2015年7月浙江大学期末考试---高等数学基础

A.

f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

2 C. f(x)?lnx3，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?x?1x?1

⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（B）．

A. y?ln(1?x2) B. y?xcosx C. y?ax?a?x2 D. y?ln(1?x) ⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2 D. y????1,x?0?1,x?0 ⒌下列极限存计算不正确的是（D）．

A. limx2sinx1x??x2?2?1 B. limx?0ln(1?x)?0 C. limx??x?0 D. limx??xsinx?0⒍当x?0时，变量（C）是无穷小量． A.

sinxx B. 1x C. xsin1x D. ln(x?2)

⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

A. limf(x)?f(x0) B. x?xf(x)在点x0的某个邻域内有定义

0 C. limx?x?f(x)?f(x0) D. lim?f(x)?lim?f(x) 0x?x0x?x0（二）填空题 2⒈函数

f(x)?x?9x?3?ln(1?x)的定义域是 ?x|x?3? ．

⒉已知函数f(x?1)?x2?x，则f(x)? x2-x ．

⒊lim1x??(1?2x)x? ． ?1⒋若函数f(x)???(1?x)x,x?0，在x?0处连续，则k? e ．

??x?k,x?0⒌函数y???x?1,x?0?sinx,x?0的间断点是 x?0 ．

（二） 计算题 ⒈设函数

f(x)???ex,x?0?x,x?0

6

求：f(?2),f(0),f(1)． 解：

f??2???2，f?0??0，f?1??e1?e

2x?1的定义域． x⒉求函数y?lg?2x?1??x?0??2x?11?1??解：y?lg有意义，要求?解得?x?或x?0， 则定义域为?x|x?0或x??

x2?2??x?0????x?0?⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

解： D A R O h E

B C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得AE?故S?OA2?OE2?R2?h2则上底＝2AE?2R2?h2 h?2R?2R2?h2?hR?R2?h2 2????⒋求limsin3x．

x?0sin2xsin3xsin3x?3xsin3x3133解：lim?lim3x?lim3x?＝??

x?0sin2xx?0sin2xx?0sin2x2122?2x2x2xx2?1⒌求lim．

x??1sin(x?1)x2?1(x?1)(x?1)x?1?1?1?lim?lim???2 解：limx??1sin(x?1)x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)1x?1⒍求limx?0tan3x． x解：limtan3xsin3x1sin3x11?lim??lim??3?1??3?3

x?0x?0xxcos3xx?03xcos3x1 7

⒎求lim1?x2?1．

x?0sinx解：lim1?x2?1(1?x2?1)(1?x2?x?0sinxlim1)x?0(1?x2?1)sinx?limx2?x?0(1?x2?1)sinx

?limxx?0?0(1?x2?1?1??1?0

?1)sinxx⒏求limx?1x??(x?3)x． 1?1解：lim(x?1(1?1)x[(1?1)?x]?1)x?lim(xx??)?limx?lim?x?e?1x?4x??x?31?3x??x3?e x(1?3x)xx??[(1?1ex)3]33⒐求limx2?6x?8?4x2?5x?4．

x解：limx2?6x?8?x?4??x?2?x?24?22?4x2?5x?4?limx?4?x?4??x?1??limx?4x?1?4?1?3

x⒑设函数

?(x?2)2,x?1f(x)???x,?1?x?1

??x?1,x??1讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间． 解：分别对分段点x??1,x?1处讨论连续性 （1）

xlim??1?f?x??xlim??1?x??1xlim??1?f?x??xlim??1??x?1???1?1?0

所以xlim??1?f?x??xlim??1?f?x?，即f?x?在x??1处不连续

（2）

xlim?1?f?x??lim?x?2?2??1?2x?1?2??1xlim?1?f?x??xlim?1?x?1

f?1??1所以limx?1?f?x??limx?1?f?x??f?1?即

f?x?在x?1处连续

由（1）（2）得

f?x?在除点x??1外均连续

8

故

f?x?的连续区间为???,?1????1,???

《高等数学基础》第四次作业

（一）单项选择题 ⒈若f(x)的一个原函数是

1x，则f?(x)?（D ）． A. lnx B. ?1x2 C. 12x D. x3

⒉下列等式成立的是（D ）． A

?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)C. d?f(x)dx?f(x) D.

ddx?f(x)dx?f(x) ⒊若f(x)?cosx，则

?f?(x)dx?（B ）．

A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c ⒋

ddx?x2f(x3)dx?（ B）． A.

f(x3) B. x2f(x3) C.

13f(x) D. 13f(x3) ⒌若

?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（B ）．

A. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D.

1xF(x)?c

⒍由区间[a,b]上的两条光滑曲线y?f(x)和y?g(x)以及两条直线x?a和x?b所围成的平面区域的面积是（C A.

?bba[f(x)?g(x)]dx B.?[g(x)?f(x)]dx C. ?bf(x)?g(x)dx D. ?baaa[f(x)?g(x)]dx

（二）填空题

⒈函数f(x)的不定积分是

?f(x)dx．

⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)?G(x)?c(常数）． ⒊d?ex2dx?ex2

⒋?(tanx)?dx?tanx?c ⒌若?f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos(3x)

⒍

?351?3(sinx?2)dx?3 ⒎若无穷积分???11xpdx收敛，则p?0 （三）计算题

9

）． cos⒈

??e1xdx??cos1d(1)??sin1?c

?xxxx2x⒉

xdx?2?exdx?2ex?c

⒊

11dx??xlnx?lnxd(lnx)?ln(lnx)?c

⒋xsin2xdx???1111xcos2x??cos2xdx??xcos2x?sin2x?c 2224⒌

?ee3?lnx11edx??(3?lnx)d(3?lnx)?(3?lnx)1?

1x122⒍

?12xdx??12e?2xx1?11?2x111?210xe?02?0edx??2e?2?4e?2x10?4e?4 2⒎

?exdx?xe12lnx?112?e1xdx?e2xln12?4

lnxdx??1ee111e⒏

?e1x2xlnx??1x2dx??e?x??211e?1 （四）证明题

⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则?a?af(x)dx?0．

证:

令x??t?a?aaa?af(x)dx???af(?t)dt???af(?t)dt????af(t)dt

??aaa?af(x)dx????af(x)dx???af(x)dx?0 证毕

⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则?a?af(x)dx?2?a0f(x)dx．

证：

?a0a?af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx

令x??t,则?0f(x)dx???0f(?t)dt??a?aa0f(t)dt?f(x)是偶函数

?a)dx??0f(x)dx??af(x)dx??a?a00f(x)dx??a0f(x)dx?2?a?af(x0f(x)dx⒊证明：?aa?af(x)dx??0[f(x)?f(?x)]dx

证：?a0a(x)dx???0f(?x)dx??a?af(x)dx???af(x)dx??0fa0f(x)dx

=

?a)dx??af(x)dx??a0f(?x00[f(x)?f(?x)]dx 证毕

《高等数学基础》第二次作业

（一）单项选择题

证毕

10

高等数学基础试题类型

高等数学基础试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和应用题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题或应用题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。四种题型分数的百分比为：单项选择题20%，填空题20%，计算题44%，应用题16%。 期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。

高等数学基础模拟题

一、单项选择题

1.函数y?e?x?ex 2的图形关于（A）对称．

(A) 坐标原点 (B) x轴 (C) y轴 (D) y?x 2.在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量．

1 (A) xsin1(x??) (B) sin1xx(x?0) (C) ln(x?1)(x?0) (D) ex(x??)

3.设f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?02h?（C）．

(A) f?(x0) (B) 2f?(x0) (C) ?f?(x0) (D) ?2f?(x0)

4.若

?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(lnx)dx?（B）． (A) F(lnx) (B) F(lnx)?c (C) 1xF(lnx)?c (D) F(1x)?c 5.下列积分计算正确的是（D）． (A)

?1xdx?0 (B) ?0e?x??dx?1 (C) ?0??sin2xdx?π (D) ?1?1xsin?1xcosxdx?0

6.设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（A）对称． (A) y?x (B) x轴 (C) y轴 (D) 坐标原点 7.当x?0时，变量（C）是无穷小量． (A)

1x (B) sinxx (C) ex?1 (D) xx2 8.设

f(x)?ex，则x)?f(1)?limf(1??x?0?x?（B）．

(A) 2e (B) e (C)

14e (D) 12e 9.

ddx?xf(x2)dx?（A）． (A) xf(x2) (B)

12f(x)dx (C) 12f(x) (D) xf(x2)dx 10.下列无穷限积分收敛的是（B）．

1

(A)

?????0exdx (B) ?e?xdx (C) ???1xdx (D) ???1011xdx

二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数y?ln(x?1)4?x2的定义域是 (?1,2) ．

?1 2.若函数f(x)???(1?x)xx?0，在x?0处连续，则k? e ．

??x2?kx?0 3.曲线

f(x)?x3?1在(1,2)处的切线斜率是 3 ．

4.函数y?arctanx的单调增加区间是 (??,??) ． 5.若

?f(x)dx?sinx?c，则f?(x)? ?sinx ．

函数y?9?x26.ln(x?1)的定义域是 ?x|1?x?3,x?2? ．

7.函数y???x?1x?0?sinxx?0的间断点是 x?0 ．

8.曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是

12 ． 9.函数

y?(x?1)2?1的单调减少区间是 ???,?1? ．

10.?(sinx)?dx? sinx?C ． 三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限limsin(x?1)x??1x2?1． 解：limsin(x?1)x2?1?limsin(x?1)?1)(x?1)??12

x??1x??1(x 2.设y?cosex?3x，求dy．

解：dy?d(cosex?3x)?d(cosex)?d(3x)??sinexd(ex)?3xln3dx

??exsinexdx?3xln3dx ?(?exsinex?3xln3)dx

1x 3.计算不定积分

?ex2dx．

11 解：由换元积分法得 ?ex11uux2dx???exd(x)???edu??e?c??ex?c

4.计算定积分

?e1lnxdx．

解：由分部积分法得

?eee1lnxdx?xlnx1??xd(lnx)?e??e11dx?1

2

sin6xsin6xsin6x6166 5.计算极限lim．解：lim?lim6x????．

x?0sin5xx?0sin5xx?0sin5x51555x 6.设y?sin2x?2x，求y?．

解：y???sinx????2???2sinx?sinx???22xxln2 ?2sinxcosx?2xln2

7.计算不定积分xcos3xdx．

?sin3xsin3x??sin3x??dx?x???xdx 解：?xcos3xdx??x???333?? ?x?sin3x1sin3x1??sin3xdx ?x??cos3x?C 33338.计算定积分

?e12?lnxdx． x 解：

?e1e2?lnxdx???2?lnx?d(2?lnx)

1x2?lnx?? ?2四、应用题（本题16分）

22?lne??e|?1222?ln1???22?5 21、某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为

S?2πr2?2πrh?2πr2?S??4πr?由S??0，得唯一驻点r?2V r2V r23VV4V，由实际问题可知，当r?3时可使用料最省，此时h?3，即当容器的底半径2π2ππ与高分别为3V4V与3时，用料最省． 2ππ2、 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h，与底半径r满足 h?r?l 圆柱体的体积公式为 V??rh

将r?l?h代入得V??l?h求导得V????2h?l?h2222222?22?h

2?2?22?????l?3h2?

3

令V??0得h?33l，并由此解得r?6633l，即当底半径为r?3l，高h?3l时，圆柱体得体积最大。 典型例题

例1 计算极限limsin(x?1)x2?2x?3．

x?1解 利用重要极限limsinxx?1，及极限的运算法则得

x?0 limsin(x?1)sin(x?1)1sin(x?1x?1x2?2x?3?lim x?1(x?3)(x?1)?limx?1(x?3)?)(x?1) ?111lim(x?3)?limsin(x?1) x?1?x?1(x?1)4?1?4 例2 计算极限limx2?x?6?3x2?7x?12．

x解：利用极限的运算法则得

limx2?x?6(x?3)(x?2)limx?(x?2)x?3x?7x?12limx?3(x?3)(x?4)?32?lim??5 x?3(x?4)x3例3 设y??lnxsinx，求y?．

解：利用导数的运算法则得

y??(x3?lnx(x3?lnx)?sinx?(x3?lnx)(sinsinx)??x)?sin2x

(3x2?1)sinx?(x3?lnx) ?[(x3)??(lnx)?]sinx?(x3?lnx)cosxxcosxsin2x?sin2x 例4 设y?lnsinx2，求y?．

解：设u?sinx2，v?x2得

y?lnu u?sinv v?x2 利用复合函数求导法则，得

y??(lnsinx2)?x?y?u?u2v??v?x ?(lnu)?u(sinv)?v(x)?x ?1cosx2u?cosv?2x?2xsinx2?2xtanx2 例5 设y?y(x)是由方程lny?ex?y4确定的函数，求dy．

解：利用导数运算法则和复合函数求导法则，等式两端分别对x求导得 左：(lny)?1x?(lny)?y?y??yy?

4

右：(ex?y4)?xx?(e)?4x?(y)?x?ex?(y4)?y?y? ?ex?4y3?y?

由此得 1x3yexyy??e?4y?y? 整理得y??1?4y4 dy?yex由微分定义得1?4y4dx 1例6 计算

?exx2dx．

解：利用换元积分法得

1e11?x1xx2dx????x2edx???exd(1x)

1x?u??eudu??eu?c 1 ??ex?c

例7 计算?x?lnxdx．

解：利用分部积分法得

?lnxdx??lnxd(x??1x??1x??1?x??1)???1lnx????1d(lnx)

?x??1??1lnx?1??11??1?xxdx ?x??1??1lnx?1??1?x?dx?x??1??1lnx?x??1(??1)?c 例8 求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．

解：曲线y2?2x上的点到点A(2,0)的距离公式为

d?(x?2)2?y2

d与d2在同一点取到最小值，为计算方便求d2的最小值点，将y2?2x代入得

d2?(x?2)2?2x

令 (d2)??2(x?2)?2

令(d2)??0得x?1．可以验证x?1是d2的最小值点，并由此解出y??2，即曲线y2?2x上的点(1,2)和点

(1,?2)到点A(2,0)的距离最短．

高等数学基础第一次作业

（一） 单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

5

⒈设f(0)?0且极限limf(x)f(x)x?0x存在，则limx?（C ）． x?0 A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0cvx ⒉设f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?02h?（D ）．

A. ?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)

⒊设

f(x)?ex，则f(1??x)?f(1)?limx?0?x?（A ）．

A. e B. 2e C.

112e D. 4e ⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（D ）． A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99! ⒌下列结论中正确的是（ C ）．

A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续． （二）填空题

?1 ⒈设函数f(x)???x2sin,x?0，则f?(0)? 0 ．?x ?0,x?0 ⒉设

f(ex)?e2x?5ex，则

df(lnx)dx?2lnx5x?x．

⒊曲线

f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是k?

1

2

⒋曲线f(x)?sinx在(π4

,1)处的切线方程是y?222x?2(1??4) ⒌设y?x2x，则y??2x2x(1?lnx)

⒍设y?xlnx，则y???1x （三）计算题

⒈求下列函数的导数y?：

31⑴y?(xx?3)ex y??(x2?3)ex?3x2x2e

⑵

y?cotx?x2lnx y???csc2x?x?2xlnx

y?x2⑶2xlnx?lnx y??xln2x 11

⑷y?cosx?2xx3 y??x(?sinx?2xln2)?3(cosx?2x)x4 sinx(1?2x)?(lnx?⑸y?lnx?x2x2)cosxsinx y??xsin2x ⑹

y?x4?sinxlnx y??4x3?sinxx?cosxlnx sinx?x23x(cosx?2x)?(sinx?x2)3x⑺y?3x y??ln332x ⑻y?extanx?lnx y??extanx?excos2x?1x ⒉求下列函数的导数y?： ⑴

y?e1?x2 y??e1?x2x

1?x2⑵y?lncosx3 y???sinx3cosx33x2??3x2tanx3 77?1⑶y?xxx y?x8 y??8x8

1?2?1⑷y?3x?x y??1(x?x2)3(1?12x23)

⑸y?cos2ex

y???exsin(2ex) ⑹y?cosex2

y???2xex2sinex2

⑺

y?sinnxcosnx y??nsinn?1xcosxcosnx?nsinnxsin(nx)

⑻

y?5sinx2

y??2xln5cosx25sinx2

y?sin2xsin2x⑼

e

y??sin2xe

⑽

y?xx2?ex2x2

y??x(x?2xlnx)?2xex2

⑾

y?xex?eexx

y??xex(ex?exlnx)?eexex ⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求： ⑴

ycosx?e2y

y?cosx?ysinx?2e2yy? y??ysinxcosx?2e2y

⑵y?cosylnx

12

y??siny.y?lnx?cosy.1cosyx y??x(1?sinylnx)

x2⑶2xsiny?y

2xcosy.y??2siny?2yx?x2y?2xy?2ysinyy2 y?(2xcosy?x22yxy2)?y2?2siny y??2xy2cosy?x2 ⑷y?x?lny

y??y?yy?1 y??y?1 ⑸lnx?ey?y2

1x?eyy??2yy? y??1x(2y?ey) ⑹

y2?1?exsiny

2yy??excosy.y??siny.ex y??exsiny2y?excosy ⑺ey?ex?y3

eyy??ex?3y2y? y??exey?3y2

⑻

y?5x?2y

y??5xln5?y?2yln2 y??5xln51?2yln2 ⒋求下列函数的微分dy： ⑴y?cotx?cscx dy?(?1cos2x?cosxsin2x)dx

1sinx?lnxcos⑵y?lnxxsinx dy?xsin2xdx ⑶y?arcsin1?x1?x dy?1?(1?x)?(1?x)1?(1?x2(1?x)2dx??1?x21x(1?x)2dx 1?x)⑷

y?31?x1?x 两边对数得：lny?13?ln(1?x)?ln(1?x)?

13

11?x11y?1?11?(?) y???3(?) y31?x1?x31?x1?x1?x⑸⑹

y?sin2ex dy?2sinexexexdx?sin(2ex)exdx

3y?tanex dy?sec2ex3x2dx?3x2exsec2xdx

333 ⒌求下列函数的二阶导数： ⑴y?xlnx

y??1?lnx y???⑵y?xsinx

1 xy??xcosx?sinx y????xsinx?2cosx

⑶y?arctanx

y??⑷

12x?? y??1?x2(1?x2)2x2y?3

x2y??2x3ln3 y???4x3ln3?2ln3?3（四）证明题

设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以f(?x)??f(x)

两边导数得：f?(?x)(?1)??f?(x)?f?(?x)?f(x) 所以f?(x)是偶函数。

《高等数学基础》第三次作业

（一）单项选择题

⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f?(?)?2x22x2

f(b)?f(a)．

b?a A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导 C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导 ⒉函数

f(x)?x2?4x?1的单调增加区间是（D ）．

A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??) ⒊函数

y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）．

f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 ⒋函数

A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点

14

⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0 A. C.

?(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值．

f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0

⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 （二）填空题

⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0点．

⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则 ⒊函数 ⒋函数

?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时f?(x)?0，则x0是f(x)的 极小值 f?(x0)? 0 ．

y?ln(1?x2)的单调减少区间是(??,0)．

f(x)?ex的单调增加区间是(0,??)

2 ⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)． ⒍函数

f(x)?2?5x?3x3的拐点是 x=0 ． y?(x?1)(x?5)2的单调区间和极值．

（三）计算题 ⒈求函数令

y??(x?1)2(x?5)2?2(x?5)(x?2)

?驻点x?2,x?5

列表：

极大值：f(2)?27 极小值：f(5)?0 ⒉求函数y?x2X (??,2) + 上升 2 极大 27 (2,5) - 下降 5 极小 0 (5,??) + 上升 y? y ?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值．

令：y??2x?2?0?x?1(驻点）

f(0)?3?最大值f(3)?6f(3)?6

f(1)?2

?最小值 ⒊试确定函数

f(1)?2

y?ax3?bx2?cx?d中的a,b,c,d，使函数图形过点(?2,44)和点(1,?10)，且x??2是驻点，

x?1是拐点．

?44??8b?4b?2x?d??10?a?b?c?d?解：?

?0?12a?4b?c?0?6a?2b?

?a?1?b??3? ???c?16??d??2415

⒋求曲线

y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．

解：设p(x,y)是y2?2x上的点，d为p到A点的距离，则：

d?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x

令d??2(x?2)?2x?12(x?2)2?2x?(x?2)2?2x?0?x?1

?y2?2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短。

⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 设园柱体半径为R，高为h，则体积

V??R2h??(L2?h2)h

令：V???[h(?2h)?L2?h2]??[L2?3h2]?0?L?3hh?33LR?233L?当h?,R23?3L时其体积最大。 ⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 设园柱体半径为R，高为h，则体积

V??R2hS表面积?2?Rh?2?R2?2VR?2?R2 令：S???2VR?2?4?R?0?V2??R3?R?3V2? h?34V?

答：当R?3V42? h?3V?时表面积最大。 ⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底连长为x，高为h。则：62.5?x2h?h?62.5x2 侧面积为：S?x2?4xh?x2?250x 令S??2x?2503x2?0?x?125?x?5 答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。（四）证明题

⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)． 证：由中值定理得：

ln(1?x)ln(1?x)?lnx?1(1?x)?1?11???1(???0)

?ln(1?x)x?1?x?ln(1?x)(当x?0时）

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⒉当x?0时，证明不等式e?x?1．

x设f(x)?ex?(x?1) f?(x)?ex?1?0(当x?0时）证毕

?当x?0时f(x)单调上升且f(0)?0

?f(x)?0,即ex?(x?1) 17

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