高中数学《函数的基本性质》教案1 新人教A版必修1

课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值

教学目的 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

教学重点 函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的

最大（小）值．

引入课题 ⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y y 1 1 x -1 -1 1 1 x -1 -1 1 1 x -1 -1 ①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？

y ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律：

①f(x) = x

1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

大，f(x)的值随着 ________ ．

②f(x) = -2x+1

1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x2

1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○

着x的增大而 ________ ．

2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○

着x的增大而 ________ ．

y 1 -1 -1 1 x 1 -1 1 -1 x y 1 -1 -1 1 x 新课教学 一、增（减）函数的定义

⑴设函数y?f(x)的定义域是Ｉ，区间D?I，x1,x2?D，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2) 成立，则称f(x)在区间D上是增函数，如图⑴ ．．．

⑵设函数y?f(x)的定义域是Ｉ，区间D?I，x1,x2?D，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)成立，则称f(x)在区间D上是减函数，如图⑵ ．．．

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

1

二、函数的单调性定义及判断步骤

⑴单调区间：函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，我们就称函数f(x)在这个区间D具有（严格的）单调性，区间D是这个函数的单调区间。 ⑵判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①假设取值 x1，x2∈D，且x1

③判断符号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

④下定结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

三、单调性典型例题

例1．（教材P32例1）根据函数图象说明函数的单调性． 解：（略）

巩固练习：课本P36练习第1、2题 例2．（教材P32例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性． 解：（略）

巩固练习：①课本P36练习第3题； ②证明函数y?x?2

1x在（1，+∞）上为增函数．

[附加]借助计算机作出函数y =－x +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间． 解：（略） 思考：画出反比例函数y?

1x的图象．

①这个函数的定义域是什么？

②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． 四、函数的最大、最小值

指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）f(x)??2x?3 （2）f(x)??2x?3 x?[?1,2]

（3）f(x)?x2?2x?1

（4）f(x)?x2?2x?1 x?[?2,2]

定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ⑴对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ⑵存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值． 注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义．（学生活动）

五、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

六、最大（小）值典型例题

2

例3．（教材P34例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略） [附加题]

旅 馆 定 价

一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

房价（元） 住房率（%） 160 55 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为

(160?x)元时，住房率为(55?y=150·(160?x)·(55?x20x20?10)%，于是得 ?10)%．

由于(55?x20?10)%≤1，可知0≤x≤90．

因此问题转化为：当0≤x≤90时，求y的最大值的问题． 将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=－x＋50x＋17600．

由于二次函数y1在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例4．（教材P35例4）求函数y?解：（略） 巩固练习：（教材P36练习5）

归纳小结，强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分四步：①假设取值②作差变形③判断符号④下定结论 作业布置 课内：课本P43 习题1．3（A组） 第1-2题．

提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

⑴求f(0)、f(1)的值；

⑵若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

2x?12

在区间[2，6]上的最大值和最小值．

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