2018年河南省新乡市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|a﹣1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a=（ ） A．0
B．1
C．2
D．1或2
2．（5分）设复数z满足iz=|2+i|+2i，则|z|=（ ） A．3
B．
C．9
D．10
3．（5分）点P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则
的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣ 4．（5分）“a＞1”是“（x﹣
）4（a∈R）的展开式中的常数项大于1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
?
=2，
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且则点P的轨迹方程为（ ）
A．x2+y2=2 B．x2﹣y2=2 C．x+y2=2 D．x﹣y2=2
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（ ）
第1页（共20页）
A．8﹣π B．8﹣2π C．8﹣π D．8+2π
7．（5分）若log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 8．（5分）该试题已被管理员删除 9．（5分）设k∈R，函数f（x）=sin（kx+
）+k的图象为下面两个图中的一个，
则函数f（x）的图象的对称轴方程为（ ）
A．x=
+（k∈Z） B．x=kx+（k∈Z）
（k∈Z） C．x=﹣（k∈Z）
D．x=kπ﹣
10．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：A．
≈2.24）（ ） B．
C．
D．
11．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A．
π B．6π C．
π D．
π
第2页（共20页）
12．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知﹣ccosB+，且b=2，则a的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
=acosA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．
13．（5分）已知向量，满足||=2||=2，与的夹角为120°，则|﹣2|= ．
14．（5分）若2tanα=tan420°，则
= ．
15．（5分）在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若用简单随机抽样方法从中选取2人，则这2人成绩的平均数恰为100的概率为 ．
16．（5分）若函数为 ．
，恰有3个零点，则a的取值范围
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a17=33，S7=49． （1）证明：a1，a5，a41成等比数列； （2）求数列{an?3n}的前n项和Tn．
18．（12分）已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为
，每道程
序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过
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才能出厂销售．
（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；
（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．
19．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面为等腰梯形，且底面与侧面ABE垂直，AB∥CD，F，G，M分别为线段BE，BC，AD的中点，AE=CD=1，AD=2，AB=3，且AE⊥AB．
（1）证明：MF∥平面CDE；
（2）求EG与平面CDE所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆C：心率为
．
（a＞b＞0）经过（0，），且椭圆C的离
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标原点，OP⊥OQ，且l与圆心为O的定圆W相切．直线l'：y=﹣x+n （n≠0）与圆W交于M，N两点，G（3，﹣3）．求△GMN的面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣1）（x2+2）ex+2（x2+x+2）．
（1）证明：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线经过曲线y=4cos（x﹣1）的一个最高点；
（2）证明：?k∈（0，1），f（x）＞x（kx+2）+k对x∈R恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
第4页（共20页）
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（0≤θ≤（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C； （2）若直线
（t为参数）与曲线C有公共点，求m的取值范围．
）．
[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f（x）=|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）+f（2x）＜f（12）的解集；
（2）若x1=3x3﹣x2，|x3﹣2|＞4，证明：f（x1）+f（x2）＞12．
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2018年河南省新乡市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|a﹣1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a=（ ） A．0
B．1
C．2
D．1或2
【解答】解：集合A={x|x2﹣x≤0}=[0，1]，B={x|a﹣1≤x＜a}=[a﹣1，a），A∩B只有一个元素， 则a=2， 故选：C．
2．（5分）设复数z满足iz=|2+i|+2i，则|z|=（ ） A．3
B．
C．9
D．10
【解答】解：由iz=|2+i|+2i， 得则|z|=故选：A．
3．（5分）点P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则
．
=
，
的最小值为（ ）
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A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣
【解答】解：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率， 如图可知AO的斜率最小，A（﹣3，5），
则的最小值为：﹣． 故选：B．
4．（5分）“a＞1”是“（x﹣
）4（a∈R）的展开式中的常数项大于1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4
）（a∈R）的展开式的通项公式为
【解答】解：“（x﹣
k
=
x4﹣k?（﹣
）
=
x4﹣2k?
，
?
=6×
=a2，（a∈R），
则当4﹣2k=0，即k=2时，展开式中的常数项为
若展开式中的常数项大于1，则a2＞1，得a＞1或a＜﹣1， 即“a＞1”是“（x﹣件， 故选：A．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且则点P的轨迹方程为（ ）
A．x2+y2=2 B．x2﹣y2=2 C．x+y2=2 D．x﹣y2=2
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）4（a∈R）的展开式中的常数项大于1”的充分不必要条
?=2，
【解答】解：设P（x，y），Q（x，﹣y）， 则：
?
=（x，y）?（x，﹣y）=x2﹣y2=2，
故选：B．
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（ ）
A．8﹣π B．8﹣2π C．8﹣π D．8+2π
【解答】解：由三视图可知几何体是正方体，挖去两个半圆柱后的几何体． 如图：
几何体的体积为：2×2×2﹣12π×2=8﹣2π． 故选：B．
7．（5分）若log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
【解答】解：由log2（log3a）=1，可得log3a=2，lga=2lg3，故a=32=9， 由log3（log4b）=1，可得log4b=3，lgb=3lg4，故b=43=64， 由log4（log2c）=1，可得log2c=4，lgc=4lg2，故c=24=16，
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∴b＞c＞a． 故选：D．
8．（5分）该试题已被管理员删除
9．（5分）设k∈R，函数f（x）=sin（kx+
）+k的图象为下面两个图中的一个，
则函数f（x）的图象的对称轴方程为（ ）
A．x=
+（k∈Z） B．x=kx+（k∈Z）
（k∈Z） C．x=﹣（k∈Z）
D．x=kπ﹣
【解答】解：设k∈R，由于函数f（x）=sin（kx+值为k﹣1，
）+k的最大值为1+k，最小
在（1）中，由最大值为1+k=3，最小值为k﹣1=1，可得k=2， ∴f（x）=sin（2x+令2x+
=kπ+
）+2．
，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程
，可得x=?kπ+，k∈Z，
为 x=?kπ+
联系图象（1），满足条件．
在第（2）个图中，1+k=2，1﹣k=0，故有k=1， 故 f（x）=sin（x+令x+
=kπ+
）+1．
，k∈Z，
，k∈Z，
，可得x=kπ+
则函数f（x）的图象的对称轴方程为x=kπ+联系图象（2），不满足条件，
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故选：A．
10．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：A．
≈2.24）（ ） B．
C．
D．
【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0）， 点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．
设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0， ∵m＞0，∴m=﹣2+
，
，
∴点P的横坐标为﹣2+∴|PF|=m+1=﹣1+
，
∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（令x=0，可得y=±∴|EF|=2故选：D．
=2
，
=
﹣1）2，
，
11．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A．
π B．6π C．
π D．
π
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【解答】解：如下图所示：
三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为三棱锥F﹣ABC， 底面ABC是边长为2的等边三角形，外接圆半径为为1，
设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得：R=
，内切圆半径为，高
故此三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=故选：A．
π，
12．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知﹣ccosB+，且b=2，则a的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
=acosA
【解答】解：∵∴
=acosA﹣ccosB+，且b=2，
=acosA﹣ccosB+，可得：2cosC=5acosA﹣ccosB，即：bcosC=5acosA
﹣ccosB，
∴sinBcosC+sinCcosB=5sinAcosA，可得：sin（B+C）=sinA=5sinAcosA， ∵A为三角形内角，sinA＞0，可得：cosA=， ∴由余弦定理可得：a=
∴可得：当c=时，a的最小值为
=．
=
，
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【解答】解：如下图所示：
三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为三棱锥F﹣ABC， 底面ABC是边长为2的等边三角形，外接圆半径为为1，
设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得：R=
，内切圆半径为，高
故此三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=故选：A．
π，
12．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知﹣ccosB+，且b=2，则a的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
=acosA
【解答】解：∵∴
=acosA﹣ccosB+，且b=2，
=acosA﹣ccosB+，可得：2cosC=5acosA﹣ccosB，即：bcosC=5acosA
﹣ccosB，
∴sinBcosC+sinCcosB=5sinAcosA，可得：sin（B+C）=sinA=5sinAcosA， ∵A为三角形内角，sinA＞0，可得：cosA=， ∴由余弦定理可得：a=
∴可得：当c=时，a的最小值为
=．
=
，
第11页（共20页）
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