是学生深化、完善知识的重要环节，也是学生学会沟通、学会协作的基本环节。应该注意，不同的学习方式有各自的优势和不足，所产生的学习效果以及对学生发展的作用也有所不同，它们具有很强的互补性，而且它们的优势互补是促使学生在学习进程中达到基础与发展平衡必不可少的条件。因此要强调学生的学习方式多样化，从而使学生获得多元的学习机会和体验；应根据特定的教育环境、教学目标、学习内容和自身的个性特点，适当选用相应的学习方式。教师应综合地平衡地采用多种多样的教学方式，创设有利于学生主动学习的条件和环境，促进学生通过多种学习方式的有机结合进行学习，形成优势互补。在基础教育阶段，在数学基本内容的教学中，“接受学习”是学生学习的主要方式，“探究学习”是与之相补的重要方式，随着学生主体性的发展，应逐步加强探究性学习；“独立思考”是学生学习的基本方式，“合作交流”是必要的方式，但开展合作交流应以独立思考为基础，防止流于形式。

三、数学课堂教学过程的阶段性如何把握？

数学教学应该超越传统教学中过度的技巧性训练、穿透当前频频出现的表面化的数学情境外衣，追求对数学本质问题的把握。它超越了单纯的技巧性问题和肤浅的情境性问题的教学，注重设计一系列数学问题，用问题来驱动教师的教和学生的学；强调学生通过数学化过程来“再创造”数学知识。这样一个思考数学教学的视角，跳出了对教与学方式的表面化追求、而是深入到了数学教与学的核心问题，这将是我们不断追求改进数学课堂教学的新动力。

2011《数学课程标准》对数学教学活动的实施，从“师生积极参与、交往互动、共同发展”“创设情境、关注过程、获得四基”“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑”等方面提出了明确的意见，数学教学过程的设计，必须认真落实这些要求，其中包括要展现教学的阶段性进程，体现与学生认知发展规律的一致性。

数学课堂教学的进程，通常包括导入阶段、发展阶段、小结阶段。不同学段、不同类型的数学课，在教学进程三阶段中进行教学组织和具体实施的要求有所不同；基于不同教学模式的数学课，对教学进程三阶段中的学习活动安排以及策略方法运用用有差别。这里主要对新课教学进行分析。

在新课教学中，各阶段的主要任务可以概括如下：导入阶段主要是进行学习准备，并引起学生的学习心向，揭示本课教学的主题；发展阶段主要是展开数学活动，初步形式结论，再逐步完善结论、加深理解，建立联系、巩固成果；小结阶段主要是整理学习所得，反思学习过程，提出进一步思考的问题。把握课堂教学的一般过程，有助于我们提出符合规律的教学预案以及合理进行教学调控。

导入阶段的教学设计注重于导入主题，展现知识的发生或发现过程。常用的方法有：（1）复习导入。在复习有关的旧知识及其研究方法的基础上，启发学生深入思考，提出新的想法或疑问，引出教学主题。（2）情境导入。提供“现实”的情境、或“矛盾”的情境，从中发现问题、提出问题；也可直接展示数学问题情境，在解决问题的过程中导入。（3）活动导入。提供丰富的背景材料或组织实践活动，引导学生通过观察、操作、类比、归纳，发现新知或抓住主题。

例如，在数学教学中，复习导入是常用的方法，一般从学生已有的数学知识出发，以旧引新，引导学生从已知探究未知。如学习平方差公式和完全平方公式时，可从复习多项式乘法等一些基础知识入手，引导学生探究(a+b)(a-b) 和(a+b)(a+b)的计算方法。当有些新知学习，对于学生来说缺乏原有的知识基础时，在导入时需要创设情境，从学生熟悉的生活背景出发，调动学生原有的生活经验，激发学生的求知欲。如学习分式的基本性质时，老师设计的导入。

怎样估计这批轴承的内径尺寸和质量的方差？

3．某厂实行记件工资制，为及时了解实际情况，抽取厂里30名工人，调查他们在一周内完成加工零件的数量，然后按规定算出每名工人的周工资如下（单位：元） 256，234，260，241，259，241，261，257，271，255， 249，244，269，238，268，247，253，256，225，256， 256，235，251，255，246，255，257，298，261，251．

请估计该厂工人的周平均工资和周工资方差。 4．某型号灯泡外包装盒上标明：“寿命更长，比正常值多50%，平均寿命长达1500小时”，这个数据是怎样得到的？

5．某市准备了三套初中生校服款式，选取某一个学校的全体初中学生进行投票，以得票最多的一款作为正式校服款式。你认为这种做法合理吗？

6．随着房改步伐的加快，城镇居民住房条件在迅速改善，人均住房面积不断增多。请你设计一个调查方案，通过实地调查估计你所在的街道或附近的某个城镇的人均住房面积。

1.3进货的学问

下个月该进多少货呢？

小明的邻居王伯伯在路口开了个日用杂货店，每月到批发市场进一次货。经营了几个月，他发现自己并没有赚多少钱。因为有的商品常因进得太多造成积压，有的因为进货少而经常缺货，造成自己有限的资金周转不畅。为此，王伯伯经常唉声叹气，觉得自己不是做生意的料。

小明觉得自己刚学的数学知识可以帮助王伯伯。他设计了一个调查方案，自己动手收集数据，为此，他还跟着王伯伯站了几天柜台。根据数据反映的信息，小明给王伯伯提出了下个月的进货建议。王伯伯将信将疑照着做了，一个月以后，王伯伯笑眯眯地跑来告诉小明，这个月的收入好多了，直夸小明是个聪明的孩子！

议一议：

如果你是小明，你应该怎样帮助王伯伯决定下个月商品的进货量呢？ 请提出自己的方案，并与同学交流。 我们来看小明是怎样做的：

小明首先运用抽签的方法在同一个月中随机选择了十天，这十天的日期分别为：16号，1号，21号，8号，7号，28号，19号，5号，9号，13号；然后跟着王伯伯记录下了这十天中每天各个商品的销售情况，若遇某个商品缺货，他也记录下当天顾客对该商品的求购数量。他把得到的数据列了一张表格： 商品 日期 数量 1 5 3 3 2 4 7 8 5 3 1 8 1 4 1 5 9 4 2 2 6 13 6 1 1 3 16 3 3 3 7 19 2 2 4 2 21 7 0 2 0 28 9 4 1 4 总数 48 25 19 34 酱油 （瓶） 食盐 （袋） 食醋 （瓶） 食油 （瓶） 5 1 0 2 啤酒 （瓶） 牙膏 （盒） 肥皂 （块） 白糖 （千克） 面粉 （千克） 大米 （千克） 10 2 3 2 2 40 14 21 30 23 3 4 1 3 5 2 5 1 6 14 5 6 4 13 17 0 4 6 21 23 2 3 3 0 40 12 3 6 1 10 60 15 2 1 5 12 80 179 24 36 34 94 680 4 1 4 3 10 12 8 20 100 50 80 120 90 小明把这十天各个商品的销售数据作为样本，借助样本平均数来估计下个月各个商品的进货量。最后他送给王伯伯一张进货建议表：

货物名称 进货数 货物名称 牙膏（盒） 肥皂（块） 白糖（千克） 面粉（千克） 大米（千克） 进货数 酱油（瓶） 食盐（袋） 食醋（瓶） 食油（瓶） 啤酒（瓶）

你能填写这张表吗？ 想一想：

（1）小明所使用的方法合理吗？

（2）如果小明按相同的方法再做一次，会得到相同的结论吗？ （3）与自己的方案作比较，你觉得小明的方法还可以改进吗？ 与同学交流自己的想法。

做一做：

调查自己身边的一个超市或者商店，看看经营者是如何确定进货量的。根据调查结果写一份调查报告，说明该超市或者商店确定进货量的方法是否合理，并提出你的改进意见。

习 题

1．某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下：（单位:万元）

2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1

估计这个商场4月份的总营业额，大约是________ 万元 2．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋37双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所

示：

鞋的尺码（cm） 销售量（双） 22 1 22.5 4 23 11 23.5 10 24 8 24.5 3 现在该商店需再进这种女鞋100双，该如何分配各种尺码的鞋的进货量。

3．居民委员会准备在本区内建立一所养老院，该区内有老人5786位，你能用抽样的方法帮助确定这所养老院的规模吗？写出你的方案。

小结

一、本章学习的主要内容

１．总体、样本、抽样是本章的基本概念。为了解总体情况，经常需要抽样，例如具有

破坏性的检验、受资金或时间限制的调查、总体数量大或无限总体等情形下均需通过抽取适当的样本来估计总体的情形。

２．根据样本的平均数、方差推断总体的平均数、方差。估计值接近总体的真实值的程

度，取决于样本的代表性。如果抽样是按照科学的方法组织实施的，那么，这样得出的结论就是可信的。实践中根据经验总结出一般方法的做法（如进货的学问一节）是抽样思想的应用。 ３．抽样过程可用下图表示：

抽样 总体 推断 图7.4 总体与样本关系的示意图

二、需要注意的几个问题

１．当我们需要准确、全面地了解一类事物的信息时，就需要做普查，如10年一次的

人口普查。

２．个体通常指所考察的某种事物的数量特征，而不是该事物本身。

３．从总体中抽取样本的目的是为了认识总体，这要求抽取的样本应能很好地代表总

体，以免以偏概全。 ４．对于同一个总体，不同的抽样会得到不同的样本，因而计算出的样本平均数与样本

方差也可能不同。但是，只要是科学的抽样，且样本容量足够大，人们总可以通过所抽取的样本的均值和方差对总体的均值和方差进行估计，这实质上是一种归纳推理。

５．对于报刊媒体根据抽样得出的数据结论，应当分析所抽样的群体所代表的实际总体

与报刊媒体所声称的总体是否一致，根据自己的判断对呈现在面前的数据进行辨析。

样本

识结构的线索展开，并在一定背景下导出学习、研究的课题；教学问题围绕课题重点提出，学习沿着问题凝结、探求和解决的方向发展、深入。

数学教学过程设计要特别重视哪些基本原则？

《数学课标》（2011年）前言指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现

代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。”数学教学基本原则除了有一般的教学原

则，如直观性原则、启发性原则、科学性原则、思想性原则、过程性原则外等外，还包含着与数学教育价值追求紧密相关的、具有某些独特的教学原则。在新课程理念下数学教育价值观得到了发展，随之一些新的教学原则被受到重视。

其一、贴近生活原则。数学知识往往是比较抽象的，对于初中学生来说，正处在从具体形象思维向抽象思维发展的过程中，学生的思维往往要依赖于具体的表象的基础上，如果采用数学知识到知识去组织学生学习，就会造成学生对学习数学停留在知识层面上，将会失去对知识意义的了解和实际的运用。尤其对于一些抽象思维发展迟缓的学生，在教师认为很容易理解的数学道理，呈现在他面前就会感到难以入手。因此，数学教学设计的基本出发点要尽可能地贴近学生的实际，让学生了解自己生活中的数学，使学生在探究数学知识的同时，了解数学的价值。

其二、数学化原则。教育部编订的原《义务教育数学课程标准（实验稿）（第278页）指出：“数学化是指学习者从自己的数学现实出发，经过自己的思考，得出有关数学结论的过程。”在这过程中，“数学现实”和“反思”是十分重要的。对于学生来说，数学现实就是指他们已有的经验和知识。这就要求教师在设计教学过程时需要考虑组织学生在自己的“数学现实世界”的基础上，通过反思来实现对日常经验的数学化的过程。每一个学生都有一个属于自己的现实的“数学世界”，每一个学生会从自身这个“数学世界”的角度去不断地反思、整理、组织，逐步产生新的数学概念，数学教学过程的设计要体现这一认识。

其三、再创造原则。数学学习是学生的再创造，虽然学生要学的数学知识都是前人已经发现的，但对于学生来说，仍是全新的、未知的。这就要求我们尽可能将学习任务，让学生自己去“再发现”和“再创造”。

再创造的过程需要学生经历“做数学”的过程。“做数学”是指在课堂教学过程中把所学的数学知识作为一个问题解决的对象，让学生通过操作实验、合作探究、共享交流等一系列活动来主动建构数学知识。这是引导学生经历猜测与证

明、错误与尝试、检验与改进等活动的过程。“做数学”与“教数学”有所不同，“做数学”强调通过观察、模仿、联想、猜想、尝试、检验等多种活动，动口、动脑、动手、动情，在“做”中学习数学、应用数学、创造数学。在“做数学”活动中，教师需要引导、帮助、尊重学生的思维选择，要注重创设一个环境，让学生去实践、去讨论、去交流、去思考，使学生的思维在“做数学”中闪烁出智慧的火花。

数学能力对数学活动的进程和方式起着直接的、稳定的调控作用。数学能力是在数学活动中形成的，因此，数学能力原则上属于数学活动经验范畴。数学学习的动机与数学能力的发展紧密相关，较高的数学能力可使学生以科学的方法高质量高效率地完成学习任务，从而促进积极的、高水平的数学学习动机的形成，反之，积极的数学学习动机也促进了数学能力的高水平发展。

五、案例评析——以统计概率为例

对于追求效率的公民而言，统计思维总有一天会和读写能力一样必要。

——H.G.Wells

《课程标准》强调培养学生的统计观念及统计意识，因此第三学段教材中的统计和概率知识的安排以培养统计观念为主线，围绕统计观念螺旋式展开。

“统计与概率”内容共可分六部分，有“数据与生活”、“数据中的信息”、“认识可能性” ，“从样本看总体”，“概率”、“统计与概率的简单应用”。

关于数据知识，前三部分内容主要涉及数据的表示，期望通过学习让学生意识到生活中充满数据，数据有很多来源：媒体、实验、自己观察记录等，有很多种方法得到数据，如国家统计局数据、调查数据，并能分析和处理数据，主要是数据的离散和集中程度。

前三部分所讲的数据都是作为总体出现的，至少在学生大脑中是这样的。当然，它不一定是总体数据。现实中作为总体的数据并不是总能够直接得到，有时总体数据不方便全部得到、或者不需要全部得到，这就要求我们通过样本看总体，因此必然涉及抽样。在名称中使用“看”不用“估计”，因为感觉“看”要求低一些，主要侧重于策略、方法，而不是数值计算。“统计与概率”的最后一部分仍将继续通过具体实例让学生体会通过样本的有关数据对总体做出估计，让学生真正投入到统计活动中去，包括预测、决策以及对统计数据的评论。

所有内容的教学都应已实例为载体展开。

例67 设计调查方法。

了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结果适用于学校的全体同学吗？适用于全地区的电视观众吗？如果不适用，应当如何改进调查方法？

[说明] 对于许多问题，不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据，只要得到一部分数据（样本）就可以对总体的情况进行估计。很显然，如果得到的样本能够客观地反映问题，则估计就会准确一些，否则估计就会差一些。因此，我们希望寻找一个好的抽取样本的方法，使得样本能够客观地反映问题。在本学段，主要学习简单随机抽样方法，这是收集数据中通用的方法，在一般情况下，我们都假定样本是通过随机的方法得到的。

因为同一个年级的学生差异不大，采用简单随机抽样方法比较合适。可以在上学时在学校门口随机问讯，也可以按学号随机问讯。为了分析方便，需要把问题数字化，如喜欢这部电视剧的记为1，不喜欢的记为0。

对于这样的问题，问讯学生数不能少于20人，取40~50人比较合适，取更多的学生当然更好，但需要花费更多的精力。由此可见，一个好的抽样方法不仅希望“精度高”，还希望“花费少”。

假设问讯的学生数为n，记录数据的和为m（显然，m为喜欢这部电视剧的人数），则调查结果说明，学生中喜欢这部电视剧的比例为

。我们依此估计本年级的同学中喜欢这部电视剧的比例。

用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视剧的比例是不合适的，因为学生、成年人、老年人喜欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电视观众喜欢这部电视剧的情况进行估计，可以采用分层抽样方法，比如，依据年龄分层，需要知道各年龄段人口的比例，按照比例数分配样本数，而在各个层内则采取随机抽样；或者依据职业分层，等等。教师应该了解分层抽样，在本学段学生只需学习简单随机抽样方法。

补充实例的方向：

五、给一个完整的“抽样”内容

商店怎样确定商品的进货量？

生物学家怎样估计森林里的金丝猴数量？

电扇厂怎样了解自己生产的电扇的无故障运转时间？

在本章通过学习总体、样本、抽样等统计概念，体验从局部看整体、从样本估计总体的统计思想，您可以了解解决这些问题的奥秘，而且自己还可以尝试解决类似的问题。

1．1抽样

生活中，我们常常需要知道或遇到各种各样的数据，人们不禁会问：如何得到这些数据？

请看下面几个问题：

（1） 要了解某地区初中生的视力情况，如何开展调查？。

（2） 某企业决定在某电视台投放产品广告，需要调查该电视台各电视栏目的收视率。 （3） 2001年第4季度，国家质检局对电池产品的含汞量进行了监督抽查，产品合格率为

68．4％。 议一议

a） 如果让你去组织问题（1）的调查，你准备怎样做？

b） 要了解电视栏目的收视率，需要调查每一个电视用户吗？

c） 问题（3）中的合格率又是怎样得到的？

对于问题（1），可以由该地区教育部门发出通知，让本地区所有初级中学对本校学生进行视力检查，再将检查情况汇总分析，便可以准确、全面地了解当地初中生的视力情况。像这样对所有对象都进行调查的方法称为普查。利用普查，我们可以获得一类事物准确、全面的信息。

为了方便，我们把要考察对象的全体叫做总体，总体中的每一个考察对象叫做个体。问题（1）中，某地区初中生视力指标的全体是总体，单个初中生的视力指标为个体。

普查耗费的时间、精力、财力比较大，有时实际情况甚至不允许用普查的方法来了解全部对象的信息。

想一想 对于问题（1），如果只需要对本地区初中生的视力情况做出估计，有没有更省时、更经济的方法？

除了采用普查的方法外，我们还可以采用下面的方法：先在该地区选取部分初级中学，再在所选取中学的每个年级选取若干名学生。然后，对所选取的学生进行视力检查，根据检查结果来了解整个地区的初中生的视力情况。

像这样从总体中抽出部分个体进行调查研究，从抽出的

抽样是为了从部分部分个体的数据信息对总体的数据信息做出推断的方法称对象中获取整体的为抽样。抽出的部分个体的全体称为样本，样本中所含个体信息 的个数称为样本容量。

关于电视栏目的收视率的调查，往往不便法。通常的方法是，电视台根据地区、收入、

龄、教育等因素，选取一部分（一般为几千户）进行调查。根据调查结果来了解各电视栏目的况。

抽样可以用较小的代价取得较为准确的信高效率。

想一想

在调查某种产品的质量时，能采用普查的

于采用普查方

职业、年电视用户收视率情

质量检查往往是破坏性的，只能抽样！

息，从而提

方法吗？

事实上，在调查一批产品质量时，通常采用抽样方法。例如，在检测电池产品含汞量时，人们总是从中抽取一定数量的电池进行检测，然后，根据对所抽取电池的检测结果来推断这批电池产品的含汞量。

议一议

在同一调查中，若抽取的样本不同，得到的结果会怎样呢？ 练习

1. 为了了解全年级学生的视力情况，可以从中抽取30名学生进行调查。在这项调查

中总体、个体、样本分别是 、 、 。

2. 请举出一个必须通过抽样才能了解总体情况的例子，并与同学交流为什么必须抽

样。

3. 下列调查中那些属于抽样，那些属于普查？

a) 调查你所在班级的全班同学来了解全班同学的平均身高；

b) 调查某校八年级各班的5名学生，确定该校八年级学生的平均身高； c) 某市教育部门从本市部分幼儿园中各选取6名儿童进行调查，了解本市5岁儿

童的识字量。

d) 某幼儿园为了了解5岁儿童的识字量，对全体5岁儿童进行调查。

习 题

1． 请举出生活中属于普查和抽样调查的例子。

2． 如何计算你所在地区某一天的日平均气温（月平均气温、年平均气温）？到当地气

象部门去了解他们是怎样计算日平均气温、月平均气温、年平均气温的。

3． 通过调查推断本校学生平均视力？记录你的调查数据、调查经过，写出你的推断结

果，并与同学交流。

4． 小明和小红同时用相同的抽样方法估计同一总体的平均数。小明根据自己的样本得

出的平均数为80，小红根据自己的样本得出的平均数为82。怎样看待他们结果之间的差异。

1．2从样本看总体

扇厂需要对出厂的产品进行质量抽查，其中无故障连续使用时限是一项重要指标。

产品的使用期限检查往往图21.2是质检部门从某厂生产的8万台电扇中

是破坏性的，数据来源一种随机抽取了40台，进行无故障连续使用时限检测。

是直接从产品中抽样，另一

种是根据已销售商品的维想一想

修记录进行判断

这40台电扇运转的时间与全部8万台电扇的运转时间之间有怎样的关系呢？

我们如何用这40台的连续运转时间，来估计8万台电扇的连续运转时间？

实验结果显示，这40台电扇的无故障连续使用时限如下（单位：时）： 248，256，232，243，188，278，286，292，308，312， 274，296，288，302，295，208，314，290，281，298， 228，287，217，329，283，327，272，264，307，257， 268，278，266，289，312，198，204，254，244，278．

在“数据中的信息”一章，我们已经学习过用平均数、中位数和

用平均数与

众数表示一组数据的集中趋势。

用中位数估

如果用样本平均无故障连续使用时限数，来估计总体的无故障连

计有什么不

续使用时限数，则这8万台电扇的无故障连续使用时限为 ；

同？

如果用样本无故障连续使用时限数的中位数，来估计总体的无故障连续使用时限数，则这8万台电扇的无故障连续使用时限为 。

议一议

用样本众数来估计可以吗？

电扇整体质量的稳定性怎么用方差来度量？ 不同电扇质量的差异性是否可以用方差表示？ 有没有其它反映质量差异性的指标？ 请对这批电扇的质量的差异性做评论。

资料显示，家庭用电扇一年使用时间平均为120小时，而家庭用电扇的使用保修期规定为2年。

根据这些信息你认为该品牌电扇在保修期内需要维修的比例有多大？

练习 1．下表是某地一段时间内出生的170名女婴儿的体重记录，已经算得样本平均数为3128.47

克，样本方差为165900.请你据此估计该地区新生女婴儿的平均体重是多少？体重的个体差异怎样？

新生女婴儿体重（单位：克）

2880 2440 2700 3500 3500 3600 3080 3860 3200 3100 3180 3200 3300 3020 3040 3420 2900 3440 3000 2620 2720 3480 3320 3000 3120 3180 3220 3160 3940 2620 3120 2520 3060 2620 3400 2160 2960 2980 3000 3020 3760 3500 3060 3160 2700 3500 3080 3100 2860 3500 3000 2520 3660 3200 3140 3100 3520 3640 3500 2940 3620 2860 3300 3800 2140 3080 3420 2900 4280 3400 2900 2980 3000 2880 3400 3400 3380 3820 3240 2640 3020 2520 2400 3420 3640 2700 2700 3500 3440 3240 3120 2800 3300 2920 2900 1980 3300 3260 2540 3200 3200 3300 4000 3400 3400 2700 2700 2920 3300 3140 2300 2200 3160 2700 2900 3180 3400 3160 3440 3640 2620 3100 2980 3200 3100 3260 3100 3160 3540 3100 2840 3660 2820 3140 3800 1800 2800 2660 3600 3760 2540 2780 2760 2380 3500 3300 3200 3400 3460 3220 3100 3120 3280 2560 2940 2840 3400 3420 3400 3500 3740 2820 3100 3820 3880 2500 3400 3540 3000 3400

回家了解自己出生时的体重，把全班同学出生时的体重按照男女分别统计，看一看有没有什么不同，然后，再与上述地区的情况进行比较，看一看有什么差异？如何理解这种差异？

２．某校8年级6个班。某天甲班有2人迟到，能否据此估计该年级当天有12人迟到？

主题图：森林里隐约可见许多金丝猴在玩耍。 有多少只

金丝猴？

图21.3

要想知道某地区森林里金丝猴的数量，采用普查方法行吗？为什么？

如何采用抽样方法来估计该地区的金丝猴数量？请提出自己的方案，并与同学交流。

我们来看生物学家是怎么做的。

生物学家在估计某一地区金丝猴的数量时，常用“捉放捉”的方法。例如，生物学家先随机捕捉10只金丝猴，对它们分别做上标记，然后放还大自然。过一段时间，他们在该地区重新捕捉30只金丝猴，发现其中有2只金丝猴带有标记。

设全地区金丝猴总数为a只，全地区有标记金丝猴数为b只，重新捕捉金丝猴总数为m只，重新捕捉金丝猴中有标记总数为n只。则利用下面的近似关系式估计这个地区金丝猴的总数：

bn? am据此估计这个地区现有150只金丝猴。

这个问题中的总体、样本、个体分别是 、 、 。

议一议

为什么要过一段时间才重新捕捉？ 若抽取的样本不如果重新做一次“捉放捉”，估计的结果会相同吗？ 同，得到的结果会 怎样呢？ 做一做

据报道，中国青少年平均身高比20年前增加了６厘米，远远超过世界平均增长水平。这是中国学生体质健康调研组分析1979年至2000年中国16个省市，7至17岁学生身高、体重、胸围等多项指标后，得出的结论。

的确，我们同学中

的高个子真不少！

请你确定一个高个子身高的标准，然后估计你所在年级的高个子人数。

读一读 SHIF 为了得到一个比较可靠的结果，抽取的样本应能很好地反映总体的信

息，所以要有一个科学的抽取样本的方法，其中常用的方法有抽签法。

在刚才讨论的高个子人数问题中，如果我们选取容量为25的样本，可以按照如下步骤抽取样本：把全年级所有N名同学的学号1，2，?，N分别写在N张大小相同的纸条上，把纸条对折后随意地放在一起，然后从中不加选择地取出25张纸条。这25张纸条上的怎样抽样才能比号码所对应的25名同学的身高就是样本。这较可靠地推断总种抽样方法叫做抽签法。 体的信息呢？

抽签法是一种随机抽样方法。这种抽样方法的特点是，每次抽取一个号码后，余下来的号码被抽到的可能性是相等的。

实践中，我们也可以用计算器和计算机来产生随机数的方法来抽取样本。利用计算器（型号不同，用法略有差别），即依次按键和 键，就可得到一个随机数。这个随机数是在0与1之间，

RAN 它有三个有效数字，把它乘以1000，就得到三位整数的随机数，再把得

到的随机数与学生的学号对应起来，所得到25名同学的身高就是样本。

练习

1．由于气候条件的影响，农作物害虫的生长繁殖情况，各年是不同的，通常用单位面积中平均的虫卵数来预测当年的灾情，预报要十分及时，因此，通常进行抽样调查。

依据经验，只有每亩平均虫卵数大于12万个才会成灾。将某地区的田地划分为以亩为单位的田块（即每个田块一亩），从中随机抽查了十个田块，通过检查得到这十个田块上的虫卵数（单位：万个）分别为

6.4，7.8，12.3，4.6，8.9，21.5，18.7，3.4，7.6，5.8。

根据上面的信息，请你作出当年该地区农作物害虫是否会成灾的预报。

2．中央电视台每天都要播报全国各大城市空气质量情况，空气质量是用污染指数来反映的。污染指数为0—50时，空气质量为优；污染指数为51—100时，空气质量为良；污染指数为101—150时，空气质量为轻微污染；污染指数151—200时，空气质量为轻度污染，???。下面是从某城市一年中随机抽取30天的空气污染指数：

56 58 71 89 31 57 70 55 45 90 105 51 60 95 49 77 36 42 76 82 60 75 83 110 52 43 61 98 133 67 你能否利用上表中的数据估计该城市一年中空气质量为优的天数？

3．某农户承包荒山种了44棵苹果树，现已进入第三年收获期。收获时，先随意采摘5棵树上的苹果，称得每棵树摘得苹果重量如下（单位：千克） 35，35，34，39，37．

根据样本平均数估计这年苹果总产量约是多少千克？

4．右图是统计部门对全国三个产业所占比重的抽样结果，请根据图中的数据估计第三产业所占的比重。

习 题

1．从某种型号的汽车中抽取20辆，汽车每加仑汽油行使千米数如下： 29.8、27.6、28.3、28.7、27.9、30.1、29.9、28.0、28.7、29.6、 27.9、28.5、29.5、27.2、26.9、28.4、27.9、28.0、30.0、29.1．

计算样本平均数与样本方差，你认为这种型号的汽车每加仑汽油行使千米数是多少？ 2．某装配车间要考察一批轴承的质量，从这批轴承中抽取56个，测量其内径，其值为（单位：毫米）：

73.93 74.08 74.02 74.10 73.97 74.01 74.00 74.05 73.98 74.02 73.99 73.94 74.09 73.97 74.05 73.95 74.05 73.96 74.04 73.94 73.96 74.00 74.01 74.00 74.06 74.00 73.04 74.04 74.00 74.00 74.01 74.04 73.97 74.03 73.99 74.02 73.99 74.02 73.99 74.00 74.02 74.00 74.02 74.01 74.06 74.04 74.03 74.03 74.07 73.96 73.98 74.01 73.99 74.00 74.06 73.97

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