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《高数》试卷1（上）
一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.
1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.
（A）f?x??lnx2 和 g?x??2lnx （B）f?x??|x| 和 g?x??（C）f?x??x 和 g?x??2x2 | 和 g?x??1 ?x? （D）f?x??|xx?sinx?4?2x?0?2．函数f?x???ln?1?x? 在x?0处连续，则a?（ ）.
?ax?0?1（A）0 （B） （C）1 （D）2
43．曲线y?xlnx的平行于直线x?y?1?0的切线方程为（ ）.
（A）y?x?1 （B）y??(x?1) （C）y??lnx?1??x?1? （D）y?x 4．设函数f?x??|x|，则函数在点x?0处（ ）.
（A）连续且可导 （B）连续且可微 （C）连续不可导 （D）不连续不可微
5．点x?0是函数y?x的（ ）.
（A）驻点但非极值点 （B）拐点 （C）驻点且是拐点 （D）驻点且是极值点
6．曲线y?41的渐近线情况是（ ）. |x|（A）只有水平渐近线 （B）只有垂直渐近线 （C）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．
??1?1f???2dx的结果是（ ）. ?x?x?1???C （B）?f?x??1?????C （C）?x??1?f???C （D）?f?x??1????C ?x?（A）f??8．
dx?ex?e?x的结果是（ ）.
x?x（A）arctane?C （B）arctane?C （C）ex?e?x?C （D）ln(ex?e?x)?C
9．下列定积分为零的是（ ）.
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?x?x1e?e1arctanx244dx（A）?? （B） （C） （D）x?x?sinxdx dxxarcsinxdx??2????1?1??241?x4?10．设f?x?为连续函数，则（A）f?2??f?0? （B）
?f??2x?dx等于（ ）.
0111f11?f0???f?2??f?0??（C）??????（D）f?1??f?0? 2?2?
二．填空题（每题4分，共20分）
?e?2x?1x?0?1．设函数f?x???x 在x?0处连续，则a??ax?0?2．已知曲线y?f?x?在x?2处的切线的倾斜角为?，则f??2??3．y?4．
.
56.
x的垂直渐近线有2x?1条. .
dx?x?1?ln2x??5．
??x2??4?sinx?cosx?dx?.
2
三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限
x?sinx?1?x?①lim? ② ?limx2xx?0xe?x????12x??2．求曲线y?ln?x?y?所确定的隐函数的导数y?x. 3．求不定积分 ①
dxdx ②?x2?a2??x?1??x?3??a?0? ③?xe?xdx
四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数y?x?3x的图像. 3222．求曲线y?2x和直线y?x?4所围图形的面积.
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《高数》试卷1参考答案
一．选择题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．?2 2．?三．计算题 １①e ②
23 ３． ２ ４．arctanlnx?c ５．２ 311? 2.y? x6x?y?1③?e?x3. ①
1x?1ln||?C ②ln|x2?a2?x|?C 2x?3?x?1??C
四．应用题
１．略 ２．S?18
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《高数》试卷2（上）
一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).
x2?1(A) f?x??x和g?x??x (B) f?x??和y?x?1
x?12(C) f?x??x和g?x??x(sin2x?cos2x) (D) f?x??lnx2和g?x??2lnx
?sin2?x?1?x?1?x?1??2.设函数f?x???2x?1 ，则limf?x??（ ）.
x?1?x2?1x?1???(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在
3.设函数y?f?x?在点x0处可导，且f??x?>0, 曲线则y?f?x?在点x0,f?x0?处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)
??? (C) 锐角 (D) 钝角 24.曲线y?lnx上某点的切线平行于直线y?2x?3,则该点坐标是( ). (A) ?2,ln??1?? (B) 2?1??2,?ln?? (C)
2???1?,ln2?? (D) 2???1?,?ln2?? 2??5.函数y?x2e?x及图象在?1,2?内是( ).
(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的
6.以下结论正确的是( ).
(A) 若x0为函数y?f?x?的驻点,则x0必为函数y?f?x?的极值点. (B) 函数y?f?x?导数不存在的点,一定不是函数y?f?x?的极值点. (C) 若函数y?f?x?在x0处取得极值,且f??x0?存在,则必有f??x0?=0. (D) 若函数y?f?x?在x0处连续,则f??x0?一定存在. 7.设函数y?f?x?的一个原函数为xe,则f?x?=( ).
21x(A) ?2x?1?e (B) 2x?e (C) ?2x?1?e (D) 2xe 8.若
1x1x1x1x?f?x?dx?F?x??c,则?sinxf?cosx?dx?( ).
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(A) F?sinx??c (B) ?F?sinx??c (C) F?cosx??c (D) ?F?cosx??c 9.设F?x?为连续函数,则
?10?x?f???dx=( ). ?2?(A) f?1??f?0? (B)2??f?1??f?0??? (C) 2??f?2??f?0??? (D) 2?f?10.定积分
??1???f0???? 2?????badx?a?b?在几何上的表示( ).
(A) 线段长b?a (B) 线段长a?b (C) 矩形面积?a?b??1 (D) 矩形面积?b?a??1 二.填空题(每题4分,共20分)
?ln?1?x2??1.设 f?x???1?cosx?a?x?0x?0, 在x?0连续,则a=________.
2.设y?sin2x, 则dy?_________________dsinx. 3.函数y?x?1的水平和垂直渐近线共有_______条. x2?14.不定积分xlnxdx?______________________.
?1x2sinx?1dx?___________. 5. 定积分?2?11?x三.计算题(每小题5分,共30分)
1.求下列极限:
?①lim?1?2x?x?01x
②lim2x????arctanx1x
2.求由方程y?1?xe所确定的隐函数的导数y?x. 3.求下列不定积分:
3①tanxsecxdx ②
y??dxx2?aa?0? ③?x2exdx ?2四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数y?
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13x?x的图象.(要求列出表格) 3
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2.计算由两条抛物线：y2?x,y?x2所围成的图形的面积.
《高数》试卷2参考答案
一.选择题：CDCDB CADDD
二填空题：1.－2 2.2sinx 3.3 4.
2121?xlnx?x2?c 5. 242ey三.计算题：1. ①e ②1 2.y? x?y?2sec3x?c ②ln3.①3?x2?a2?x?c ③?x2?2x?2?ex?c
1 3?四.应用题：1.略 2.S?
《高数》试卷3（上）
一、 填空题(每小题3分, 共24分)
1. 函数y?19?x2的定义域为________________________.
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?sin4x,x?0?2.设函数f?x???x, 则当a=_________时, f?x?在x?0处连续.
?x?0?a,x2?13. 函数f(x)?2的无穷型间断点为________________.
x?3x?24. 设f(x)可导, y?f(ex), 则y??____________.
x2?1?_________________. 5. lim2x??2x?x?5x3sin2xdx=______________. 6. ?4?1x?x2?11dx2?tedt?_______________________. 7. ?0dx8. y???y??y3?0是_______阶微分方程.
二、求下列极限(每小题5分, 共15分)
1??x?3e?11. lim; 2. lim2; 3. lim?1??. x?3x?9x?0sinxx???2x?x?x三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)
x, 求y?(0). 2. y?ecosx, 求dy. x?2dy3. 设xy?ex?y, 求.
dx1. y?四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)
?1?1. ???2sinx?dx. 2.
?x??xln(1?x)dx.
3.
?e012xdx
?x?t?五、(8分)求曲线?在t?处的切线与法线方程.
2?y?1?cost六、(8分)求由曲线y?x2?1, 直线y?0,x?0和x?1所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程y???6y??13y?0的通解.
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八、(7分)求微分方程y??y?ex满足初始条件y?1??0的特解. x《高数》试卷3参考答案
一．1．x2?3 2.a?4 3.x?2 4.exf'(ex)
5.1 6.0 7.2xe?x2 8.二阶
x二.1.原式=lim?1 x?0x2.limx?311? x?361?12x?12?)]?e23.原式=lim[(1x??2x三.1.y'?22,y'(0)?1
(x?2)2
2.dy??sinxecosxdx
3.两边对x求写：y?xy'?ex?y(1?y')
ex?y?yxy?y? ?y'? x?ex?yx?xy四.1.原式=limx?2cosx?C
xx2 2.原式=?lim(1?x)d()?lim(1?x)?1?x2d[lim(1?x)]
2x2x1xx211dx?lim(1?x)??(x?1?)dx =lim(1?x)??221?x221?x22x21x2 =lim(1?x)?[?x?lim(1?x)]?C
2221 3.原式=1?0e2xd(2x)?1e2x10?1(e2?1)
222dy??t??1且t?,y?1 五.dy?sintdxdx22切线：y?1?x??,即y?x?1??222?0 ?0
法线：y?1??(x??),即y?x?1??12六.S??0(x2?1)dx?(1x2?x)10?3
22
V???(x2?1)2dx???(x4?2x2?1)dx0011x52228??(?x?x)1?0?5315
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2七.特征方程:r?6r?13?0?r??3?2iy?e?3x(C1cos2x?C2sin2x)
八.y?e??1xdx(?exe?1xdxdx?C)
?1x[(x?1)ex?C] 由yx?1?0,?C?0
?y?x?1xxe
《高数》试卷4（上）
一、选择题（每小题3分） 1、函数 y?ln(1?x)?x?2 的定义域是（ ）.
A ??2,1? B ??2,1? C ??2,1? D ??2,1? 2、极限limexx?? 的值是（ ）.
A、 ?? B、 0 C、?? D、 不存在3、limsin(x?1)x?11?x2?（ ）.
A、1 B、 0 C、 ?12 D、12
4、曲线 y?x3?x?2 在点(1,0)处的切线方程是（ ） A、 y?2(x?1) B、y?4(x?1) C、y?4x?1 D、y?3(x?1) 5、下列各微分式正确的是（ ）.
A、xdx?d(x2) B、cos2xdx?d(sin2x) C、dx??d(5?x) D、d(x2)?(dx)2 6、设
?f(x)dx?2cosx2?C ，则 f(x)?（ ）. 第 9 页 共 43 页
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xxxx B、 ?sin C 、 sin?C D、?2sin
22222?lnxdx?（ ）. 7、?x21212A、?2?lnx?C B、 (2?lnx)?C
22x1?lnx?C C、 ln2?lnx?C D、 ?x2A、sin8、曲线y?x2 ，x?1 ，y?0所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体体积V?（ ）. A、C、
4?x?dx B 、??ydy 00114 D、?(1?y)dy?(1?x)dx ??00111exdx?（ ）. 9、?01?exA、ln1?e2?e1?e1?2e B、ln C、ln D、ln 223210、微分方程 y???y??y?2e2x 的一个特解为（ ）. A、y??32x322e B、y??ex C、y??xe2x D、y??e2x 7777
二、填空题（每小题4分）
x1、设函数y?xe，则 y??? ；
2、如果lim3、
3sinmx2? , 则 m? .
x?02x3?1?1x3cosxdx? ；
4、微分方程 y???4y??4y?0 的通解是 .
5、函数f(x)?x?2x 在区间 ?0,4? 上的最大值是 ，最小值是 ；
三、计算题（每小题5分） 1、求极限 limx?011?x?1?x2inx 的导数； ； 2、求y?cotx?lns
2x
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x3?1dx3、求函数 y?3 的微分； 4、求不定积分? ；
x?11?x?15、求定积分
?e1elnxdx ； 6、解方程
dyx ； ?2dxy1?x
四、应用题（每小题10分）
1、 求抛物线y?x2 与 y?2?x2所围成的平面图形的面积.
2、 利用导数作出函数y?3x2?x3 的图象.
参考答案
一、1、C； 2、D； 3、C； 4、B； 5、C； 6、B； 7、B； 8、A； 9、A； 10、D；
二、1、(x?2)e； 2、
x4?2x ； 3、0 ； 4、y?(C1?C2x)e ； 5、8，0 96x2?cotx ；三、1、 1； 2、 3、3 4、 dx ；2x?1?2ln(1?x?1)?C；
(x?1)235、2(2?) ； 6、y2?21?x2?C ； 四、1、
1e8； 32、图略
《高数》试卷5（上）
一、选择题（每小题3分） 1、函数y?2?x?1 的定义域是（ ）.
lg(x?1)A、??2,?1???0,??? B、 ??1,0??(0,??)
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C、(?1,0)?(0,??) D、(?1,??) 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.
xA、 limcosx B、limarctanx C、limsinx D、lim2
x?0x??x??x???3、lim(x??xx)?（ ）. 1?x2 A、e B、e C、1 D、
1 e4、曲线y?xlnx的平行于直线x?y?1?0的切线方程是（ ）. A、 y?x B、y?(lnx?1)(x?1) C、 y?x?1 D、y??(x?1) 5、已知y?xsin3x ，则dy?（ ）.
A、(?cos3x?3sin3x)dx B、(sin3x?3xcos3x)dx C、(cos3x?sin3x)dx D、(sin3x?xcos3x)dx 6、下列等式成立的是（ ）.
1??1xxadx?alnx?C x?C B、????11?C C、?cosxdx?sinx?C D、?tanxdx?21?xA、xdx??sinxsinxcosxdx 的结果中正确的是（ ）. 7、计算e?A、esinx?C B、esinxcosx?C
C、esinxsinx?C D、esinx(sinx?1)?C
28、曲线y?x ，x?1 ，y?0所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体体积V?（ ）.
A、C、
??xdx B 、??ydy
001414 D、?(1?y)dy?(1?x)dx ??00119、设 a﹥0，则
2?a0a2?x2dx?（ ）.
A、a B、
?211a C、a2 0 D、?a2 24410、方程（ ）是一阶线性微分方程.
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A、xy??ln2y?0 B、y??exy?0 xC、(1?x2)y??ysiny?0 D、xy?dx?(y2?6x)dy?0
二、填空题（每小题4分）
?ex?1,x?01、设f(x)?? ，则有limf(x)? ，limf(x)? ；
x?0?x?0?ax?b,x?0?2、设 y?xex ，则 y??? ；
3、函数f(x)?ln( 1?x2)在区间??1,2?的最大值是 ，最小值是 ；4、
?1?1x3cosxdx? ；
5、微分方程 y???3y??2y?0 的通解是 .
三、计算题（每小题5分） 1、求极限 lim(x?113?2)； x?1x?x?2
2、求 y?1?x2arccosx 的导数；
3、求函数y?
4、求不定积分
5、求定积分
26、求方程xy??xy?y 满足初始条件y()?4 的特解.
x1?x2的微分；
?x12?lnxdx ；
?e1elnxdx ；
12
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四、应用题（每小题10分）
1、求由曲线 y?2?x2 和直线 x?y?0 所围成的平面图形的面积.
2、利用导数作出函数 y?x3?6x2?9x?4 的图象.
参考答案（B 卷）
一、1、B； 2、A； 3、D； 4、C； 5、B； 6、C； 7、D； 8、A； 9、D； 10、B.
二、1、 2 ，b ； 2、(x?2)ex ； 3、 ln5 ，0 ； 4、0 ； 5、C1ex?C2e2x. 三、1、
1x1 ； 2、?arccosx?1 ； 3、dx ；
22231?x(1?x)1?x1122?x 4、22?lnx?C ； 5、2(2?) ； 6、y?e ；
ex四、1、
9 ； 2、图略 2第 14 页 共 43 页
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一、填空题
1. 平面x?y?kz?1?0与直线
xyz??平行的直线方程是___________ 2?112. 过点M(4,?1,0)且与向量a?(1,2,1)平行的直线方程是________________ 3. 设a?i?j?4k,b?2i??k，且a?b，则??__________ 4. 设|a|?3,|b|?2,(b)a??1，则(a,b)?____________
5. 设平面Ax?By?z?D?0通过原点，且与平面6x?2z?5?0平行，则
A?_______,B?________,D?__________
?6. 设直线
x?1y?2???(z?1)m2与平面?3x?6y?3z?25?0垂直，则
m?________,??___________
7. 直线??x?1，绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ y?0?8. 过点M(2,0,?1)且平行于向量a?(2,1,?1)及b(3,0,4)的平面方程是__________ 9. 曲面z2?x2?y2与平面z?5的交线在xoy面上的投影方程为__________ 10. 幂级数?11. 过直线
nnx的收敛半径是____________ n2n?1x?1 z?3x?1 y?1 z?3 且平行于直线的平面方程是?y?2???2?2023?_________________ 12. 设f(x,y)?ln(x?y),则fy'(1,0)?__________ 2x?z?z?__________,?____________ ?x?y13. 设z?arctan(xy),则
14. 设f(xy,x?y)?x2?y2,则fx'(x,y)?____________________
?15. 设?2d??0cos?0f?rcos?,rsin??rdr则dz?_____________
16. 设f(x,y)?x2y3,则dz|(1,?2)?______________
17. 曲线x?cost,y?sint,z?sint?cost，在对应的t?0处的切线与平面x?By?z?0平行，
则B?__________
,的法线与平面Ax?By?z?1?0垂直，则18. 曲面z?x2?y2在点(1,1处
A?________,B?______________
19. 设a?{1,0,?2}，b?{?3,1,1}，则a?b=________， a?b=____________
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20. 求通过点M0(2,?1,4)和z轴的平面方程为________________
21. 求过点M0(0,1,0)且垂直于平面3x?y?2?0的直线方程为_______________
22. 向量d垂直于向量a?[2,3,?1]和b?[1,?2,3]，且与c?[2,?1,1]的数量积为?6，则向量
?d=___________________
??????????23. 向量7a?5b分别与7a?2b垂直于向量a?3b与a?4b，则向量a与b的夹角为
????_______________
24. 球面x2?y2?z2?9与平面x?z?1的交线在xOy面上投影的方程为______________
1)到直线l：?25. 点M0(2,?1,`?x?2y?z?1?0的距离d是_________________
x?2y?z?3?0?0)平行于平面?：x?2y?z?4?0，又与直线l：26. 一直线l过点M0(1,2,且
x?2y?1x?2 相交，则直线l的方程是__________________ ??121??????π???27. 设a?5,b?2,?a?b??,?2a?3b?____________
??3??????????28. 设知量a,b满足a?b?3,a?b??1,?1,1?，则?a,b??____________
??29. 已知两直线方程L1:x?2y?1zx?1y?2z?3，L2:??，则过L1且平行L2的平面方??21110?1程是__________________
?b)?π，则a?b? 2 ，a?b? ____________ 30. 若ab?2，(a,2?z?z31. z?xy,则?______________. =_________________
?y?x32. 设 z??y?1?1?x2sin?x,y??x3,则z?x?2,1??____________ 33. 设 u?x,y??xlny?ylnx?1 则 du?______________________
34. 由方程xyz?x2?y2?z2?2确定z?z?x,y?在点?1,0,?1?全微分dz?______ 35. z?y2?f?x2?y2? ，其中f?u?可微，则 y?z?z??___________ ?x?y?z?2x2?y2,36. 曲线?在xOy平面上的投影曲线方程为 _________________
z?1?37. 过原点且垂直于平面2y?z?2?0的直线为__________________ 38. 过点(?3,1,?2)和(3,0,5)且平行于x轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面x?y?2z?6?0垂直的单位向量为______________ 第 16 页 共 43 页
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40. z?x?(x?z?z) ,?(u)可微，则 2?y?____________ 2?x?yy41. 已知z?lnx2?y2，则在点(2,1)处的全微分dz?_________________ 42. 曲面z?ez?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为___________________ 43. 设z?z?x.y? 由方程e?xy?2z?ez?0，求
?z=________________ ?x44. 设z?f?2x?y??g?x,xy?，其中x二阶可导，g?u,v?具有二阶连续偏导数 有
?2z=___________________ ?x?yxz?2z45. 已知方程?ln 定义了z?z?x.y?，求2=_____________
zy?x46. 设y，??x2.ey.z??0，y?sinx，其中f，?都具有一阶连续偏导数，且
dz=______________________ dx???0，求?z47. 交换积分次序?dy?0112?y2yyf(x,y)dx? _______________________________
22?y48. 交换积分次序?0dy?0f(x,y)dx??1dy?0f(x,y)dx=___________________
49. I???xexydxdy?_________其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}
D50. I?51. I?52. I?53. I?54. 55.
??(3x?2y)dxdy?________，其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围
D??1?xD12?y2dxdy?________，其中D是由x2?y2?4所确定的圆域
??DDa2?x2?y2dxdy?___________，其中D：x2?y2?a2
??(x?6y)dxdy?________，其中D是由y?x,y?5x,x?1所围成的区域
22?20dx?e?ydy＝ _____________________
x?dx?01xx2(x?y)dy?___________
???22?1256. 设L为x2?y2?9，则F?2(yx?2)yix(?4)x?j2___________.
按L的逆时针方向运动一周所作的功为
57. 曲线?y?2x在?1,2,7?点处切线方程为______________________ 22z?3x?y??x258. 曲面z??y2在（2，1，3）处的法线方程为_____________________
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?59.
?nn?11p，当p满足条件 时收敛
?60. 级数61.
??n?1n??1?2nn?n?2的敛散性是__________
??axnn?1?n?1在x=-3时收敛，则?anxn在x?3时
n?1n62. 若
??lna?收敛，则a的取值范围是_________
?n?163. 级数?(11?n)的和为
n(n?1)2?1?64. 求出级数的和n?1?2n?1??2n?1?=___________
(ln3)n65. 级数?n的和为 _____
2n?0?66. 已知级数?un的前n项和sn?n?1??n，则该级数为____________ n?12nn67. 幂级数?x的收敛区间为
n?1nx2n?168. ?的收敛区间为 ，和函数s(x)为
2n?1n?1?xn69. 幂级数?p(0?p?1)的收敛区间为
n?0n?70. 级数?71. 级数?n?1?1当a满足条件 时收敛 nn?01?a??x?2?n4n?2n的收敛域为 ______
?72. 设幂级数?anx的收敛半径为3，则幂级数?nan(x?1)n?1的收敛区间为 _____
nn?0n?173. f(x)?1展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为
x2?3x?274. 设函数f(x)?ln(1?x?2x2)关于x的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收
敛区间为 ________ 75. 已知 xlny?ylnz?zlnx?1，则76. 设
z?(1?x2?y2)xy ,那么
y
?z?x?y??? ______ ?x?y?z?z?z?_____________ ?_____________，?y?xD77. 设2fx??a,b?是由xy?2及x?y?3所围成的闭区域，则??dxdy?_______________ 78. 设2fx??a,b?是由|x?y|?1及|x?y|?1所围成的闭区域，则??dxdy?_______________
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79.
22(x?y)ds?________________,其中C为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?) ??C80. ?(x2?y2)dx?________________,其中L是抛物线y?x2上从点?0,0?到点?2,4?的一段
L弧。 二、选择题
1. 已知a与b都是非零向量，且满足a?b?a?b，则必有（ ） (A)a?b?0； (B)a?b?0 ； (C)a?b?0 (D)a?b?0 2. 当a与b满足（ ）时，有a?b?a?b；
(A)a?b； (B)a??b(?为常数)； (C)a∥b； (D)a?b?ab．
3. 下列平面方程中，方程( )过y轴；
(A) x?y?z?1； (B) x?y?z?0； (C) x?z?0； (D) x?z?1． 4. 在空间直角坐标系中，方程z?1?x2?2y2所表示的曲面是( )；
(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面 5. 直线
x?1yz?1与平面x?y?z?1的位置关系是( )． ??21?1ππ； (D) 夹角为?． 44(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为
6. 若直线(2a+5)x+(a -2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3) y-1=0互相垂直，则（ ）： (A). a=2 (B). a=-2 (C). a=2或a=-2 (D). a=±2或a=0
?z?x2?y2?2,7. 空间曲线?在xOy面上的投影方程为( )
z?5??x2?y2?7?x2?y2?7?z?x2?y2?2(A)x?y?7； (B)?； (C) ?；(D)?
z?5z?0z?0???22?1?cosx,x?0??x28. 设f?x???，则关于f?x?在0点的6阶导数f?6??0?是（ ）
?1,x?0??2(A)．不存在 (B)．?111 (C)．? (D)．
56566!9. 设z?z(x,y)由方程F(x?az,y?bz)?0所确定，其中F(u,v)可微，a,b为常数，则必有
（ ）
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(A) a(C) a?z?z?z?z?b?1 (B) b?a?1 ?x?y?x?y?z?z?z?z?b?1 (D) b?a?1 ?x?y?x?y1?xysin?x2?y210. 设函数f?x,y????0??x,y???0,0??x,y???0,0?，则函f?x,y?在?0,0?处（ ）
(A)．不连续 (B)．连续但不可微 (C)．可微 (D)．偏导数不存在 11. 设函数f?x,y?在点?x0,y0?处偏导数存在，则f?x,y?在点?x0,y0?处 ( ) (A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立 12. 设 ??x???x2y0e?tdt，则
2??? ( ) ?x42424242
(A).e-xy (B).e-xy 2xy (C).e-xy (-2t) (D).e-xy (-2x2y)
13. 已知f?x,y?在?a,b?处偏导数存在，则 limh?0f?a?h,b??f?a?h,b?h???
(A).0 (B).fx??2a,b? (C).fx??a,b? (D).2fx??a,b?
?xy,x2?y2?0?2214. 设f(x,y)??x?y，则在(0,0)点关于f(x,y)叙述正确的是（ ）
?0,x2?y2?0?(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在 (C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在 ?4x2y4?215. 函数f?x,y????y4?x2??0?x2?y2?0x2?y2?0在?0,0?极限( )
(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立
???z?16. 设z?arctan?xy??，则???x4??(A)
xy1?(xy??
x?11?(xy?)4?4 (B)
)?
2xysec2(xy?)y4 (D) (C) ?2?21?(xy?)1?(xy?)44?17. 关于x的方程x?k?1?x2有两个相异实根的充要条件是( ) (A).-2?k?2 (B). -2≤k≤2
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(3)
24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数
(1)
(2)
25.设 试将 26．设
是周期为2的周期函数,它在 展开成复数形式的傅里叶级数. 是周期为
上的表达式为 ,
的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为
试写出的傅里叶级数的实数形式(即三角形式)
四、 证明题
1．三角形的三条 垂线交于一点。（提示：用向量方法）
2．设其中z?yf(x2?y2),f是导数存在的一元函数，证明函数z满足方程
1?z1?zz???2。 x?xy?yy3．证明limx?0y?0x?y不存在。 x?y?2u?2u?2u12224．设u?,r?x?y?z,证明2?2?2?0.
?x?y?zr5．证明：曲面xyz?1的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。 1?22(x?y)sin,x2?y2?0?226．设f(x,y)??， x?y?0,x2?y2?0?0）偏导数存在但不连续。 证明：f(x,y)在原点（0，第 41 页 共 43 页
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7．证明不等式
1???(siny2?cosx2)dxdy?2,其中D:正方形域：0?x?1,0?y?1。
D8．证明曲线积分I??L(x?2xy)dx?(x2?y4)dy与路径无关，其中L是由点 （0，0） 到（1，1）的曲线y?sin??2?2x，并计算I的值。
29．若级数?an(an?0)收敛，证明?an收敛。
n?1n?110. 已知级数?an和?bn都收敛，证明级数?anbn绝对收敛。
n?1n?1?2?2?n?1五、 应用题
1． 求曲线x?t,y??t2,z?t3与平面x?2y?z?4平行的切线。 2． 用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1?0
2x?y?3z?4?0?3． 曲面z?ez?2xy?3在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。 4． 求曲面z?x2?y2及z2?x2?y2所围成的立体的体积。 5． 求由曲面x2?y2?z2?a2及x2?y2?ax所围成图形的体积。
6．求位于两圆x2?(y?2)2?4和x2?(y?1)2?1之间的均匀薄片的重心位置。 7．试分解已知正数a为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。
x2y2z28．在第一卦限内作椭球2?2?2?1的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最小，
abc求切点的坐标。
9．设生产某种产品必须投放入两种要素，x1 和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量，若生产函数Q?2x1ax2b，其中a,b为正常数，且a?b?1,假设两种要素的价格分别为p1,p2,试问，当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。
10．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1,p2，销售量分别为q1,q2,需求函数及总成本函数分别为q1?24?0.2p1,q2?10?0.05p2,C?35?40(q1?q2)，试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？ 11．求级数?n的和。 n2n?1?第 42 页 共 43 页
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ex12．计算积分?dx的近似值。
0.1x113．将函数f(x)?x展开x的幂级数。
x2?x?214．设有一个无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm，内半径为4cm,求容器外壳体积的近似值。
15．设曲线积分?xy2dx?y?(x)dy与路径无关，其中?(x)具有连续的导数，且?(0)?0，计算
L??1，1??0,0?xy2dx?y??x?dy。
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